مشتق‌ها کاربردهای زیادی خارج از ریاضیات و زندگی روزمره دارند، از جمله در موضوعاتی مانند علوم، مهندسی، فیزیک و موارد دیگر.

شما باید بر توانایی محاسبه مشتق توابع مختلف در دوره های قبلی، از جمله مثلثاتی، ضمنی، لگاریتم و غیره تسلط داشته باشید.

d2y/dx2 و (dydx)^2 دو مشتق هستند معادلات اما برای درک آنها، ابتدا باید بفهمید که مشتق دوم دقیقاً چیست.

مشتق تابع در حساب دیفرانسیل و انتگرال به عنوان مشتق دوم شناخته می شود که گاهی اوقات به عنوان مشتق مرتبه دوم نیز شناخته می شود.

مشتق دوم، به طور تقریبی، چگونگی تغییر نرخ تغییر یک کمیت را اندازه‌گیری می‌کند. به عنوان مثال، دومین مشتق از موقعیت یک جسم نسبت به زمان، شتاب آنی جسم یا سرعت تغییر سرعت جسم نسبت به زمان است.

در این مقاله، من به شما خواهم گفت که چه چیزی تفاوت بین d2y/dx2=(dydx)^2 و معنای دقیقا مشتق است.

D2y/dx2 در مقابل (dydx)^2

مشتق از dy/dx (اینها 2 ها ممکن است مانند نماد شاخص به نظر برسند، اما اینطور نیستند). (dydx)2، از طرف دیگر، مربع اولین مشتق است.

مثال:

Y=3 ؟؟؟؟ 3 +6 ???? 2y=3×3+6×2

اولین مشتق: dy/dx=9 ???? 2+12 ???? dydx=9×2+12x

مشتق دوم:d2yd????2=18 ???? +12d2ydx2=18x+12

مربع مشتق اول: (dydx)2=(9 ؟؟؟ ? 2+12 ???? )2=(81 ???? 4+216 ???? 3+144

مشتق دوم چیست؟

وقتی مشتق را متمایز می‌کنید، مشتق دوم را دریافت می‌کنید. به یاد داشته باشید که dy/dx مشتق y نسبت به x است. مشتق دوم، تلفظ می‌شود. "dee two y در d x مربع" به صورت d2y/dx2 نشان داده می شود.

ماهیت نقاط ثابت را می توان با استفاده از مشتق دوم به راحتی تشخیص داد (خواه آنها حداکثر امتیاز باشند، یا حداقل نقاط، یا نقاط عطف).

وقتی dy/dx = 0، یک منحنی به یک نقطه ثابت می‌رسد. نوع نقطه ثابت (حداکثر، حداقل یا نقطه عطف) را می‌توان با استفاده از مشتق دوم تعیین کرد. مکان نقطه ثابت تعیین شده است.

چگونه نقاط حداکثر و حداقل را شناسایی کنیم؟

d2y/d2x دومین مشتق است.

مشتق چیست؟

مشتق تابع یک متغیر واقعی در ریاضیات مقدارحساسیت مقدار تابع (مقدار خروجی) به تغییرات آرگومان آن (مقدار ورودی). ابزار اصلی حساب دیفرانسیل و انتگرال، مشتق است.

برای مثال، سرعت یک آیتم، مشتق موقعیت آن نسبت به زمان است. کمیت می‌کند که موقعیت جسم با گذشت زمان چقدر سریع تغییر می‌کند.

وقتی رخ می‌دهد، شیب خط مماس به نمودار تابع در یک مقدار ورودی مشخص، مشتق تابعی از یک متغیر است. نزدیکترین تابع به آن مقدار ورودی به بهترین وجه به صورت خطی با خط مماس تقریب می شود.

به همین دلیل، مشتق اغلب به عنوان "نرخ تغییر لحظه ای" نامیده می شود، که نسبت تغییر آنی در متغیر وابسته به متغیر مستقل است.

برای گنجاندن توابع چندین متغیر واقعی، مشتقات را می توان تعمیم داد. این تعمیم مشتق را مجدداً به عنوان یک تبدیل خطی تفسیر می کند که نمودار آن پس از ترجمه مناسب، بهترین تقریب خطی برای نمودار تابع اصلی است.

با توجه به شالوده ای که با انتخاب متغیرهای مستقل و وابسته ارائه می شود، ماتریس ژاکوبین ماتریسی است که این تبدیل خطی را نشان می دهد.

می توان آن را با استفاده از مشتقات جزئی متغیرهای مستقل محاسبه کرد. بردار گرادیان ماتریس ژاکوبین را برای یک تابع با مقدار واقعی با چندین جایگزین می کندمتغیرها.

تمایز کردن، عمل مکانیابی مشتق است. ضد تمایز اصطلاحی برای فرآیند مخالف است. ضد تمایز و ادغام در قضیه اساسی حساب دیفرانسیل و انتگرال مرتبط هستند. دو عملیات اساسی حساب تک متغیری عبارتند از: تمایز و ادغام.

این ویدئو را تماشا کنید تا در مورد مشتقات و عملکرد یک متغیر واقعی بدانید

نمادهای مختلف

نشانگذاری لایبنیتس

در سال 1675، گوتفرید ویلهلم لایبنیتس حروف dx، dy و dy/dx را معرفی کرد. حتی امروزه، زمانی که رابطه بین متغیرهای وابسته و مستقل در معادله y = f(x) تابعی در نظر گرفته شود، اغلب استفاده می‌شود.

متغیر تمایز (در مخرج) می‌تواند با استفاده از نماد لایبنیتس، که برای تمایز جزئی مهم است، مشخص شود.

نمادگذاری لاگرانژ

یکی از محبوب ترین نمادهای تمایز مدرن، که گاهی به عنوان نماد اول شناخته می شود، از علامت اول استفاده می کند و به جوزف-لوئیس لاگرانژ نسبت داده می شود. این مشتق تابع f را به صورت f1 نشان می‌دهد.

نشان‌گذاری اخیر تعمیم می‌یابد تا نماد f(n) را برای مشتق n از f ارائه دهد، که هنگام بحث درباره مشتق به عنوان یک تابع راحت‌تر است. به جای تابعی از خود، زیرا نماد لایب نیتس می تواند در این موقعیت پیچیده باشد.

نشانگذاری نیوتن

یک نقطهروی نام تابع در نماد تمایز نیوتن، که اغلب به عنوان «نقطه نقطه» شناخته می‌شود، قرار می‌گیرد تا نشان‌دهنده مشتق زمانی باشد.

فقط مشتق‌هایی با توجه به زمان یا طول قوس با استفاده از این نماد نمایش داده می‌شوند. معمولاً برای معادلات دیفرانسیل در هندسه دیفرانسیل و فیزیک استفاده می شود. با این حال، نماد نقطه برای چندین متغیر مستقل و مشتقات مرتبه بالا (مرتب 4 یا بیشتر) قابل اعمال نیست.

نشان اویلر

اولین مشتق Df با استفاده از عملگر دیفرانسیل به دست می آید. D در نماد اویلر با اعمال آن به تابع f. Dnd مخفف مشتق n است.

اگر y = f(x) یک متغیر وابسته باشد، متغیر مستقل x اغلب با افزودن زیرنویس x به D مشخص می شود.

اگرچه زمانی که متغیر x درک می شود ، مانند زمانی که این تنها متغیر مستقل موجود در معادله است، این زیرنویس اغلب کنار گذاشته می شود.

برای بیان و حل معادلات دیفرانسیل خطی، علامت گذاری اویلر مفید است.

کاربرد مشتقات در ریاضیات

مشتقات اغلب در ریاضیات استفاده می شوند. آنها می توانند برای تعیین حداکثر یا حداقل یک تابع، شیب یک منحنی یا حتی نقطه عطف استفاده شوند.

در زیر چند نمونه وجود دارد که از مشتق استفاده خواهیم کرد. و بخش‌های بعدی به تفصیل در مورد هر یک از آنها می‌پردازد. کاربرد مشتقاتبیشتر در موارد زیر یافت می شود:

• محاسبه نرخ تغییر یک کمیت
• به دست آوردن یک تخمین خوب از مقدار
• یافتن معادله مماس و نرمال یک منحنی
• شناسایی نقطه عطف، ماکزیمم و حداقل
• ارزیابی توابع افزایش و کاهش

برای محاسبه نقطه از مشتق استفاده می شود. نقطه عطف، حداکثر و حداقل

کاربرد مشتقات در زندگی واقعی

مشتق ها را می توان در بسیاری از موقعیت ها در زندگی واقعی استفاده کرد. در اینجا لیستی از چند موقعیت وجود دارد که در آنها می توانید از مشتق گیری استفاده کنید:

• برای محاسبه سود و زیان در تجارت.
• به منظور اندازه گیری تغییرات دما.
• برای محاسبه سرعت سفر، مانند مایل در ساعت، کیلومتر در ساعت و غیره.
• یافتن محدوده بزرگی زلزله یک کار مورد علاقه در تحقیقات زلزله شناسی است.

نتیجه

• d2y/dx2 مشتق دوم است.
• (dy/dx) ^2 اولین مشتق مربع است.
• یک مشتق در زمینه های مختلف برای چندین هدف در زندگی واقعی استفاده می شود.
• یک مشتق در زندگی واقعی استفاده می شود. ریاضیات برای محاسبه حداکثر و حداقل امتیاز.
• از آن می توان در تجارت برای محاسبه مالی کسب و کار و محاسبه سود و زیان استفاده کرد.