Derivat har många användningsområden utanför matematiken och vardagen, bland annat inom ämnen som vetenskap, teknik, fysik och andra.

Du måste ha behärskat förmågan att beräkna derivatan av olika funktioner i tidigare kurser, inklusive trigonometriska, implicita, logaritmiska osv.

d2y/dx2 och (dydx)^2 är två derivataekvationer. Men för att förstå dem måste du först förstå vad exakt den andra derivatan är.

Derivatan av en funktion i kalkylering kallas andra derivatan, ibland kallad andra ordningens derivata.

Den andra derivatan mäter i grova drag hur en storhets förändringshastighet förändras i sig. Den andra derivatan av ett föremåls position med avseende på tiden är till exempel föremålets momentana acceleration eller den hastighet med vilken föremålets hastighet förändras med avseende på tiden.

I den här artikeln ska jag berätta vad som är skillnaden mellan d2y/dx2=(dydx)^2 och vad derivat betyder.

D2y/dx2 Vs (dydx)^2

Derivat av dy/dx (Dessa 2:or kan se ut som indexnotering, men det är de inte). (dydx)2 är å andra sidan kvadraten på den första derivatan.

Exempel:

Ta Y=3 ???? 3+6 ???? 2y=3×3+6×2

Den första derivatan: dy/dx=9 ???? 2+12 ???? dydx=9×2+12x

Den andra derivatan: d2yd????2=18 ???? +12d2ydx2=18x+12

Kvadraten av den första derivatan: (dydx)2=(9 ???? 2+12 ???? )2=(81 ???? 4+216 ???? 3+144

Vad är andra derivat?

När du differentierar derivatan får du den andra derivatan. Kom ihåg att dy/dx är derivatan av y med avseende på x. Den andra derivatan, som uttalas "dee två y med d x i kvadrat", representeras som d2y/dx2.

Det är lättare att fastställa de stationära punkternas karaktär med hjälp av den andra derivatan (om de är maximala punkter, minimala punkter eller böjningspunkter).

När dy/dx = 0 når en kurva en stationär punkt. Typen av stationär punkt (maximum, minimum eller böjningspunkt) kan bestämmas med hjälp av den andra derivatan när den stationära punkten har fastställts.

Hur identifierar man maxima- och minimapunkter?

d2y/d2x är den andra derivatan.

Vad är ett derivat?

Derivatan av en funktion av en reell variabel i matematiken kvantifierar känsligheten hos funktionens värde (utgångsvärde) för förändringar i dess argument (ingångsvärde).

Ett föremåls hastighet är t.ex. derivatan av dess position i förhållande till tiden och anger hur snabbt föremålets position varierar med tiden.

När det inträffar är lutningen på tangentlinjen till funktionens graf vid ett givet ingångsvärde derivatan av en funktion med en enda variabel. Den funktion som ligger närmast detta ingångsvärde approximeras bäst linjärt av tangentlinjen.

På grund av detta kallas derivatan ofta för "momentan förändringshastighet", vilket är förhållandet mellan den momentana förändringen av den beroende variabeln och den oberoende variabeln.

För att inkludera funktioner med flera reella variabler kan derivat generaliseras. Genom denna generalisering omtolkas derivatet som en linjär transformation vars graf, efter en lämplig translation, är den bästa linjära approximationen av grafen för den ursprungliga funktionen.

När det gäller den grund som ges av valet av oberoende och beroende variabler är den jakobiska matrisen den matris som representerar denna linjära omvandling.

Den kan beräknas med hjälp av de oberoende variablernas partiella derivata. Gradientvektorn ersätter den jakobiska matrisen för en realvärdesfunktion med flera variabler.

Differentiering är åtgärden att hitta en derivata. Antidifferentiering är termen för den motsatta processen. Antidifferentiering och integration är relaterade i kalkylens fundamentala sats. De två grundläggande operationerna i kalkyl med en variabel är differentiering och integration.

Titta på den här videon för att lära dig mer om derivat och funktion av en reell variabel

Olika beteckningar

Leibniz' notation

1675 införde Gottfried Wilhelm Leibniz bokstäverna dx, dy och dy/dx. Än idag används de ofta när förhållandet mellan de beroende och oberoende variablerna i ekvationen y = f(x) anses vara funktionellt.

Variabeln för differentiering (i nämnaren) kan anges med Leibniz' notation, vilket är viktigt för partiell differentiering.

Lagranges notation

En av de mest populära moderna differentieringsnotationerna, som ibland kallas primtalsnotation, använder primtalsmärket och tillskrivs Joseph-Louis Lagrange. Den betecknar derivatan av en funktion f som f1.

Den senare beteckningen generaliseras till beteckningen f(n) för den nionde derivatan av f, vilket är mer praktiskt när man diskuterar derivatan som en funktion snarare än som en funktion av sig själv, eftersom Leibniz-notationen kan bli komplicerad i denna situation.

Newtons notation

En punkt placeras över funktionsnamnet i Newtons differentieringsnotation, ofta känd som "punktnotationen", för att beteckna en tidsderivat.

Endast derivat med avseende på tid eller båglängd representeras med denna notation. Vanligtvis tillämpas den på differentialekvationer inom differentialgeometri och fysik. Punktnotationen är dock oanvändbar för flera oberoende variabler och derivat av hög ordning (ordning 4 eller mer).

Eulers notation

Den första derivatan Df erhålls med hjälp av differentialoperatorn D i Eulers notation genom att tillämpa den på en funktion f. Dnd står för den nionde derivatan.

Om y = f(x) är en beroende variabel förtydligas ofta den oberoende variabeln x genom att lägga till subscript x till D.

När variabeln x är begriplig, t.ex. när den är den enda oberoende variabeln i ekvationen, utelämnas ofta detta subscript.

För att uttrycka och lösa linjära differentialekvationer är Eulers notation användbar.

Tillämpning av derivat i matematik

Derivat används ofta inom matematiken och kan användas för att bestämma en funktions maximum eller minimum, lutningen på en kurva eller till och med böjningspunkten.

Nedan följer några exempel där vi kommer att använda derivat. I följande avsnitt går vi in i detalj på vart och ett av dem. Tillämpningen av derivat är vanligast inom:

• Beräkning av en storhets förändringshastighet
• Få en bra uppskattning av värdet
• Hitta ekvationen för en kurvas tangent och normal
• Identifiering av böjningspunkt, maxima och minima.
• Gör en bedömning av de ökande och minskande funktionerna.

En derivat används för att beräkna böjningspunkten, maximi- och minimipunkten.

Tillämpning av derivat i det verkliga livet

Derivat kan användas i många situationer i det verkliga livet. Här är en lista över några situationer där du kan använda derivat:

• Att beräkna företagets vinst och förlust.
• För att mäta temperaturvariationer.
• För att beräkna hastigheten, t.ex. miles per timme, kilometer per timme osv.
• Många fysikaliska ekvationer härleds med hjälp av derivat.
• Att hitta jordbävningsstorleksintervallet är en favorituppgift inom seismologisk forskning.

Slutsats

• d2y/dx2 är den andra härledningen.
• (dy/dx) ^2 är den första derivatan i kvadrat.
• Ett derivat används på olika områden för flera olika ändamål i det verkliga livet.
• En derivat används i matematiken för att beräkna maximi- och minimipunkter.
• Den kan användas i företag för att beräkna företagets ekonomi och för att beräkna vinst och förlust.