ماخوذ کے صرف ریاضی اور روزمرہ کی زندگی سے باہر بہت سے استعمال ہوتے ہیں، بشمول سائنس، انجینئرنگ، فزکس اور دیگر مضامین میں۔ 1><0 مساوات لیکن ان کو سمجھنے کے لیے، پہلے، آپ کو یہ سمجھنا ہوگا کہ دوسرا مشتق اصل میں کیا ہے۔

کیلکولس میں کسی فنکشن کا مشتق دوسرے مشتق کے طور پر جانا جاتا ہے، بعض اوقات اسے دوسرے نمبر کے مشتق بھی کہا جاتا ہے۔

دوسرا مشتق، موٹے طور پر، پیمائش کرتا ہے کہ کس طرح مقدار کی تبدیلی کی شرح خود بدل رہی ہے۔ مثال کے طور پر، وقت کے حوالے سے کسی چیز کی پوزیشن کا دوسرا مشتق چیز کی فوری سرعت یا وہ شرح ہے جس پر وقت کے حوالے سے آبجیکٹ کی رفتار تبدیل ہو رہی ہے۔

اس مضمون میں، میں آپ کو بتاؤں گا کہ کیا d2y/dx2=(dydx)^2 اور اصل میں مشتق کا کیا مطلب ہے۔

D2y/dx2 بمقابلہ (dydx)^2

Dy/dx کا مشتق (یہ 2s انڈیکس اشارے کی طرح نظر آسکتے ہیں، لیکن وہ نہیں ہیں)۔ (dydx)2، دوسری طرف، پہلے مشتق کا مربع ہے۔

مثال:

Y=3 لیں؟؟؟؟ 3 +6 ???? 2y=3×3+6×2

پہلا مشتق: dy/dx=9 ???? 2+12 ???? dydx=9×2+12x

دوسرا مشتق:d2yd????2=18 ???? +12d2ydx2=18x+12

پہلے مشتق کا مربع: (dydx)2=(9 ??? ? 2+12 ???? )2=(81 ???? 4+216 ???? 3+144<1

دوسرا مشتق کیا ہے؟

جب آپ مشتق میں فرق کرتے ہیں، تو آپ کو دوسرا مشتق ملتا ہے۔ یاد رکھیں کہ dy/dx x کے حوالے سے y کا مشتق ہے۔ دوسرا مشتق، تلفظ "dee two y by d x مربع،" کو d2y/dx2 کے طور پر ظاہر کیا جاتا ہے۔

دوسرے مشتق (چاہے وہ زیادہ سے زیادہ پوائنٹس ہوں، کم از کم پوائنٹس، یا انفلیکشن کے پوائنٹس)۔

جب dy/dx = 0، ایک وکر ایک سٹیشنری پوائنٹ تک پہنچ جاتا ہے۔ سٹیشنری پوائنٹ کی قسم (زیادہ سے زیادہ، کم از کم، یا پوائنٹ آف انفلیکشن) کا تعین ایک بار دوسرے مشتق کو استعمال کرتے ہوئے کیا جا سکتا ہے۔ اسٹیشنری پوائنٹ کا مقام قائم کر دیا گیا ہے۔

میکسیما اور منیما پوائنٹس کی شناخت کیسے کریں؟

d2y/d2x دوسرا مشتق ہے۔

مشتق کیا ہے؟

ریاضی میں ایک حقیقی متغیر کے فنکشن کا مشتقفنکشن کی ویلیو (آؤٹ پٹ ویلیو) کی اس کے آرگومنٹ (ان پٹ ویلیو) میں تبدیلی کے لیے حساسیت۔ کیلکولس کا بنیادی آلہ مشتق ہے۔

کسی آئٹم کی رفتار، مثال کے طور پر، وقت کے حوالے سے اس کی پوزیشن سے مشتق ہے۔ یہ مقدار بتاتا ہے کہ وقت گزرنے کے ساتھ ساتھ آبجیکٹ کی پوزیشن کتنی تیزی سے تبدیل ہوتی ہے۔

جب ایسا ہوتا ہے، دی گئی ان پٹ ویلیو پر فنکشن کے گراف میں ٹینجنٹ لائن کی ڈھلوان ایک واحد متغیر کے فنکشن کا اخذ ہوتا ہے۔ اس ان پٹ ویلیو کے قریب ترین فنکشن ٹینجنٹ لائن کے ذریعہ لکیری طور پر بہترین انداز میں لگایا جاتا ہے۔

اس کی وجہ سے، مشتق کو اکثر "تبدیلی کی فوری شرح" کہا جاتا ہے، جو کہ منحصر متغیر میں فوری تبدیلی کا تناسب ہے جو آزاد متغیر میں ہوتا ہے۔

متعدد حقیقی متغیرات کے افعال کو شامل کرنے کے لیے، مشتقات کو عام کیا جا سکتا ہے۔ یہ جنرلائزیشن مشتق کو ایک لکیری تبدیلی کے طور پر دوبارہ تشریح کرتا ہے جس کا گراف، مناسب ترجمے کے بعد، اصل فنکشن کے گراف کا بہترین لکیری تخمینہ ہے۔

آزاد اور منحصر متغیرات کے انتخاب کے ذریعہ فراہم کردہ بنیاد کے بارے میں، جیکوبیان میٹرکس وہ میٹرکس ہے جو اس لکیری تبدیلی کی نمائندگی کرتا ہے۔

اس کا شمار آزاد متغیرات کے جزوی مشتقات کا استعمال کرتے ہوئے کیا جا سکتا ہے۔ گراڈینٹ ویکٹر جیکوبیئن میٹرکس کو حقیقی قدر والے فنکشن کے لیے کئی کے ساتھ بدل دیتا ہے۔متغیرات۔

تفرق ایک مشتق کو تلاش کرنے کا عمل ہے۔ Antidifferentiation مخالف عمل کی اصطلاح ہے۔ انسداد تفریق اور انضمام کا تعلق کیلکولس کے بنیادی نظریہ میں ہے۔ سنگل متغیر کیلکولس کے دو بنیادی عمل ہیں تفریق اور انضمام۔

ریئل اے ویری ایبل کے مشتقات اور فنکشن کے بارے میں جاننے کے لیے یہ ویڈیو دیکھیں

مختلف اشارے

لیبنز کی اشارے

1675 میں، Gottfried Wilhelm Leibniz نے حروف dx، dy، اور dy/dx متعارف کرائے تھے۔ آج بھی، یہ اکثر اس وقت استعمال ہوتا ہے جب مساوات y = f(x) میں منحصر اور آزاد متغیر کے درمیان تعلق کو فعال سمجھا جاتا ہے۔ Leibniz کے اشارے کا استعمال کرتے ہوئے مخصوص کیا جائے، جو جزوی تفریق کے لیے اہم ہے۔

Lagrange's notation

سب سے زیادہ مقبول جدید تفریق اشارے میں سے ایک، جسے بعض اوقات پرائم نوٹیشن کے نام سے جانا جاتا ہے، پرائم مارک استعمال کرتا ہے اور اس کا سہرا جوزف لوئس لاگرینج کو دیا جاتا ہے۔ یہ فنکشن f کے مشتق کو f1 کے طور پر ظاہر کرتا ہے۔

مؤخر الذکر اشارے f کے nویں مشتق کے لیے اشارے f(n) فراہم کرنے کے لیے عام کرتا ہے، جو کہ مشتق کو بطور فنکشن بحث کرتے وقت زیادہ آسان ہوتا ہے۔ بجائے خود ایک فنکشن کی وجہ سے کیونکہ اس صورت حال میں لیبنز کا اشارہ پیچیدہ ہو سکتا ہے۔

نیوٹن کا نوٹیشن

ایک ڈاٹ ہےنیوٹن کی تفریق اشارے میں فنکشن کے نام پر رکھا جاتا ہے، جسے اکثر اوقات مشتق کی نشاندہی کرنے کے لیے "ڈاٹ نوٹیشن" کے نام سے جانا جاتا ہے۔

اس اشارے کا استعمال کرتے ہوئے صرف وقت یا آرک کی لمبائی کے حوالے سے مشتقات کی نمائندگی کی جاتی ہے۔ عام طور پر، یہ تفریق جیومیٹری اور فزکس میں تفریق مساوات پر لاگو ہوتا ہے۔ تاہم، ڈاٹ اشارے کئی آزاد متغیرات اور ہائی آرڈر ڈیریویٹوز (آرڈر 4 یا اس سے زیادہ) پر لاگو نہیں ہوتے ہیں۔

ایولر کا نوٹیشن

پہلا ڈیریویٹیو ڈی ایف ڈیفرنشل آپریٹر کا استعمال کرتے ہوئے حاصل کیا جاتا ہے۔ ڈی یولر کے اشارے میں اسے فنکشن f پر لاگو کرکے۔ Dnd کا مطلب nth مشتق ہے۔

اگر y = f(x) ایک منحصر متغیر ہے، تو آزاد متغیر x کو اکثر ڈی میں سب اسکرپٹ x کو شامل کرکے واضح کیا جاتا ہے۔

اگرچہ متغیر x کو سمجھا جاتا ہے۔ جیسا کہ جب یہ مساوات میں موجود واحد آزاد متغیر ہے، تو اس سبسکرپٹ کو اکثر چھوڑ دیا جاتا ہے۔

لکیری تفریق مساوات کو ظاہر کرنے اور حل کرنے کے لیے، یولر کا اشارہ مددگار ہے۔

ریاضی میں مشتقات کا اطلاق

ریاضی میں مشتقات کا اکثر استعمال ہوتا ہے۔ ان کا استعمال کسی فنکشن کی زیادہ سے زیادہ یا کم از کم، وکر کی ڈھلوان، یا یہاں تک کہ انفلیکشن پوائنٹ کا تعین کرنے کے لیے کیا جا سکتا ہے۔

ذیل میں چند مثالیں ہیں جہاں ہم مشتق کو استعمال کریں گے۔ اور مندرجہ ذیل حصے ان میں سے ہر ایک کے بارے میں بڑی تفصیل میں جاتے ہیں۔ مشتقات کا اطلاقاکثر اس میں پایا جاتا ہے:

• ایک مقدار کی تبدیلی کی شرح کا حساب لگانا
• قدر کا اچھا اندازہ لگانا
• وکر کے ٹینجنٹ اور نارمل کے لیے مساوات تلاش کرنا
• پوائنٹ آف انفلیکشن، میکسیما اور منیما کی نشاندہی کرنا
• بڑھتے اور گھٹتے فنکشنز کا اندازہ لگانا

پوائنٹ کا حساب لگانے کے لیے مشتق کا استعمال کیا جاتا ہے انفلیکشن کا، زیادہ سے زیادہ اور کم از کم پوائنٹ

حقیقی زندگی میں مشتقات کا اطلاق

مشتق کو حقیقی زندگی میں بہت سے حالات میں استعمال کیا جا سکتا ہے۔ یہاں چند حالات کی ایک فہرست ہے جس میں آپ اخذ استعمال کر سکتے ہیں:

• کاروبار میں منافع اور نقصان کا حساب لگانے کے لیے۔
• درجہ حرارت کی تبدیلی کی پیمائش کرنے کے لیے۔
• سفر کی شرح کا حساب کرنے کے لیے، جیسے میل فی گھنٹہ، کلومیٹر فی گھنٹہ، وغیرہ۔
• زلزلے کی شدت کا پتہ لگانا سیسمولوجی ریسرچ میں ایک پسندیدہ کام ہے۔

نتیجہ

• d2y/dx2 دوسرا اخذ ہے۔
• (dy/dx) ^2 پہلا مشتق مربع ہے۔
• ایک مشتق کو حقیقی زندگی میں متعدد مقاصد کے لیے مختلف شعبوں میں استعمال کیا جاتا ہے۔ زیادہ سے زیادہ اور کم سے کم پوائنٹس کا حساب لگانے کے لیے ریاضی۔
• اس کا استعمال کاروبار کے مالیات کا حساب لگانے اور منافع اور نقصان کا حساب لگانے کے لیے کیا جا سکتا ہے۔