Derivatif memiliki banyak kegunaan di luar matematika dan kehidupan sehari-hari, termasuk dalam mata pelajaran seperti sains, teknik, fisika, dan lainnya.

Anda harus telah menguasai kemampuan untuk menghitung turunan dari berbagai fungsi di kursus sebelumnya, termasuk trigonometri, implisit, logaritma, dll.

d2y/dx2 dan (dydx)^2 adalah dua persamaan turunan. Namun untuk memahaminya, pertama-tama, Anda harus memahami apa sebenarnya turunan kedua.

Turunan dari suatu fungsi dalam kalkulus dikenal sebagai turunan kedua, kadang-kadang dikenal sebagai turunan orde dua.

Turunan kedua, secara kasarnya, mengukur bagaimana laju perubahan kuantitas itu sendiri berubah. Misalnya, turunan kedua dari posisi objek terhadap waktu adalah percepatan sesaat objek tersebut atau laju perubahan kecepatan objek tersebut terhadap waktu.

Dalam artikel ini, saya akan memberi tahu Anda apa perbedaan antara d2y/dx2=(dydx)^2 dan apa arti turunan sebenarnya.

D2y/dx2 Vs (dydx)^2

Turunan dari dy/dx (Angka 2 ini mungkin terlihat seperti notasi indeks, tetapi sebenarnya tidak). (dydx)2, di sisi lain, adalah kuadrat dari turunan pertama.

Contoh:

Ambil Y = 3 ???? 3+6 ???? 2y=3×3+6×2

Turunan pertama: dy/dx = 9 ???? 2+12 ???? dydx = 9 × 2 + 12x

Turunan kedua: d2yd????2=18 ???? +12d2ydx2 = 18x + 12

Kuadrat dari turunan pertama: (dydx)2 = (9 ???? 2+12 ???? )2=(81 ???? 4+216 ???? 3+144

Apa Itu Turunan Kedua?

Ketika Anda mendiferensiasikan turunannya, Anda mendapatkan turunan kedua. Ingatlah bahwa dy/dx adalah turunan y terhadap x. Turunan kedua, diucapkan "dee dua y dengan d x kuadrat," direpresentasikan sebagai d2y/dx2.

Sifat titik stasioner dapat lebih mudah dipastikan dengan menggunakan turunan kedua (apakah itu titik maksimum, titik minimum, atau titik belok).

Ketika dy/dx = 0, kurva mencapai titik stasioner. Jenis titik stasioner (maksimum, minimum, atau titik belok) dapat ditentukan dengan menggunakan turunan kedua setelah lokasi titik stasioner ditetapkan.

Bagaimana cara mengidentifikasi titik maksimal dan minimal?

d2y/d2x adalah turunan kedua.

Apa Itu Derivatif?

Turunan fungsi dari sebuah variabel nyata dalam matematika mengukur sensitivitas nilai fungsi (nilai keluaran) terhadap perubahan argumennya (nilai masukan). Alat utama Kalkulus adalah turunan.

Kecepatan sebuah benda, misalnya, adalah turunan dari posisinya terhadap waktu, yang mengukur seberapa cepat posisi benda tersebut bervariasi seiring dengan berlalunya waktu.

Ketika hal ini terjadi, kemiringan garis singgung pada grafik fungsi pada nilai input yang diberikan adalah turunan dari fungsi variabel tunggal. Fungsi yang paling dekat dengan nilai input tersebut paling baik didekati secara linear oleh garis singgung.

Oleh karena itu, turunannya sering disebut sebagai "tingkat perubahan sesaat", yang merupakan rasio perubahan sesaat dalam variabel dependen terhadap variabel independen.

Untuk memasukkan fungsi dari beberapa variabel nyata, turunan dapat digeneralisasi. Generalisasi ini menginterpretasikan ulang turunan sebagai transformasi linier yang grafiknya, setelah terjemahan yang sesuai, merupakan perkiraan linier terbaik untuk grafik fungsi asli.

Mengenai dasar yang diberikan oleh pemilihan variabel independen dan dependen, matriks Jacobian adalah matriks yang merepresentasikan transformasi linier ini.

Vektor gradien dapat dihitung menggunakan turunan parsial dari variabel independen. Vektor gradien menggantikan matriks Jacobian untuk fungsi bernilai riil dengan beberapa variabel.

Diferensiasi adalah tindakan menemukan turunan. Antidiferensiasi adalah istilah untuk proses yang berlawanan. Antidiferensiasi dan integrasi terkait dalam teorema dasar kalkulus. Dua operasi dasar kalkulus variabel tunggal adalah diferensiasi dan integrasi.

Tonton Video Ini untuk Mengetahui Tentang Turunan dan Fungsi Variabel Real

Notasi yang berbeda

Notasi Leibniz

Pada tahun 1675, Gottfried Wilhelm Leibniz memperkenalkan huruf dx, dy, dan dy/dx. Bahkan sampai saat ini, huruf-huruf tersebut sering digunakan ketika hubungan antara variabel dependen dan independen dalam persamaan y = f(x) dianggap sebagai fungsional.

Variabel untuk diferensiasi (dalam penyebut) dapat ditentukan dengan menggunakan notasi Leibniz, yang penting untuk diferensiasi parsial.

Notasi Lagrange

Salah satu notasi diferensiasi modern yang paling populer, kadang-kadang dikenal sebagai notasi prima, menggunakan tanda prima dan dikreditkan ke Joseph-Louis Lagrange. Ini menunjukkan turunan fungsi f sebagai f1.

Notasi yang terakhir digeneralisasi untuk memberikan notasi f(n) untuk turunan ke-n dari f, yang lebih mudah ketika membahas turunan sebagai fungsi daripada fungsi itu sendiri karena notasi Leibniz dapat menjadi rumit dalam situasi ini.

Notasi Newton

Sebuah titik ditempatkan di atas nama fungsi dalam notasi diferensiasi Newton, yang sering dikenal sebagai "notasi titik," untuk menandakan turunan waktu.

Hanya turunan yang berkaitan dengan waktu atau panjang busur yang direpresentasikan dengan menggunakan notasi ini. Biasanya, notasi ini diterapkan pada persamaan diferensial dalam geometri diferensial dan fisika. Namun, notasi titik tidak dapat diterapkan pada beberapa variabel independen dan turunan orde tinggi (orde 4 atau lebih).

Notasi Euler

Turunan pertama Df diperoleh dengan menggunakan operator diferensial D dalam notasi Euler dengan menerapkannya pada sebuah fungsi f. Dnd merupakan turunan ke-n.

Jika y = f(x) adalah variabel dependen, variabel independen x sering kali diperjelas dengan menambahkan subskrip x pada D.

Meskipun ketika variabel x dipahami, seperti ketika ini adalah satu-satunya variabel independen yang terdapat dalam persamaan, subskrip ini sering kali dihilangkan.

Untuk mengekspresikan dan menyelesaikan persamaan diferensial linear, notasi Euler sangat membantu.

Penerapan Turunan dalam Matematika

Derivatif sering digunakan dalam matematika. Mereka dapat digunakan untuk menentukan maksimum atau minimum fungsi, kemiringan kurva, atau bahkan titik belok.

Di bawah ini adalah beberapa contoh di mana kita akan menggunakan turunan. Dan bagian berikut ini akan menjelaskan secara rinci mengenai masing-masing turunan. Penerapan turunan paling sering ditemukan dalam:

• Menghitung Laju perubahan suatu kuantitas
• Mendapatkan perkiraan nilai yang baik
• Menemukan persamaan untuk garis singgung dan normal kurva
• Mengidentifikasi titik infleksi, maksima, dan minima
• Membuat penilaian terhadap peningkatan dan penurunan fungsi

Derivatif digunakan untuk menghitung titik belok, titik maksimum dan minimum

Penerapan Derivatif dalam Kehidupan Nyata

Derivatif dapat digunakan dalam banyak situasi di kehidupan nyata. Berikut adalah daftar beberapa situasi di mana Anda dapat menggunakan derivasi:

• Untuk menghitung untung dan rugi dalam bisnis.
• Untuk mengukur variasi suhu.
• Untuk menghitung kecepatan perjalanan, seperti mil per jam, kilometer per jam, dll.
• Banyak persamaan fisika yang diturunkan dengan menggunakan turunan.
• Menemukan kisaran magnitudo gempa adalah tugas favorit dalam penelitian seismologi.

Kesimpulan

• d2y/dx2 adalah turunan kedua.
• (dy/dx) ^2 adalah turunan pertama yang dikuadratkan.
• Derivatif digunakan dalam berbagai bidang untuk beberapa tujuan dalam kehidupan nyata.
• Derivatif digunakan dalam matematika untuk menghitung poin maksimum dan minimum.
• Ini dapat digunakan dalam bisnis untuk menghitung keuangan bisnis dan untuk menghitung untung dan rugi.