Törəmələrin yalnız riyaziyyatdan və gündəlik həyatdan kənarda, o cümlədən elm, mühəndislik, fizika və s. kimi mövzularda çoxlu istifadəsi var.

Siz əvvəlki kurslarda müxtəlif funksiyaların törəmələrini, o cümlədən triqonometrik, gizli, loqarifm və s. hesablamaq bacarığını mənimsəmiş olmalısınız.

d2y/dx2 və (dydx)^2 iki törəmədir tənliklər. Ancaq onları başa düşmək üçün əvvəlcə ikinci törəmənin tam olaraq nə olduğunu başa düşməlisiniz.

Hesablamada funksiyanın törəməsi ikinci törəmə, bəzən isə ikinci dərəcəli törəmə kimi tanınır.

İkinci törəmə, kobud desək, kəmiyyətin dəyişmə sürətinin özünün necə dəyişdiyini ölçür. Məsələn, cismin zamana görə mövqeyinin ikinci törəməsi cismin ani sürətlənməsi və ya cismin sürətinin zamana görə dəyişmə sürətidir.

Bu məqalədə sizə nəyi izah edəcəyəm. d2y/dx2=(dydx)^2 ilə törəmənin nə demək olduğu arasındakı fərqdir.

D2y/dx2 Vs (dydx)^2

dy/dx törəməsi (Bunlar 2s indeks notasiyası kimi görünə bilər, lakin onlar deyil). (dydx)2 isə birinci törəmənin kvadratıdır.

Misal:

Y=3 götürün???? 3 +6 ???? 2y=3×3+6×2

Birinci törəmə: dy/dx=9 ???? 2+12 ???? dydx=9×2+12x

İkinci törəmə:d2yd????2=18 ???? +12d2ydx2=18x+12

Birinci törəmənin kvadratı: (dydx)2=(9 ??? ? 2+12 ???? )2=(81 ???? 4+216 ???? 3+144

İkinci Törəmə Nədir?

Törəməni diferensiallaşdırarkən ikinci törəməni alırsınız. Yadda saxlayın ki, dy/dx x-ə münasibətdə y-nin törəməsidir. İkinci törəmə tələffüz olunur “dee iki y x d x kvadrat,” d2y/dx2 kimi təmsil olunur.

Stasionar nöqtələrin təbiəti ikinci törəmədən istifadə etməklə daha asan müəyyən edilə bilər (onların maksimum xal, minimum xal, və ya əyilmə nöqtələri).

dy/dx = 0 olduqda əyri stasionar nöqtəyə çatır.Sabit nöqtənin növü (maksimum, minimum və ya əyilmə nöqtəsi) ikinci törəmə ilə müəyyən edilə bilər. stasionar nöqtənin yeri müəyyən edilmişdir.

Maksima və minimum nöqtələri necə müəyyən etmək olar?

d2y/d2x ikinci törəmədir.

Törəmə nədir?

Riyaziyyatda həqiqi dəyişən funksiyasının törəməsi kəmiyyəti müəyyən edir.funksiyanın dəyərinin (çıxış dəyərinin) arqumentindəki dəyişikliklərə (giriş dəyəri) həssaslığı. Hesablamanın əsas aləti törəmədir.

Məsələn, bir maddənin sürəti zamana görə onun mövqeyinin törəməsidir. O, zaman keçdikcə obyektin mövqeyinin nə qədər sürətlə dəyişdiyini kəmiyyətləşdirir.

O baş verdikdə, verilmiş giriş dəyərində funksiyanın qrafikinə toxunan xəttin mailliyi tək dəyişənli funksiyanın törəməsidir. Bu giriş dəyərinə ən yaxın olan funksiya, tangens xətti ilə xətti olaraq ən yaxşı şəkildə yaxınlaşdırılır.

Buna görə də törəmə tez-tez asılı dəyişəndəki ani dəyişikliyin müstəqil dəyişəndəkinə nisbəti olan “ani dəyişmə sürəti” adlandırılır.

Bir neçə real dəyişənin funksiyalarını daxil etmək üçün törəmələri ümumiləşdirmək olar. Bu ümumiləşdirmə törəməni xətti transformasiya kimi yenidən şərh edir, onun qrafiki uyğun tərcümədən sonra orijinal funksiyanın qrafikinə ən yaxşı xətti yaxınlaşmadır.

Müstəqil və asılı dəyişənlərin seçilməsi ilə təmin edilən təmələ gəlincə, Yakobi matrisi bu xətti transformasiyanı təmsil edən matrisdir.

Müstəqil dəyişənlərin qismən törəmələrindən istifadə etməklə hesablana bilər. Qradiyent vektoru real qiymətli funksiya üçün Yakobi matrisini bir neçə ilə əvəz edirdəyişənlər.

Diferensasiya törəmənin yerini müəyyənləşdirmə hərəkətidir. Antidiferensiasiya əks proses üçün termindir. Antidiferensiasiya və inteqrasiya hesablamanın əsas teoremində əlaqəlidir. Təkdəyişənli hesablamanın iki əsas əməliyyatı diferensiallaşdırma və inteqrasiyadır.

Real a dəyişənin törəmələri və funksiyası haqqında bilmək üçün bu videoya baxın

Müxtəlif qeydlər

Leybniz qeydi

1675-ci ildə Gottfried Wilhelm Leibniz dx, dy və dy/dx hərflərini təqdim etdi. Bu gün də, y = f(x) tənliyində asılı və müstəqil dəyişənlər arasındakı əlaqə funksional hesab edildikdə tez-tez istifadə olunur.

Fərqlənmə üçün dəyişən (məxrəcdə) ola bilər. qismən diferensiasiya üçün vacib olan Leybnits qeydindən istifadə etməklə dəqiqləşdirilə bilər.

Laqranj qeydi

Ən məşhur müasir diferensiallaşma qeydlərindən biri, bəzən əsas notasiya kimi tanınır, əsas işarədən istifadə edir və Cozef-Luis Laqranca hesablanmışdır. O, f funksiyasının törəməsini f1 kimi göstərir.

Sonuncu qeyd f-nin n-ci törəməsi üçün f(n) qeydini təmin etmək üçün ümumiləşir ki, bu da törəməni funksiya kimi müzakirə edərkən daha əlverişlidir. öz funksiyası deyil, çünki Leybniz qeydi bu vəziyyətdə mürəkkəb ola bilər.

Nyuton qeydi

NöqtəNyutonun differensiasiya notasiyasında funksiya adının üzərinə yerləşdirilir, çox vaxt “nöqtə qeydi” kimi tanınır, zaman törəməsini ifadə edir.

Bu qeyddən istifadə etməklə yalnız zaman və ya qövs uzunluğu ilə bağlı törəmələr təmsil olunur. Adətən, diferensial həndəsə və fizikada diferensial tənliklərə tətbiq edilir. Bununla belə, nöqtə işarəsi bir neçə müstəqil dəyişənə və yüksək dərəcəli törəmələrə (4-cü və ya daha çox) tətbiq edilmir.

Euler qeydi

İlk törəmə Df diferensial operatordan istifadə etməklə alınır. Eyler qeydində D onu f funksiyasına tətbiq etməklə. Dnd n-ci törəməni ifadə edir.

Əgər y = f(x) asılı dəyişəndirsə, x müstəqil dəyişəni tez-tez D-ə x alt simvolu əlavə edilməklə aydınlaşdırılır.

Baxmayaraq ki, x dəyişəni başa düşülür. məsələn, bu tənlikdə olan yeganə müstəqil dəyişən olduqda, bu alt işarə çox vaxt kənarda qalır.

Xətti diferensial tənlikləri ifadə etmək və həll etmək üçün Eyler qeydi faydalıdır.

Törəmələrin Riyaziyyatda tətbiqi

Riyaziyyatda törəmələrdən tez-tez istifadə olunur. Onlar funksiyanın maksimum və ya minimumunu, əyrinin yamacını və ya hətta əyilmə nöqtəsini təyin etmək üçün istifadə edilə bilər.

Aşağıda törəmədən istifadə edəcəyimiz bir neçə hal var. Və sonrakı bölmələr onların hər biri haqqında çox ətraflı məlumat verir. Törəmələrin tətbiqiən çox rast gəlinir:

• Kəmiyyətin dəyişmə sürətinin hesablanması
• Dəyərin yaxşı qiymətləndirilməsi
• Əyrinin tangensi və normalı üçün tənliyin tapılması
• Əyilmə nöqtəsinin, maksimal və minimumun müəyyən edilməsi
• Artan və azalan funksiyaların qiymətləndirilməsi

Nöqtənin hesablanması üçün törəmə istifadə olunur. əyilmə, maksimum və minimum nöqtə

Törəmələrin Real Həyatda Tətbiqi

Törəmələr real həyatda bir çox hallarda istifadə edilə bilər. Burada derivasiyadan istifadə edə biləcəyiniz bir neçə vəziyyətin siyahısı verilmişdir:

• Biznesdə mənfəət və zərəri hesablamaq üçün.
• Temperatur dəyişkənliyini ölçmək üçün.
• Səyahət sürətini hesablamaq üçün, məsələn, saatda mil, saatda kilometr və s.
• Törəmələrdən istifadə etməklə çoxsaylı fizika tənlikləri əldə edilir.
• Zəlzələnin maqnituda diapazonunun tapılması seysmologiya tədqiqatında sevimli məsələdir.

Nəticə

• d2y/dx2 ikinci törəmədir.
• (dy/dx) ^2 birinci törəmənin kvadratıdır.
• Törəmə real həyatda bir neçə məqsədlər üçün müxtəlif sahələrdə istifadə olunur.
• Törəmə maksimum və minimum balları hesablamaq üçün riyaziyyat.
• Biznesdə biznesin maliyyəsini hesablamaq və mənfəət və zərəri hesablamaq üçün istifadə edilə bilər.