Derivati ​​imaju mnoge upotrebe izvan samo matematike i svakodnevnog života, uključujući u predmetima kao što su nauka, inženjerstvo, fizika i drugi.

Mora da ste savladali sposobnost izračunavanja izvoda različitih funkcija u ranijim kursevima, uključujući trigonometrijske, implicitne, logaritamske, itd.

d2y/dx2 i (dydx)^2 su dvije derivacije jednačine. Ali da biste ih razumjeli, prvo morate razumjeti šta je tačno drugi derivat.

Izvod funkcije u proračunu poznat je kao drugi izvod, ponekad poznat i kao izvod drugog reda.

Drugi izvod, grubo govoreći, mjeri kako se sama brzina promjene veličine mijenja. Na primjer, drugi izvod položaja objekta u odnosu na vrijeme je trenutno ubrzanje objekta ili brzina kojom se brzina objekta mijenja u odnosu na vrijeme.

U ovom članku ću vam reći što je razlika između d2y/dx2=(dydx)^2 i šta tačno znači derivacija.

D2y/dx2 Vs (dydx)^2

Derivat od dy/dx (ovi 2s mogu izgledati kao indeksna notacija, ali nisu). (dydx)2, s druge strane, je kvadrat prvog izvoda.

Primjer:

Uzmite Y=3 ???? 3 +6 ???? 2y=3×3+6×2

Prva derivacija: dy/dx=9 ???? 2+12 ???? dydx=9×2+12x

Drugi izvod:d2yd????2=18 ???? +12d2ydx2=18x+12

Kvadrat prvog izvoda: (dydx)2=(9 ??? ? 2+12 ???? )2=(81 ???? 4+216 ???? 3+144

Šta je drugi izvod?

Kada razlikujete izvod, dobijate drugi izvod. Zapamtite da je dy/dx izvod od y u odnosu na x. Drugi izvod, izgovara se “dee two y by d x squared,” je predstavljen kao d2y/dx2.

Priroda stacionarnih tačaka može se lakše utvrditi korištenjem druge derivacije (da li su to maksimalne točke, minimalne točke, ili tačke infleksije).

Kada je dy/dx = 0, kriva dostiže stacionarnu tačku. Tip stacionarne tačke (maksimalna, minimalna ili tačka pregiba) može se odrediti pomoću druge derivacije nakon lokacija stacionarne tačke je utvrđena.

Kako identificirati tačke maksimuma i minimuma?

d2y/d2x je drugi izvod.

Šta je derivacija?

Izvod funkcije realne varijable u matematici kvantificiraosjetljivost vrijednosti funkcije (izlazna vrijednost) na promjene njenog argumenta (ulazna vrijednost). Osnovni alat računala je derivat.

Brzina stavke, na primjer, je derivat njenog položaja u odnosu na vrijeme. Kvantifikuje koliko brzo se pozicija objekta mijenja kako vrijeme prolazi.

Kada se to dogodi, nagib tangentne linije na graf funkcije na datoj ulaznoj vrijednosti je derivacija funkcije jedne varijable. Funkciju najbližu toj ulaznoj vrijednosti najbolje je linearno aproksimirati tangentnom linijom.

Zbog toga, derivat se često naziva "trenutna stopa promjene", što je omjer trenutne promjene zavisne varijable i one u nezavisnoj varijabli.

Da bi se uključile funkcije nekoliko realnih varijabli, derivati ​​se mogu generalizirati. Ova generalizacija reinterpretira izvod kao linearnu transformaciju čiji je graf, nakon odgovarajuće translacije, najbolja linearna aproksimacija grafu originalne funkcije.

S obzirom na osnovu koju daje odabir nezavisnih i zavisnih varijabli, Jacobian matrica je matrica koja predstavlja ovu linearnu transformaciju.

Može se izračunati korištenjem parcijalnih izvoda nezavisnih varijabli. Vektor gradijenta zamjenjuje Jacobian matricu za funkciju realne vrijednosti sa nekolikovarijable.

Diferencijacija je akcija lociranja derivata. Antidiferencijacija je termin za suprotan proces. Antidiferencijacija i integracija su povezane u temeljnoj teoremi računa. Dvije fundamentalne operacije računa sa jednom promjenljivom su diferencijacija i integracija.

Pogledajte ovaj video da biste saznali više o derivatima i funkciji realne varijable

Različite notacije

Leibnizova notacija

Gottfried Wilhelm Leibniz je 1675. godine uveo slova dx, dy i dy/dx. Čak i danas, često se koristi kada se odnos između zavisnih i nezavisnih varijabli u jednačini y = f(x) smatra funkcionalnim.

Varijabla za diferencijaciju (u nazivniku) može biti specificiran korištenjem Leibnizove notacije, koja je važna za djelomičnu diferencijaciju.

Lagrangeova notacija

Jedna od najpopularnijih modernih notacija diferencijacije, ponekad poznata kao početna notacija, koristi osnovnu oznaku i pripisuje se Joseph-Louis Lagrangeu. Označava derivaciju funkcije f kao f1.

Potonja notacija se generalizira kako bi osigurala notaciju f(n) za n-ti izvod od f, što je pogodnije kada se raspravlja o izvodu kao funkciji a ne funkcija sama po sebi jer Leibnizova notacija može biti komplikovana u ovoj situaciji.

Newtonova notacija

Tačka jepostavljeno preko naziva funkcije u Newtonovom diferencijacijskom zapisu, često poznatom kao “točkasti zapis”, da označi vremenski izvod.

Samo derivati ​​s obzirom na vrijeme ili dužinu luka su predstavljeni pomoću ove notacije. Obično se primjenjuje na diferencijalne jednadžbe u diferencijalnoj geometriji i fizici. Međutim, oznaka tačke nije primjenjiva na nekoliko nezavisnih varijabli i derivata visokog reda (red 4 ili više).

Eulerova notacija

Prva derivacija Df se dobiva korištenjem diferencijalnog operatora D u Eulerovoj notaciji primjenom na funkciju f. Dnd označava n-tu izvedenicu.

Ako je y = f(x) zavisna varijabla, nezavisna varijabla x se često pojašnjava dodavanjem indeksa x u D.

Iako kada se varijabla x razumije , kao kada je ovo jedina nezavisna varijabla sadržana u jednadžbi, ovaj indeks se često izostavlja.

Za izražavanje i rješavanje linearnih diferencijalnih jednadžbi, Eulerova notacija je od pomoći.

Primjena izvoda u matematici

Derivati ​​se često koriste u matematici. Mogu se koristiti za određivanje maksimuma ili minimuma funkcije, nagiba krivulje ili čak točke pregiba.

U nastavku je nekoliko instanci u kojima ćemo koristiti derivat. I sljedeći odjeljci detaljno govore o svakom od njih. Primjena derivatase najčešće nalazi u:

• Izračunavanje brzine promjene količine
• Dobijanje dobre procjene vrijednosti
• Pronalaženje jednadžbe za tangentu krivulje i normalu
• Identifikovanje tačke pregiba, maksimuma i minimuma
• Izrada procjene rastuće i opadajuće funkcije

Izvod se koristi za izračunavanje tačke od infleksije, maksimalne i minimalne tačke

Primjena derivata u stvarnom životu

Derivati ​​se mogu koristiti u mnogim situacijama u stvarnom životu. Evo liste nekoliko situacija u kojima možete koristiti derivaciju:

• Za izračunavanje dobiti i gubitka u poslovanju.
• Za mjerenje temperaturnih varijacija.
• Za izračunavanje brzine putovanja, kao što su milje na sat, kilometri na sat, itd.
• Brojne fizičke jednadžbe se izvode pomoću derivata.
• Pronalaženje opsega magnitude potresa je omiljeni zadatak u seizmološkim istraživanjima.

Zaključak

• d2y/dx2 je druga derivacija.
• (dy/dx) ^2 je prvi izvod na kvadrat.
• Izvod se koristi u različitim poljima za nekoliko svrha u stvarnom životu.
• Izvod se koristi u matematika za izračunavanje maksimalnih i minimalnih bodova.
• Može se koristiti u poslovanju za izračunavanje financija poslovanja i izračunavanje dobiti i gubitka.