Ableitungen werden nicht nur in der Mathematik und im täglichen Leben verwendet, sondern auch in Fächern wie Wissenschaft, Technik, Physik und anderen.

Sie müssen in früheren Kursen die Ableitung verschiedener Funktionen, einschließlich trigonometrischer Funktionen, impliziter Funktionen, Logarithmen usw., berechnen können.

d2y/dx2 und (dydx)^2 sind zwei Ableitungsgleichungen, aber um sie zu verstehen, muss man zunächst wissen, was genau die zweite Ableitung ist.

Die Ableitung einer Funktion wird in der Infinitesimalrechnung als zweite Ableitung bezeichnet, manchmal auch als Ableitung zweiter Ordnung.

Die zweite Ableitung misst, grob gesagt, wie sich die Änderungsrate einer Größe selbst ändert. Die zweite Ableitung der Position eines Objekts nach der Zeit ist beispielsweise die momentane Beschleunigung des Objekts oder die Rate, mit der sich die Geschwindigkeit des Objekts nach der Zeit ändert.

In diesem Artikel erkläre ich Ihnen, was der Unterschied zwischen d2y/dx2=(dydx)^2 ist und was genau Ableitung bedeutet.

D2y/dx2 Vs (dydx)^2

Ableitung von dy/dx (Diese 2s sehen zwar wie eine Indexschreibweise aus, sind es aber nicht). (dydx)2 hingegen ist das Quadrat der ersten Ableitung.

Beispiel:

Nehmen Sie Y=3 ???? 3+6 ???? 2y=3×3+6×2

Die erste Ableitung: dy/dx=9 ???? 2+12 ???? dydx=9×2+12x

Die zweite Ableitung: d2yd????2=18 ???? +12d2ydx2=18x+12

Das Quadrat der ersten Ableitung: (dydx)2=(9 ???? 2+12 ???? )2=(81 ???? 4+216 ???? 3+144

Was ist die zweite Ableitung?

Wenn Sie die Ableitung differenzieren, erhalten Sie die zweite Ableitung. Erinnern Sie sich, dass dy/dx die Ableitung von y nach x ist. Die zweite Ableitung, ausgesprochen "dee zwei y durch d x im Quadrat", wird als d2y/dx2 dargestellt.

Die Art der stationären Punkte lässt sich anhand der zweiten Ableitung leichter feststellen (ob es sich um Maximal-, Minimal- oder Wendepunkte handelt).

Wenn dy/dx = 0 ist, erreicht eine Kurve einen stationären Punkt. Die Art des stationären Punktes (Maximum, Minimum oder Wendepunkt) kann mit Hilfe der zweiten Ableitung bestimmt werden, sobald die Lage des stationären Punktes ermittelt wurde.

Wie lassen sich Maxima und Minima ermitteln?

d2y/d2x ist die zweite Ableitung.

Was ist ein Derivat?

Die Ableitung einer Funktion einer reellen Variablen in der Mathematik quantifiziert die Empfindlichkeit des Werts der Funktion (Ausgabewert) gegenüber Änderungen ihres Arguments (Eingabewert). Das zentrale Werkzeug der Kalkulation ist die Ableitung.

Die Geschwindigkeit eines Objekts beispielsweise ist die Ableitung seiner Position nach der Zeit und gibt an, wie schnell sich die Position des Objekts im Laufe der Zeit ändert.

In diesem Fall ist die Steigung der Tangente an den Graphen der Funktion bei einem bestimmten Eingabewert die Ableitung einer Funktion mit einer einzigen Variablen. Die Funktion, die diesem Eingabewert am nächsten liegt, wird am besten durch die Tangente linear angenähert.

Aus diesem Grund wird die Ableitung häufig als "momentane Änderungsrate" bezeichnet, die das Verhältnis der momentanen Änderung der abhängigen Variablen zu der der unabhängigen Variablen darstellt.

Um Funktionen mehrerer reeller Variablen einzubeziehen, können Ableitungen verallgemeinert werden. Diese Verallgemeinerung interpretiert die Ableitung als eine lineare Transformation, deren Graph nach einer geeigneten Translation die beste lineare Annäherung an den Graphen der ursprünglichen Funktion ist.

Die Jacobi-Matrix ist die Matrix, die diese lineare Transformation darstellt, und bildet die Grundlage für die Auswahl der unabhängigen und abhängigen Variablen.

Er kann mit Hilfe der partiellen Ableitungen der unabhängigen Variablen berechnet werden. Der Gradientenvektor ersetzt die Jacobimatrix für eine reellwertige Funktion mit mehreren Variablen.

Unter Differenzierung versteht man das Auffinden einer Ableitung. Antidifferenzierung ist die Bezeichnung für den umgekehrten Vorgang. Antidifferenzierung und Integration sind im Fundamentalsatz der Infinitesimalrechnung miteinander verbunden. Die beiden Grundoperationen der Eingrößenrechnung sind Differenzierung und Integration.

Sehen Sie sich dieses Video an, um mehr über die Ableitungen und die Funktion einer reellen Variable zu erfahren

Verschiedene Notationen

Leibnizsche Notation

Gottfried Wilhelm Leibniz führte 1675 die Buchstaben dx, dy und dy/dx ein, die auch heute noch häufig verwendet werden, wenn die Beziehung zwischen der abhängigen und der unabhängigen Variable in der Gleichung y = f(x) als funktional betrachtet wird.

Die zu differenzierende Variable (im Nenner) kann mit der Leibnizschen Notation angegeben werden, die für die partielle Differenzierung wichtig ist.

Lagrangesche Notation

Eine der populärsten modernen Differenzierungsschreibweisen, die manchmal als Primzahlschreibweise bezeichnet wird, verwendet das Primzahlzeichen und geht auf Joseph-Louis Lagrange zurück. Sie bezeichnet die Ableitung einer Funktion f als f1.

Die letztgenannte Notation verallgemeinert die Notation f(n) für die n-te Ableitung von f, was bequemer ist, wenn man die Ableitung als Funktion und nicht als Funktion von sich selbst diskutiert, weil die Leibniz-Notation in dieser Situation kompliziert sein kann.

Die Newtonsche Notation

In der Newton'schen Differenzierungsschreibweise, die oft als "Punktschreibweise" bezeichnet wird, wird ein Punkt über den Funktionsnamen gesetzt, um eine zeitliche Ableitung zu kennzeichnen.

Mit dieser Notation werden nur Ableitungen nach der Zeit oder der Bogenlänge dargestellt. Sie wird in der Regel für Differentialgleichungen in der Differentialgeometrie und der Physik verwendet. Die Punktnotation ist jedoch für mehrere unabhängige Variablen und Ableitungen höherer Ordnung (Ordnung 4 oder mehr) nicht anwendbar.

Eulersche Notation

Die erste Ableitung Df erhält man mit Hilfe des Differentialoperators D in Eulerscher Schreibweise durch Anwendung auf eine Funktion f. Dnd steht für die n-te Ableitung.

Handelt es sich bei y = f(x) um eine abhängige Variable, wird die unabhängige Variable x häufig durch Hinzufügen des tiefgestellten x zum D verdeutlicht.

Wenn jedoch die Variable x verstanden wird, z. B. wenn es sich um die einzige unabhängige Variable in der Gleichung handelt, wird dieser Index häufig weggelassen.

Für die Formulierung und Lösung von linearen Differentialgleichungen ist die Eulersche Notation hilfreich.

Anwendung von Derivaten in Mathematik

Ableitungen werden in der Mathematik häufig verwendet, um das Maximum oder Minimum einer Funktion, die Steigung einer Kurve oder sogar den Wendepunkt zu bestimmen.

Im Folgenden werden einige Beispiele für die Verwendung von Derivaten genannt, die in den folgenden Abschnitten ausführlich behandelt werden. Die Anwendung von Derivaten findet sich am häufigsten in:

• Berechnung der Änderungsrate einer Größe
• Eine gute Schätzung des Wertes
• Finden der Gleichung für die Tangente und die Normale einer Kurve
• Identifizierung des Wendepunkts, der Maxima und der Minima
• Bewertung der steigenden und fallenden Funktionen

Eine Ableitung wird verwendet, um den Wendepunkt, das Maximum und das Minimum zu berechnen

Anwendung von Derivaten im realen Leben

Ableitungen können in vielen Situationen im wirklichen Leben verwendet werden. Hier ist eine Liste mit einigen Situationen, in denen Sie die Ableitung verwenden können:

• Berechnung von Gewinn und Verlust im Unternehmen.
• Um die Temperaturschwankungen zu messen.
• Zur Berechnung der Fahrgeschwindigkeit, z. B. Meilen pro Stunde, Kilometer pro Stunde usw.
• Zahlreiche physikalische Gleichungen werden mit Hilfe von Ableitungen abgeleitet.
• Die Suche nach dem Magnitudenbereich eines Erdbebens ist eine beliebte Aufgabe in der seismologischen Forschung.

Schlussfolgerung

• d2y/dx2 ist die zweite Ableitung.
• (dy/dx) ^2 ist die erste Ableitung zum Quadrat.
• Eine Ableitung wird in verschiedenen Bereichen für verschiedene Zwecke im wirklichen Leben verwendet.
• Eine Ableitung wird in der Mathematik zur Berechnung von Höchst- und Tiefstwerten verwendet.
• Sie kann in der Wirtschaft verwendet werden, um die Finanzen des Unternehmens zu berechnen und um Gewinn und Verlust zu ermitteln.