Deriváty majú mnoho využití aj mimo matematiky a každodenného života, napríklad v prírodných vedách, inžinierstve, fyzike a ďalších predmetoch.

Schopnosť vypočítať deriváciu rôznych funkcií ste si museli osvojiť v predchádzajúcich kurzoch, vrátane trigonometrickej, implicitnej, logaritmickej atď.

d2y/dx2 a (dydx)^2 sú dve derivačné rovnice. Aby ste im však porozumeli, musíte najprv pochopiť, čo presne je druhá derivácia.

Derivácia funkcie sa v matematike nazýva druhá derivácia, niekedy sa označuje ako derivácia druhého rádu.

Druhá derivácia, zhruba povedané, meria, ako sa mení samotná rýchlosť zmeny veličiny. Napríklad druhá derivácia polohy objektu vzhľadom na čas je okamžité zrýchlenie objektu alebo rýchlosť, ktorou sa mení rýchlosť objektu vzhľadom na čas.

V tomto článku vám poviem, aký je rozdiel medzi d2y/dx2=(dydx)^2 a čo presne znamená derivácia.

D2y/dx2 Vs (dydx)^2

Derivácia dy/dx (Tieto 2s môžu vyzerať ako indexový zápis, ale nie sú). (dydx)2 je na druhej strane kvadrát prvej derivácie.

Príklad:

Vezmite Y=3 ???? 3+6 ???? 2y=3×3+6×2

Prvá derivácia: dy/dx=9 ???? 2+12 ???? dydx=9×2+12x

Druhá derivácia: d2yd????2=18 ???? +12d2ydx2=18x+12

Kvadrát prvej derivácie: (dydx)2=(9 ???? 2+12 ???? )2=(81 ???? 4+216 ???? 3+144

Čo je druhá derivácia?

Keď diferencujete deriváciu, dostanete druhú deriváciu. Pamätajte si, že dy/dx je derivácia y vzhľadom na x. Druhá derivácia, vyslovovaná ako "dee dva y o d x na druhú", sa predstavuje ako d2y/dx2.

Charakter stacionárnych bodov možno ľahšie zistiť pomocou druhej derivácie (či ide o maximálne body, minimálne body alebo body inflexie).

Keď dy/dx = 0, krivka dosiahne stacionárny bod. Typ stacionárneho bodu (maximum, minimum alebo inflexný bod) možno určiť pomocou druhej derivácie po určení polohy stacionárneho bodu.

Ako identifikovať body maxima a minima?

d2y/d2x je druhá derivácia.

Čo je derivát?

Derivácia funkcie reálnej premennej v matematike kvantifikuje citlivosť hodnoty funkcie (výstupnej hodnoty) na zmeny jej argumentu (vstupnej hodnoty). Základným nástrojom kalkulu je derivácia.

Napríklad rýchlosť predmetu je derivácia jeho polohy vzhľadom na čas. Vyjadruje, ako rýchlo sa poloha predmetu mení s plynutím času.

Keď nastane, sklon dotyčnice ku grafu funkcie pri danej vstupnej hodnote je deriváciou funkcie jednej premennej. Funkcia, ktorá je najbližšie k tejto vstupnej hodnote, je najlepšie lineárne aproximovaná dotyčnicou.

Z tohto dôvodu sa derivácia často označuje ako "okamžitá miera zmeny", čo je pomer okamžitej zmeny závislej premennej k zmene nezávislej premennej.

Na zahrnutie funkcií viacerých reálnych premenných možno derivácie zovšeobecniť. Toto zovšeobecnenie reinterpretuje deriváciu ako lineárnu transformáciu, ktorej graf je po vhodnej translácii najlepšou lineárnou aproximáciou grafu pôvodnej funkcie.

Pokiaľ ide o základ, ktorý poskytuje výber nezávislých a závislých premenných, Jakobsonova matica je matica, ktorá predstavuje túto lineárnu transformáciu.

Dá sa vypočítať pomocou parciálnych derivácií nezávislých premenných. Gradientný vektor nahrádza Jakobsonovu maticu pre reálnu funkciu s viacerými premennými.

Diferenciácia je činnosť lokalizácie derivácie. Antidiferenciácia je termín pre opačný proces. Antidiferenciácia a integrácia súvisia v základnej vete kalkulu. Dve základné operácie kalkulu s jednou premennou sú diferenciácia a integrácia.

Pozrite si toto video, aby ste sa dozvedeli o derivátoch a funkcii reálnej premennej

Rôzne zápisy

Leibnizov zápis

V roku 1675 Gottfried Wilhelm Leibniz zaviedol písmená dx, dy a dy/dx. Aj dnes sa často používajú, keď sa vzťah medzi závislou a nezávislou premennou v rovnici y = f(x) považuje za funkčný.

Premennú pre diferenciáciu (v menovateli) možno určiť pomocou Leibnizovho zápisu, ktorý je dôležitý pre parciálnu diferenciáciu.

Lagrangeov zápis

Jeden z najpopulárnejších moderných diferenciačných zápisov, niekedy známy ako prvočíselný zápis, využíva prvočíselnú značku a je zásluhou Josepha-Louisa Lagrangea. Označuje deriváciu funkcie f ako f1.

Tento druhý zápis sa zovšeobecňuje a poskytuje zápis f(n) pre n-tú deriváciu f, ktorý je vhodnejší, keď sa diskutuje o derivácii ako o funkcii, a nie ako o funkcii samej, pretože Leibnizov zápis môže byť v tejto situácii komplikovaný.

Newtonov zápis

V Newtonovom diferenciálnom zápise, ktorý je často známy ako "bodkový zápis", sa nad názvom funkcie umiestňuje bodka, ktorá označuje časovú deriváciu.

Pomocou tohto zápisu sa reprezentujú len derivácie vzhľadom na čas alebo dĺžku oblúka. Zvyčajne sa používa pri diferenciálnych rovniciach v diferenciálnej geometrii a fyzike. Bodový zápis je však nepoužiteľný pri viacerých nezávislých premenných a pri deriváciách vysokého rádu (rád 4 a viac).

Eulerov zápis

Prvú deriváciu Df získame pomocou diferenciálneho operátora D v Eulerovom zápise jeho aplikáciou na funkciu f. Dnd znamená n-tú deriváciu.

Ak je y = f(x) závislá premenná, nezávislá premenná x sa často objasňuje pridaním indexu x k D.

Hoci v prípade, že sa premenná x chápe ako jediná nezávislá premenná v rovnici, tento index sa často vynecháva.

Na vyjadrenie a riešenie lineárnych diferenciálnych rovníc je užitočný Eulerov zápis.

Použitie derivátov v matematike

Deriváty sa často používajú v matematike. Možno ich použiť na určenie maxima alebo minima funkcie, sklonu krivky alebo dokonca inflexného bodu.

Nižšie uvádzame niekoľko prípadov, v ktorých budeme derivát používať. A v nasledujúcich častiach sa každému z nich venujeme veľmi podrobne. S aplikáciou derivátov sa najčastejšie stretávame v:

• Výpočet rýchlosti zmeny veličiny
• Získanie dobrého odhadu hodnoty
• Hľadanie rovnice pre dotyčnicu a normálu krivky
• Určenie inflexného bodu, maxím a miním
• Posúdenie rastúcich a klesajúcich funkcií

Derivácia sa používa na výpočet inflexného bodu, maximálneho a minimálneho bodu

Uplatnenie derivátov v reálnom živote

Deriváty sa dajú použiť v mnohých situáciách v reálnom živote. Tu je zoznam niekoľkých situácií, v ktorých môžete použiť deriváciu:

• Výpočet zisku a straty v podniku.
• Na meranie zmien teploty.
• Výpočet rýchlosti jazdy, napríklad míle za hodinu, kilometre za hodinu atď.
• Mnohé fyzikálne rovnice sa odvodzujú pomocou derivácií.
• Zisťovanie rozsahu magnitúd zemetrasení je obľúbenou úlohou v seizmologickom výskume.

Záver

• d2y/dx2 je druhá derivácia.
• (dy/dx) ^2 je prvá derivácia na druhú.
• Derivát sa v reálnom živote používa v rôznych oblastiach na rôzne účely.
• Derivácia sa v matematike používa na výpočet maximálnych a minimálnych bodov.
• Môže sa používať v podnikaní na výpočet financií podniku a na výpočet zisku a straty.