Туындылардың тек математикадан және күнделікті өмірден тыс, соның ішінде ғылым, инженерия, физика және т.б. сияқты пәндерде көп қолданылуы бар.

Сіз бұрынғы курстарда әртүрлі функциялардың туындысын есептеу мүмкіндігін меңгерген болуыңыз керек, соның ішінде тригонометриялық, жасырын, логарифм және т.б.

d2y/dx2 және (dydx)^2 - екі туынды теңдеулер. Бірақ оларды түсіну үшін, біріншіден, екінші туындының нақты не екенін түсіну керек.

Есептеудегі функцияның туындысы екінші туынды, кейде екінші ретті туынды ретінде белгілі.

Екінші туынды, шамамен айтқанда, шаманың өзгеру жылдамдығының өзі қалай өзгеретінін өлшейді. Мысалы, заттың уақытқа қатысты орнының екінші туындысы – объектінің лездік үдеуі немесе объектінің жылдамдығының уақытқа байланысты өзгеру жылдамдығы.

Бұл мақалада мен сізге нені айтамын. d2y/dx2=(dydx)^2 және нақты туынды нені білдіреді арасындағы айырмашылық.

D2y/dx2 Vs (dydx)^2

dy/dx туындысы (Олар 2s индекстік белгілер сияқты көрінуі мүмкін, бірақ олар емес). (dydx)2, керісінше, бірінші туындының квадраты.

Мысалы:

Y=3 ал???? 3 +6 ???? 2y=3×3+6×2

Бірінші туынды: dy/dx=9 ???? 2+12 ???? dydx=9×2+12x

Екінші туынды:d2yd????2=18 ???? +12d2ydx2=18x+12

Бірінші туындының квадраты: (dydx)2=(9 ??? ? 2+12 ???? )2=(81 ???? 4+216 ???? 3+144

Екінші туынды дегеніміз не?

Туындыны дифференциалдағанда, сіз екінші туындыны аласыз. dy/dx х-ке қатысты у-дың туындысы екенін есте сақтаңыз.Екінші туынды, айтылады. “dee two y by d x squared”, d2y/dx2 түрінде көрсетіледі.

Стационарлық нүктелердің табиғатын екінші туынды арқылы оңай анықтауға болады (олар максималды нүктелер ме, ең төменгі нүктелер ме, әлде немесе иілу нүктелері).

dy/dx = 0 болғанда, қисық қозғалыссыз нүктеге жетеді.Стационарлық нүктенің түрін (максимум, минимум немесе иілу нүктесі) екінші туынды арқылы анықтауға болады. стационарлық нүктенің орны анықталды.

Максимум және минимум нүктелері қалай анықталады?

d2y/d2x екінші туынды.

Туынды дегеніміз не?

Математикадағы нақты айнымалы функцияның туындысы сандық мән бередіфункция мәнінің (шығыс мәні) оның аргументіндегі өзгерістерге (кіріс мәні) сезімталдығы. Есептеудің негізгі құралы туынды болып табылады.

Мысалы, заттың жылдамдығы оның уақытқа қатысты орнының туындысы болып табылады. Ол уақыт өткен сайын объект орнының қаншалықты жылдам өзгеретінін сандық түрде анықтайды.

Ол орын алған кезде берілген кіріс мәніндегі функция графигіне жанама сызығының көлбеуі бір айнымалы функцияның туындысы болып табылады. Осы кіріс мәніне ең жақын функция жанама сызығы арқылы сызықты түрде жақындатылған.

Осыған байланысты туынды көбінесе тәуелді айнымалының лездік өзгерісінің тәуелсіз айнымалыға қатынасы болып табылатын «лездік өзгеру жылдамдығы» деп аталады.

Бірнеше нақты айнымалылардың функцияларын қосу үшін туындыларды жалпылауға болады. Бұл жалпылау туындыны сызықтық түрлендіру ретінде қайта түсіндіреді, оның графигі қолайлы трансляциядан кейін бастапқы функцияның графигіне ең жақсы сызықтық жуықтау болып табылады.

Тәуелсіз және тәуелді айнымалыларды таңдау арқылы қамтамасыз етілген негізге келетін болсақ, Якобиялық матрица осы сызықтық түрлендіруді көрсететін матрица болып табылады.

Оны тәуелсіз айнымалылардың жартылай туындылары арқылы есептеуге болады. Градиент векторы нақты мәнді функция үшін Якоб матрицасын бірнеше функциямен ауыстырадыайнымалылар.

Дифференциация - туындының орнын анықтау әрекеті. Антидифференциация - қарама-қарсы процестің термині. Антидифференциация мен интегралдау негізгі есептеу теоремасында байланысты. Бір айнымалы есептеудің екі негізгі операциясы дифференциалдау және интеграция болып табылады.

Нақты айнымалының туындылары мен қызметі туралы білу үшін осы бейнені қараңыз

Әртүрлі белгілер

Лейбниц белгілеуі

1675 жылы Готфрид Вильгельм Лейбниц dx, dy және dy/dx әріптерін енгізді. Бүгінгі күннің өзінде ол y = f(x) теңдеуіндегі тәуелді және тәуелсіз айнымалылар арасындағы байланыс функционалды болып қарастырылғанда жиі қолданылады.

Дифференциалдау айнымалысы (бөлгіште) мүмкін ішінара дифференциалдау үшін маңызды болып табылатын Лейбниц белгісін қолдану арқылы нақтылануға болады.

Лагранж белгілеуі

Ең танымал қазіргі дифференциалдау белгілерінің бірі, кейде жай белгілер ретінде белгілі, бастапқы және негізгі белгісін пайдаланады. Джозеф-Луи Лагранжға тиесілі. Ол f функциясының туындысын f1 деп белгілейді.

Соңғы белгілеу f функциясының n-ші туындысы үшін f(n) белгісін беру үшін жалпыланады, бұл туынды функция ретінде талқыланғанда ыңғайлырақ. Өзінің функциясы емес, өйткені бұл жағдайда Лейбниц белгісі күрделі болуы мүмкін.

Ньютонның белгілеуі

Нүкте - бұлУақыт туындысын білдіру үшін Ньютонның дифференциалдау белгілеуіндегі функция атауының үстіне қойылады, көбінесе «нүкте белгісі» ретінде белгілі. Әдетте, ол дифференциалдық геометрия мен физикадағы дифференциалдық теңдеулерге қолданылады. Дегенмен, нүкте белгісі бірнеше тәуелсіз айнымалылар мен жоғары ретті туындыларға (4 реттік немесе одан да көп) қолданылмайды.

Эйлер белгісі

Бірінші туынды Df дифференциалдық оператор арқылы алынады. Эйлер белгілеуіндегі D оны f функциясына қолдану арқылы. Dnd n-ші туындыны білдіреді.

Егер y = f(x) тәуелді айнымалы болса, x тәуелсіз айнымалысы D-ке x таңбасын қосу арқылы жиі нақтыланады.

Бірақ x айнымалысы түсінілгенде , мысалы, бұл теңдеуде қамтылған жалғыз тәуелсіз айнымалы болса, бұл төменгі таңба жиі өшіріледі.

Сызықтық дифференциалдық теңдеулерді өрнектеу және шешу үшін Эйлер жазуы пайдалы.

Туындыларды математикада қолдану

Туындылар математикада жиі қолданылады. Оларды функцияның максимум немесе минимумын, қисық қисықтың еңісін немесе тіпті иілу нүктесін анықтау үшін пайдалануға болады.

Төменде біз туындыны қолданатын бірнеше мысалдар берілген. Ал келесі бөлімдер олардың әрқайсысы туралы егжей-тегжейлі сипатталған. Туындылардың қолданылуыең жиі кездеседі:

• Шаманың өзгеру жылдамдығын есептеу
• Мәннің жақсы бағасын алу
• Қисықтың жанама және қалыпты теңдеуін табу
• Иілу нүктесін, максимумдарды және минимумдарды анықтау
• Үсу және кему функцияларына баға беру

Нүкені есептеу үшін туынды қолданылады. иілу, максималды және ең төменгі нүкте

Туындыны өмірде қолдану

Туындыны өмірде көптеген жағдайларда қолдануға болады. Деривацияны қолдануға болатын бірнеше жағдайлардың тізімі:

• Бизнестегі пайда мен шығынды есептеу үшін.
• Температураның өзгеруін өлшеу үшін.
• Жол жүру жылдамдығын есептеу үшін, мысалы, сағатына миль, сағатына километр және т.б.
• Туындылар арқылы көптеген физикалық теңдеулер шығарылады.
• Жер сілкінісінің магнитудасы диапазонын табу сейсмология зерттеулеріндегі сүйікті тапсырма болып табылады.

Қорытынды

• d2y/dx2 - екінші туынды.
• (dy/dx) ^2 - бірінші туынды квадрат.
• Туынды өмірде әртүрлі салаларда бірнеше мақсатта қолданылады.
• Туынды максималды және ең төменгі ұпайларды есептеу үшін математика.
• Оны бизнесте бизнестің қаржысын есептеу және пайда мен шығынды есептеу үшін қолдануға болады.