Derivaten hebben vele toepassingen buiten de wiskunde en het dagelijks leven, ook in vakken als wetenschap, techniek en natuurkunde.

U moet in eerdere cursussen de afgeleide van verschillende functies hebben kunnen berekenen, waaronder goniometrische, impliciete, logaritme, enz.

d2y/dx2 en (dydx)^2 zijn twee afgeleide vergelijkingen. Maar om ze te begrijpen, moet je eerst begrijpen wat precies de tweede afgeleide is.

De afgeleide van een functie in calculus staat bekend als de tweede afgeleide, ook wel tweede-orde-afgeleide genoemd.

De tweede afgeleide meet, grofweg, hoe de veranderingssnelheid van een grootheid zelf verandert. Zo is de tweede afgeleide van de positie van een voorwerp ten opzichte van de tijd de momentane versnelling van het voorwerp of de snelheid waarmee de snelheid van het voorwerp verandert ten opzichte van de tijd.

In dit artikel vertel ik je wat het verschil is tussen d2y/dx2=(dydx)^2 en wat afgeleide precies betekent.

D2y/dx2 Vs (dydx)^2

Afgeleide van dy/dx (Deze 2s lijken op indexnotatie, maar dat zijn ze niet). (dydx)2 daarentegen is het kwadraat van de eerste afgeleide.

Voorbeeld:

Neem Y=3 ???? 3+6 ???? 2y=3×3+6×2

De eerste afgeleide: dy/dx=9 ???? 2+12 ???? dydx=9×2+12x

De tweede afgeleide: d2yd????2=18 ???? +12d2ydx2=18x+12

Het kwadraat van de eerste afgeleide: (dydx)2=(9 ???? 2+12 ???? )2=(81 ???? 4+216 ???? 3+144

Wat is de tweede afgeleide?

Wanneer je de afgeleide differentieert, krijg je de tweede afgeleide. Onthoud dat dy/dx de afgeleide is van y ten opzichte van x. De tweede afgeleide, uitgesproken als "dee twee y bij d x in het kwadraat", wordt weergegeven als d2y/dx2.

De aard van stationaire punten kan gemakkelijker worden vastgesteld met behulp van de tweede afgeleide (of het gaat om maximumpunten, minimumpunten of buigpunten).

Wanneer dy/dx = 0, bereikt een kromme een stationair punt. Het type stationair punt (maximum, minimum of buigpunt) kan worden bepaald met behulp van de tweede afgeleide zodra de plaats van het stationaire punt is vastgesteld.

Hoe identificeer je maxima en minima?

d2y/d2x is de tweede afgeleide.

Wat is een derivaat?

De afgeleide van een functie van een reële variabele in de wiskunde kwantificeert de gevoeligheid van de waarde van de functie (outputwaarde) voor veranderingen in zijn argument (inputwaarde). Het kerninstrument van de wiskunde is de afgeleide.

De snelheid van een voorwerp, bijvoorbeeld, is de afgeleide van zijn positie ten opzichte van de tijd en geeft aan hoe snel de positie van het voorwerp in de loop van de tijd verandert.

Wanneer dit gebeurt, is de helling van de raaklijn aan de grafiek van de functie bij een gegeven invoerwaarde de afgeleide van een functie van één variabele. De functie die het dichtst bij die invoerwaarde ligt, wordt het best lineair benaderd door de raaklijn.

Daarom wordt de afgeleide vaak de "momentane veranderingssnelheid" genoemd, dat wil zeggen de verhouding tussen de momentane verandering van de afhankelijke variabele en die van de onafhankelijke variabele.

Om functies van verscheidene reële variabelen op te nemen, kunnen afgeleiden worden gegeneraliseerd. Deze generalisatie herinterpreteert de afgeleide als een lineaire transformatie waarvan de grafiek, na een geschikte vertaling, de beste lineaire benadering is van de grafiek van de oorspronkelijke functie.

De Jacobiaanse matrix is de matrix die deze lineaire transformatie weergeeft.

De gradiëntvector vervangt de Jacobiaanse matrix voor een reële functie met meerdere variabelen.

Differentiatie is de actie van het lokaliseren van een afgeleide. Antidifferentiatie is de term voor het tegenovergestelde proces. Antidifferentiatie en integratie zijn verwant in de fundamentele stelling van calculus. De twee fundamentele operaties van één-variabele calculus zijn differentiatie en integratie.

Bekijk deze video om meer te weten te komen over de afgeleiden en de functie van een variabele.

Verschillende notaties

Leibniz's notatie

In 1675 introduceerde Gottfried Wilhelm Leibniz de letters dx, dy en dy/dx. Tot op de dag van vandaag wordt deze term vaak gebruikt wanneer het verband tussen de afhankelijke en onafhankelijke variabelen in de vergelijking y = f(x) als functioneel wordt beschouwd.

De variabele voor de differentiatie (in de noemer) kan worden gespecificeerd met de notatie van Leibniz, die belangrijk is voor partiële differentiatie.

Lagrange's notatie

Een van de populairste moderne differentiatie-notaties, ook wel priemnotatie genoemd, gebruikt het priemteken en wordt toegeschreven aan Joseph-Louis Lagrange. Het geeft de afgeleide van een functie f aan als f1.

Deze laatste notatie generaliseert tot de notatie f(n) voor de n-de afgeleide van f, die handiger is wanneer de afgeleide eerder als een functie dan als een functie van zichzelf wordt besproken, omdat de Leibniz-notatie in deze situatie gecompliceerd kan zijn.

Newton's notatie

In de differentiatie-notatie van Newton, vaak bekend als de "puntnotatie", wordt een punt boven de functienaam geplaatst om een tijdsafgeleide aan te geven.

Alleen afgeleiden met betrekking tot tijd of booglengte worden met deze notatie weergegeven. Gewoonlijk wordt zij toegepast op differentiaalvergelijkingen in de differentiaalmeetkunde en de natuurkunde. De puntnotatie is echter niet toepasbaar op meerdere onafhankelijke variabelen en afgeleiden van hoge orde (orde 4 of meer).

Euler's notatie

De eerste afgeleide Df wordt verkregen door de differentiaaloperator D in de notatie van Euler toe te passen op een functie f. Dnd staat voor de n-de afgeleide.

Indien y = f(x) een afhankelijke variabele is, wordt de onafhankelijke variabele x vaak verduidelijkt door aan de D het subscript x toe te voegen.

Hoewel wanneer de variabele x wordt begrepen, zoals wanneer dit de enige onafhankelijke variabele in de vergelijking is, wordt dit subscript vaak weggelaten.

Voor het uitdrukken en oplossen van lineaire differentiaalvergelijkingen is de notatie van Euler nuttig.

Toepassing van derivaten in wiskunde

Ze kunnen worden gebruikt om het maximum of minimum van een functie, de helling van een kromme of zelfs het buigpunt te bepalen.

Hieronder staan een paar gevallen waarin we de afgeleide zullen gebruiken. En de volgende secties gaan uitgebreid in op elk van hen. De toepassing van afgeleiden komt het meest voor in:

• Berekening van de veranderingssnelheid van een grootheid
• Een goede schatting van de waarde krijgen
• De vergelijking vinden voor de raaklijn en de normaal van een kromme
• Identificatie van het buigpunt, de maxima en de minima
• Een beoordeling maken van de toenemende en afnemende functies

Een afgeleide wordt gebruikt om het buigpunt, het maximum en het minimum te berekenen.

Toepassing van derivaten in het echte leven

Afgeleiden kunnen in veel situaties in het echte leven worden gebruikt. Hier volgt een lijst van enkele situaties waarin je afgeleiden kunt gebruiken:

• Om winst en verlies in het bedrijf te berekenen.
• Om de temperatuurvariatie te meten.
• Om de rijsnelheid te berekenen, zoals mijl per uur, kilometer per uur, enz.
• Talrijke natuurkundige vergelijkingen worden afgeleid met behulp van afgeleiden.
• Het vinden van het bereik van de aardbevingsmagnitude is een favoriete taak in het seismologisch onderzoek.

Conclusie

• d2y/dx2 is de tweede afleiding.
• (dy/dx) ^2 is de eerste afgeleide in het kwadraat.
• Een afgeleide wordt op verschillende gebieden gebruikt voor verschillende doeleinden in het echte leven.
• Een afgeleide wordt in de wiskunde gebruikt om maximale en minimale punten te berekenen.
• Het kan in het bedrijfsleven worden gebruikt om de financiën van het bedrijf te berekenen en om winst en verlies te berekenen.