Türevlerin sadece matematik ve günlük yaşam dışında, bilim, mühendislik, fizik ve diğer konular da dahil olmak üzere birçok kullanım alanı vardır.

Trigonometrik, örtük, logaritma vb. dahil olmak üzere daha önceki derslerde çeşitli fonksiyonların türevini hesaplama becerisinde ustalaşmış olmalısınız.

d2y/dx2 ve (dydx)^2 iki türev denklemidir. Ancak bunları anlamak için öncelikle ikinci türevin tam olarak ne olduğunu anlamanız gerekir.

Kalkülüste bir fonksiyonun türevi ikinci türev olarak bilinir, bazen ikinci dereceden türev olarak da bilinir.

İkinci türev, kabaca, bir niceliğin değişim oranının kendisinin nasıl değiştiğini ölçer. Örneğin, bir nesnenin konumunun zamana göre ikinci türevi, nesnenin anlık ivmesi veya nesnenin hızının zamana göre değişme oranıdır.

Bu yazıda size d2y/dx2=(dydx)^2 arasındaki farkın ne olduğunu ve türevin tam olarak ne anlama geldiğini anlatacağım.

D2y/dx2 Vs (dydx)^2

dy/dx'in türevi (Bu 2'ler indeks gösterimi gibi görünebilir, ancak değildir). (dydx)2 ise ilk türevin karesidir.

Örnek:

Y=3'ü ele alalım ???? 3+6 ???? 2y=3×3+6×2

Birinci türev: dy/dx=9 ???? 2+12 ???? dydx=9×2+12x

İkinci türev: d2yd????2=18 ???? +12d2ydx2=18x+12

Birinci türevin karesi: (dydx)2=(9 ???? 2+12 ???? )2=(81 ???? 4+216 ???? 3+144

İkinci Türev Nedir?

Türevi farklılaştırdığınızda ikinci türevi elde edersiniz. dy/dx'in y'nin x'e göre türevi olduğunu unutmayın. İkinci türev, "dee two y by d x squared" olarak telaffuz edilir ve d2y/dx2 olarak gösterilir.

Durağan noktaların doğası, ikinci türev kullanılarak daha kolay tespit edilebilir (maksimum nokta, minimum nokta veya bükülme noktası olup olmadıkları).

dy/dx = 0 olduğunda, bir eğri durağan bir noktaya ulaşır. Durağan noktanın konumu belirlendikten sonra, durağan noktanın türü (maksimum, minimum veya bükülme noktası) ikinci türev kullanılarak belirlenebilir.

Maksima ve minima noktaları nasıl belirlenir?

d2y/d2x ikinci türevdir.

Türev Nedir?

Matematikte gerçek değişkenli bir fonksiyonun türevi, fonksiyonun değerinin (çıktı değeri) argümanında (girdi değeri) meydana gelen değişikliklere olan duyarlılığını ölçer. Kalkülüsün temel aracı türevdir.

Örneğin bir nesnenin hızı, konumunun zamana göre türevidir. Zaman geçtikçe nesnenin konumunun ne kadar hızlı değiştiğini ölçer.

Bu durum gerçekleştiğinde, belirli bir giriş değerinde fonksiyonun grafiğine teğet olan doğrunun eğimi, tek değişkenli bir fonksiyonun türevidir. Bu giriş değerine en yakın fonksiyon, teğet doğrusu tarafından doğrusal olarak en iyi şekilde yaklaştırılır.

Bu nedenle, türev sıklıkla bağımlı değişkendeki anlık değişimin bağımsız değişkendeki anlık değişime oranı olan "anlık değişim oranı" olarak adlandırılır.

Birden fazla reel değişkenin fonksiyonlarını içermek için türevler genelleştirilebilir. Bu genelleştirme, türevi, uygun bir ötelemeden sonra grafiği orijinal fonksiyonun grafiğine en iyi doğrusal yaklaşım olan doğrusal bir dönüşüm olarak yeniden yorumlar.

Bağımsız ve bağımlı değişkenlerin seçimiyle sağlanan temelle ilgili olarak, Jacobian matrisi bu doğrusal dönüşümü temsil eden matristir.

Bağımsız değişkenlerin kısmi türevleri kullanılarak hesaplanabilir. Gradyan vektörü, birkaç değişkenli gerçek değerli bir fonksiyon için Jacobian matrisinin yerini alır.

Türev alma, bir türevin yerini belirleme işlemidir. Antidiferansiyasyon ise tam tersi işlem için kullanılan terimdir. Antidiferansiyasyon ve integral, kalkülüsün temel teoreminde ilişkilendirilmiştir. Tek değişkenli kalkülüsün iki temel işlemi türev alma ve integral almadır.

Türevler ve Reel Bir Değişkenin Fonksiyonu Hakkında Bilgi Edinmek İçin Bu Videoyu İzleyin

Farklı Notasyonlar

Leibniz'in notasyonu

1675 yılında Gottfried Wilhelm Leibniz dx, dy ve dy/dx harflerini tanıtmıştır. Bugün bile, y = f(x) denklemindeki bağımlı ve bağımsız değişkenler arasındaki ilişkinin fonksiyonel olduğu düşünüldüğünde sıklıkla kullanılmaktadır.

Türev değişkeni (paydada), kısmi türev için önemli olan Leibniz'in notasyonu kullanılarak belirtilebilir.

Lagrange'ın notasyonu

Bazen asal gösterim olarak da bilinen en popüler modern türev gösterimlerinden biri asal işareti kullanır ve Joseph-Louis Lagrange'a atfedilir. f fonksiyonunun türevini f1 olarak gösterir.

İkinci gösterim, f'nin n'inci türevi için f(n) gösterimini sağlamak üzere genelleştirilir; bu, türevi kendisinin bir fonksiyonu yerine bir fonksiyon olarak tartışırken daha kullanışlıdır çünkü Leibniz gösterimi bu durumda karmaşık olabilir.

Newton'un notasyonu

Genellikle "nokta gösterimi" olarak bilinen Newton'un türev gösteriminde, zaman türevini belirtmek için fonksiyon adının üzerine bir nokta konur.

Bu gösterim yalnızca zaman veya yay uzunluğuna göre türevleri temsil eder. Genellikle diferansiyel geometri ve fizikteki diferansiyel denklemlere uygulanır. Bununla birlikte, nokta gösterimi birkaç bağımsız değişkene ve yüksek mertebeden türevlere (mertebe 4 veya daha fazla) uygulanamaz.

Euler'in notasyonu

İlk türev Df, Euler'in notasyonundaki D diferansiyel operatörü kullanılarak bir f fonksiyonuna uygulanarak elde edilir. Dnd, n'inci türevi temsil eder.

Eğer y = f(x) bağımlı bir değişken ise, x bağımsız değişkeni sıklıkla D'ye x alt simgesi eklenerek açıklığa kavuşturulur.

Her ne kadar x değişkeni anlaşıldığında, örneğin denklemde yer alan tek bağımsız değişken olduğunda, bu alt simge sıklıkla atlanır.

Doğrusal diferansiyel denklemleri ifade etmek ve çözmek için Euler'in gösterimi yardımcı olur.

Matematikte Türevlerin Uygulanması

Türevler matematikte sıklıkla kullanılır. Bir fonksiyonun maksimum veya minimumunu, bir eğrinin eğimini ve hatta bükülme noktasını belirlemek için kullanılabilirler.

Aşağıda türevi kullanacağımız birkaç örnek yer almaktadır ve aşağıdaki bölümlerde her biri hakkında ayrıntılı bilgi verilmektedir. Türevlerin uygulamasına en sık şu alanlarda rastlanmaktadır:

• Bir miktarın değişim oranını hesaplama
• İyi bir değer tahmini elde etmek
• Bir eğrinin tanjantı ve normali için denklem bulma
• Bükülme, maksimum ve minimum noktalarının belirlenmesi
• Artan ve azalan fonksiyonların değerlendirilmesinin yapılması

Bükülme noktasını, maksimum ve minimum noktayı hesaplamak için bir türev kullanılır

Türev Ürünlerin Gerçek Hayattaki Uygulamaları

Türevler gerçek hayatta birçok durumda kullanılabilir. İşte türevi kullanabileceğiniz birkaç durumun listesi:

• İşletmede kar ve zararı hesaplamak.
• Sıcaklık değişimini ölçmek için.
• Saatte mil, saatte kilometre vb. gibi seyahat hızını hesaplamak için.
• Çok sayıda fizik denklemi türevler kullanılarak türetilmiştir.
• Deprem büyüklüğü aralığını bulmak sismoloji araştırmalarında favori bir görevdir.

Sonuç

• d2y/dx2 ikinci türetmedir.
• (dy/dx)^2 birinci türevin karesidir.
• Bir türev, gerçek hayatta çeşitli amaçlar için çeşitli alanlarda kullanılır.
• Türev, matematikte maksimum ve minimum noktaları hesaplamak için kullanılır.
• İşletmelerde işletmenin finansmanını hesaplamak ve kar ve zararı hesaplamak için kullanılabilir.