d2y/dx2=(dydx)^2 തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസം എന്താണ്? (വിശദീകരിച്ചത്) - എല്ലാ വ്യത്യാസങ്ങളും
ഉള്ളടക്ക പട്ടിക
ശാസ്ത്രം, എഞ്ചിനീയറിംഗ്, ഭൗതികശാസ്ത്രം തുടങ്ങിയ വിഷയങ്ങളിൽ ഉൾപ്പെടെ, ഗണിതത്തിനും ദൈനംദിന ജീവിതത്തിനും പുറത്ത് ഡെറിവേറ്റീവുകൾക്ക് നിരവധി ഉപയോഗങ്ങളുണ്ട്.
ത്രികോണമിതി, ഇംപ്ലിസിറ്റ്, ലോഗരിതം മുതലായവ ഉൾപ്പെടെയുള്ള മുൻകാല കോഴ്‌സുകളിലെ വിവിധ ഫംഗ്‌ഷനുകളുടെ ഡെറിവേറ്റീവ് കണക്കാക്കാനുള്ള കഴിവ് നിങ്ങൾ നേടിയിരിക്കണം.
d2y/dx2, (dydx)^2 എന്നിവ രണ്ട് ഡെറിവേറ്റീവുകളാണ്. സമവാക്യങ്ങൾ. എന്നാൽ അവ മനസിലാക്കാൻ, ആദ്യം, രണ്ടാമത്തെ ഡെറിവേറ്റീവ് എന്താണെന്ന് നിങ്ങൾ മനസ്സിലാക്കേണ്ടതുണ്ട്.
കാൽക്കുലസിലെ ഒരു ഫംഗ്ഷന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് രണ്ടാമത്തെ ഡെറിവേറ്റീവ് എന്നറിയപ്പെടുന്നു, ചിലപ്പോൾ രണ്ടാം ഓർഡർ ഡെറിവേറ്റീവ് എന്നും അറിയപ്പെടുന്നു.
രണ്ടാമത്തെ ഡെറിവേറ്റീവ്, ഏകദേശം പറഞ്ഞാൽ, ഒരു അളവിന്റെ മാറ്റത്തിന്റെ നിരക്ക് എങ്ങനെ മാറുന്നുവെന്ന് അളക്കുന്നു. ഉദാഹരണത്തിന്, സമയവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട് ഒരു വസ്തുവിന്റെ സ്ഥാനത്തിന്റെ രണ്ടാമത്തെ ഡെറിവേറ്റീവ് വസ്തുവിന്റെ തൽക്ഷണ ത്വരണം അല്ലെങ്കിൽ വസ്തുവിന്റെ വേഗത സമയവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട് മാറിക്കൊണ്ടിരിക്കുന്ന നിരക്ക് ആണ്.
ഈ ലേഖനത്തിൽ, ഞാൻ നിങ്ങളോട് പറയും. d2y/dx2=(dydx)^2 തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസവും കൃത്യമായി ഡെറിവേറ്റീവ് എന്താണ് അർത്ഥമാക്കുന്നത്.
D2y/dx2 Vs (dydx)^2
dy/dx ന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് (ഇവ 2s സൂചിക നൊട്ടേഷൻ പോലെയായിരിക്കാം, പക്ഷേ അവ അങ്ങനെയല്ല). (dydx)2, മറുവശത്ത്, ആദ്യ ഡെറിവേറ്റീവിന്റെ വർഗ്ഗമാണ്.
ഉദാഹരണം:
Y=3 എടുക്കുക? 3 +6 ???? 2y=3×3+6×2
ആദ്യത്തെ ഡെറിവേറ്റീവ്: dy/dx=9 ???? 2+12 ???? dydx=9×2+12x
രണ്ടാമത്തെ ഡെറിവേറ്റീവ്:d2yd????2=18 ???? +12d2ydx2=18x+12
ആദ്യത്തെ ഡെറിവേറ്റീവിന്റെ വർഗ്ഗം: (dydx)2=(9 ??? ? 2+12 ???? )2=(81 ???? 4+216 ???? 3+144
എന്താണ് സെക്കന്റ് ഡെറിവേറ്റീവ് "dee two y by d x സ്ക്വയർ," എന്നത് d2y/dx2 ആയി പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നു.
നിശ്ചല പോയിന്റുകളുടെ സ്വഭാവം രണ്ടാമത്തെ ഡെറിവേറ്റീവ് ഉപയോഗിച്ച് കൂടുതൽ എളുപ്പത്തിൽ കണ്ടെത്താനാകും (അവ പരമാവധി പോയിന്റുകളായാലും കുറഞ്ഞ പോയിന്റുകളായാലും, അല്ലെങ്കിൽ ഇൻഫ്‌ളക്ഷൻ പോയിന്റുകൾ). സ്റ്റേഷണറി പോയിന്റിന്റെ സ്ഥാനം സ്ഥാപിച്ചു>d2y/d2x=നെഗറ്റീവ്
മാക്സിമ, മിനിമ പോയിന്റുകൾ എങ്ങനെ തിരിച്ചറിയാം?
d2y/d2x ആണ് രണ്ടാമത്തെ ഡെറിവേറ്റീവ്.
എന്താണ് ഡെറിവേറ്റീവ്?
ഗണിതത്തിലെ ഒരു യഥാർത്ഥ വേരിയബിളിന്റെ ഒരു ഫംഗ്ഷന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് കണക്കാക്കുന്നുഫംഗ്‌ഷന്റെ മൂല്യത്തിന്റെ (ഔട്ട്‌പുട്ട് മൂല്യം) അതിന്റെ ആർഗ്യുമെന്റിലെ (ഇൻപുട്ട് മൂല്യം) മാറ്റങ്ങളോടുള്ള സംവേദനക്ഷമത. കാൽക്കുലസിന്റെ പ്രധാന ഉപകരണം ഡെറിവേറ്റീവ് ആണ്.
ഉദാഹരണത്തിന്, ഒരു ഇനത്തിന്റെ വേഗത എന്നത് സമയവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട് അതിന്റെ സ്ഥാനത്തിന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് ആണ്. സമയം കടന്നുപോകുമ്പോൾ ഒബ്‌ജക്‌റ്റിന്റെ സ്ഥാനം എത്ര വേഗത്തിൽ വ്യത്യാസപ്പെടുന്നുവെന്ന് ഇത് കണക്കാക്കുന്നു.
അത് സംഭവിക്കുമ്പോൾ, ഒരു നിശ്ചിത ഇൻപുട്ട് മൂല്യത്തിൽ ഫംഗ്ഷന്റെ ഗ്രാഫിലേക്കുള്ള ടാൻജെന്റ് ലൈനിന്റെ ചരിവ് ഒരൊറ്റ വേരിയബിളിന്റെ ഒരു ഫംഗ്ഷന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് ആണ്. ആ ഇൻപുട്ട് മൂല്യത്തോട് ഏറ്റവും അടുത്തുള്ള ഫംഗ്ഷൻ, ടാൻജെന്റ് ലൈൻ ഉപയോഗിച്ച് രേഖീയമായി ഏകദേശം കണക്കാക്കുന്നതാണ് നല്ലത്.
ഇക്കാരണത്താൽ, ഡെറിവേറ്റീവിനെ "തൽക്ഷണ മാറ്റത്തിന്റെ നിരക്ക്" എന്ന് പതിവായി പരാമർശിക്കുന്നു, ഇത് ആശ്രിത വേരിയബിളിലെ തൽക്ഷണ മാറ്റത്തിന്റെ അനുപാതവും സ്വതന്ത്ര വേരിയബിളിലെ അനുപാതവുമാണ്.
നിരവധി യഥാർത്ഥ വേരിയബിളുകളുടെ ഫംഗ്‌ഷനുകൾ ഉൾപ്പെടുത്തുന്നതിന്, ഡെറിവേറ്റീവുകളെ സാമാന്യവൽക്കരിക്കാൻ കഴിയും. ഈ സാമാന്യവൽക്കരണം ഡെറിവേറ്റീവിനെ ഒരു രേഖീയ പരിവർത്തനമായി പുനർവ്യാഖ്യാനം ചെയ്യുന്നു, അതിന്റെ ഗ്രാഫ്, അനുയോജ്യമായ വിവർത്തനത്തിന് ശേഷം, യഥാർത്ഥ ഫംഗ്ഷന്റെ ഗ്രാഫിന്റെ ഏറ്റവും മികച്ച രേഖീയ ഏകദേശമാണ്.
സ്വാതന്ത്ര്യവും ആശ്രിതവുമായ വേരിയബിളുകളുടെ തിരഞ്ഞെടുക്കൽ നൽകുന്ന അടിത്തറയെ സംബന്ധിച്ചിടത്തോളം, ഈ രേഖീയ പരിവർത്തനത്തെ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്ന മാട്രിക്സ് ആണ് ജേക്കബിയൻ മാട്രിക്സ്.
സ്വതന്ത്ര വേരിയബിളുകളുടെ ഭാഗിക ഡെറിവേറ്റീവുകൾ ഉപയോഗിച്ച് ഇത് കണക്കാക്കാം. ഗ്രേഡിയന്റ് വെക്‌റ്റർ, യാക്കോബിയൻ മാട്രിക്‌സിനെ ഒരു യഥാർത്ഥ മൂല്യമുള്ള ഫംഗ്‌ഷനായി മാറ്റി പകരം വയ്ക്കുന്നുവേരിയബിളുകൾ.
വ്യത്യാസം എന്നത് ഒരു ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള പ്രവർത്തനമാണ്. വിപരീത പ്രക്രിയയുടെ പദമാണ് ആൻറി ഡിഫറൻഷ്യേഷൻ. ആൻറിഡിഫറൻഷ്യേഷനും ഇന്റഗ്രേഷനും കാൽക്കുലസ് അടിസ്ഥാന സിദ്ധാന്തത്തിൽ ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു. സിംഗിൾ-വേരിയബിൾ കാൽക്കുലസിന്റെ രണ്ട് അടിസ്ഥാന പ്രവർത്തനങ്ങൾ ഡിഫറൻസിയേഷനും ഇന്റഗ്രേഷനുമാണ്.
റിയൽ എ വേരിയബിളിന്റെ ഡെറിവേറ്റീവുകളെക്കുറിച്ചും പ്രവർത്തനത്തെക്കുറിച്ചും അറിയാൻ ഈ വീഡിയോ കാണുക
വ്യത്യസ്‌ത നോട്ടുകൾ
ലീബ്നിസിന്റെ നൊട്ടേഷൻ
1675-ൽ ഗോട്ട്‌ഫ്രൈഡ് വിൽഹെം ലെയ്ബ്നിസ് dx, dy, dy/dx എന്നീ അക്ഷരങ്ങൾ അവതരിപ്പിച്ചു. ഇന്നും, y = f(x) എന്ന സമവാക്യത്തിലെ ആശ്രിതവും സ്വതന്ത്രവുമായ വേരിയബിളുകൾ തമ്മിലുള്ള ബന്ധം പ്രവർത്തനക്ഷമമായി കണക്കാക്കുമ്പോൾ ഇത് പതിവായി ഉപയോഗിക്കുന്നു.
വ്യത്യാസത്തിനുള്ള വേരിയബിളിന് (ഡിനോമിനേറ്ററിൽ) കഴിയും ഭാഗിക വ്യത്യാസത്തിന് പ്രധാനമായ ലെയ്ബ്നിസിന്റെ നൊട്ടേഷൻ ഉപയോഗിച്ച് വ്യക്തമാക്കാം.
ലാഗ്രേഞ്ചിന്റെ നൊട്ടേഷൻ
ചിലപ്പോൾ പ്രൈം നൊട്ടേഷൻ എന്നറിയപ്പെടുന്ന ഏറ്റവും ജനപ്രിയമായ ആധുനിക ഡിഫറൻഷ്യേഷൻ നൊട്ടേഷനുകളിൽ ഒന്ന്, പ്രൈം മാർക്ക് ഉപയോഗിക്കുന്നു ജോസഫ്-ലൂയിസ് ലഗ്രാഞ്ചിന്റെ ക്രെഡിറ്റ്. f1 എന്ന ഫംഗ്ഷന്റെ ഡെറിവേറ്റീവിനെ ഇത് സൂചിപ്പിക്കുന്നു.
ഇതും കാണുക: വിശ്വാസവും അന്ധവിശ്വാസവും തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസം - എല്ലാ വ്യത്യാസങ്ങളുംഅവസാനത്തെ നൊട്ടേഷൻ, f-ന്റെ nth ഡെറിവേറ്റീവിന് f(n) എന്ന നൊട്ടേഷൻ നൽകാൻ സാമാന്യവൽക്കരിക്കുന്നു, ഇത് ഒരു ഫംഗ്‌ഷനായി ഡെറിവേറ്റീവിനെ ചർച്ച ചെയ്യുമ്പോൾ കൂടുതൽ സൗകര്യപ്രദമാണ്. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ ലെയ്ബ്നിസ് നൊട്ടേഷൻ സങ്കീർണ്ണമാകുമെന്നതിനാൽ ഒരു ഫംഗ്ഷൻ എന്നതിലുപരി.
ന്യൂട്ടന്റെ നൊട്ടേഷൻ
ഒരു ഡോട്ട് ആണ്ന്യൂട്ടന്റെ ഡിഫറൻഷ്യേഷൻ നൊട്ടേഷനിൽ ഫംഗ്ഷൻ നാമത്തിന് മുകളിൽ സ്ഥാപിച്ചിരിക്കുന്നു, ഇത് പലപ്പോഴും "ഡോട്ട് നൊട്ടേഷൻ" എന്നറിയപ്പെടുന്നു, ഇത് ഒരു ടൈം ഡെറിവേറ്റീവിനെ സൂചിപ്പിക്കുന്നു.
സമയമോ ആർക്ക് ദൈർഘ്യമോ സംബന്ധിച്ച ഡെറിവേറ്റീവുകൾ മാത്രമാണ് ഈ നൊട്ടേഷൻ ഉപയോഗിച്ച് പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നത്. സാധാരണയായി, ഡിഫറൻഷ്യൽ ജ്യാമിതിയിലും ഭൗതികശാസ്ത്രത്തിലും ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങളിൽ ഇത് പ്രയോഗിക്കുന്നു. എന്നിരുന്നാലും, നിരവധി സ്വതന്ത്ര വേരിയബിളുകൾക്കും ഉയർന്ന ഓർഡർ ഡെറിവേറ്റീവുകൾക്കും (ഓർഡർ 4 അല്ലെങ്കിൽ അതിൽ കൂടുതൽ) ഡോട്ട് നൊട്ടേഷൻ ബാധകമല്ല.
യൂളറുടെ നൊട്ടേഷൻ
ഡിഫറൻഷ്യൽ ഓപ്പറേറ്റർ ഉപയോഗിച്ചാണ് ആദ്യ ഡെറിവേറ്റീവ് Df ലഭിക്കുന്നത്. ഒരു ഫംഗ്‌ഷനിലേക്ക് പ്രയോഗിച്ച് യൂലറുടെ നൊട്ടേഷനിൽ ഡി. Dnd എന്നത് nth ഡെറിവേറ്റീവിനെ സൂചിപ്പിക്കുന്നു.
y = f(x) ഒരു ആശ്രിത വേരിയബിൾ ആണെങ്കിൽ, ഡിയിലേക്ക് സബ്‌സ്‌ക്രിപ്റ്റ് x ചേർത്തുകൊണ്ട് സ്വതന്ത്ര വേരിയബിൾ x ഇടയ്‌ക്കിടെ വ്യക്തമാക്കും.
ഇതും കാണുക: സർവ്വനാമം സംവാദം: നോസോട്രോസ് വേഴ്സസ് വോസോട്രോസ് (വിശദീകരിച്ചത്) - എല്ലാ വ്യത്യാസങ്ങളുംവേരിയബിൾ x മനസ്സിലാക്കുമ്പോൾ , ഇത് സമവാക്യത്തിൽ അടങ്ങിയിരിക്കുന്ന ഏക സ്വതന്ത്ര വേരിയബിൾ ആയിരിക്കുമ്പോൾ, ഈ സബ്‌സ്‌ക്രിപ്റ്റ് ഇടയ്‌ക്കിടെ ഉപേക്ഷിക്കപ്പെടും.
ലീനിയർ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ പ്രകടിപ്പിക്കുന്നതിനും പരിഹരിക്കുന്നതിനും, യൂലറുടെ നൊട്ടേഷൻ സഹായകരമാണ്.
ഗണിതത്തിലെ ഡെറിവേറ്റീവുകളുടെ പ്രയോഗം
ഗണിതത്തിൽ ഡെറിവേറ്റീവുകൾ പതിവായി ഉപയോഗിക്കുന്നു. ഒരു ഫംഗ്ഷന്റെ പരമാവധി അല്ലെങ്കിൽ മിനിമം, ഒരു വക്രത്തിന്റെ ചരിവ് അല്ലെങ്കിൽ ഇൻഫ്‌ളക്ഷൻ പോയിന്റ് പോലും നിർണ്ണയിക്കാൻ അവ ഉപയോഗിക്കാം.
ഞങ്ങൾ ഡെറിവേറ്റീവ് ഉപയോഗിക്കുന്ന ചില സന്ദർഭങ്ങൾ ചുവടെയുണ്ട്. ഇനിപ്പറയുന്ന വിഭാഗങ്ങൾ ഓരോന്നിനെയും കുറിച്ച് വിശദമായി വിവരിക്കുന്നു. ഡെറിവേറ്റീവുകളുടെ പ്രയോഗംഏറ്റവും പതിവായി കാണപ്പെടുന്നത്:
- ഒരു അളവിന്റെ മാറ്റത്തിന്റെ നിരക്ക് കണക്കാക്കുന്നു
- മൂല്യത്തിന്റെ ഒരു നല്ല എസ്റ്റിമേറ്റ് നേടുന്നു
- ഒരു വക്രത്തിന്റെ ടാൻജെന്റിനും സാധാരണത്തിനും വേണ്ടിയുള്ള സമവാക്യം കണ്ടെത്തൽ
- ഇൻഫ്‌ളക്ഷൻ, മാക്സിമ, മിനിമ എന്നിവയുടെ പോയിന്റ് തിരിച്ചറിയൽ
- കൂടുതലും കുറയുന്നതുമായ ഫംഗ്‌ഷനുകളുടെ ഒരു വിലയിരുത്തൽ നടത്തുന്നു
പോയിന്റ് കണക്കാക്കാൻ ഒരു ഡെറിവേറ്റീവ് ഉപയോഗിക്കുന്നു ഇൻഫ്ലക്ഷൻ, പരമാവധി, മിനിമം പോയിന്റ്
യഥാർത്ഥ ജീവിതത്തിൽ ഡെറിവേറ്റീവുകളുടെ പ്രയോഗം
യഥാർത്ഥ ജീവിതത്തിൽ പല സാഹചര്യങ്ങളിലും ഡെറിവേറ്റീവുകൾ ഉപയോഗിക്കാം. നിങ്ങൾക്ക് ഡെറിവേഷൻ ഉപയോഗിക്കാവുന്ന ചില സാഹചര്യങ്ങളുടെ ഒരു ലിസ്റ്റ് ഇതാ:
- ബിസിനസിലെ ലാഭനഷ്ടം കണക്കാക്കാൻ.
- താപനില വ്യതിയാനം അളക്കുന്നതിന്.
- മണിക്കൂറിൽ മൈൽ, മണിക്കൂറിൽ കിലോമീറ്ററുകൾ എന്നിങ്ങനെയുള്ള യാത്രാനിരക്ക് കണക്കാക്കാൻ.
- അനേകം ഭൗതികശാസ്ത്ര സമവാക്യങ്ങൾ ഡെറിവേറ്റീവുകൾ ഉപയോഗിച്ച് ഉരുത്തിരിഞ്ഞതാണ്.
- ഭൂകമ്പത്തിന്റെ വ്യാപ്തി കണ്ടെത്തുന്നത് ഭൂകമ്പ ശാസ്ത്ര ഗവേഷണത്തിലെ പ്രിയപ്പെട്ട ജോലിയാണ്.
- (dy/dx) ^2 ആണ് ആദ്യത്തെ ഡെറിവേറ്റീവ് സ്ക്വയർ.
- യഥാർത്ഥ ജീവിതത്തിൽ നിരവധി ആവശ്യങ്ങൾക്കായി ഒരു ഡെറിവേറ്റീവ് വിവിധ മേഖലകളിൽ ഉപയോഗിക്കുന്നു.
- ഒരു ഡെറിവേറ്റീവ് ഉപയോഗിക്കുന്നു പരമാവധി, കുറഞ്ഞ പോയിന്റുകൾ കണക്കാക്കാൻ ഗണിതശാസ്ത്രം.
- ബിസിനസിന്റെ സാമ്പത്തികം കണക്കാക്കാനും ലാഭനഷ്ടം കണക്കാക്കാനും ഇത് ബിസിനസ്സിൽ ഉപയോഗിക്കാം.
