Maraming gamit ang mga derivative sa labas lamang ng matematika at pang-araw-araw na buhay, kabilang sa mga paksa tulad ng agham, engineering, pisika, at iba pa.

Dapat ay pinagkadalubhasaan mo ang kakayahang kalkulahin ang derivative ng iba't ibang function sa mga naunang kurso, kabilang ang trigonometric, implicit, logarithm, atbp.

d2y/dx2 at (dydx)^2 ay dalawang derivative mga equation. Ngunit upang maunawaan ang mga ito, una, kailangan mong maunawaan kung ano nga ba ang pangalawang derivative.

Ang derivative ng isang function sa calculus ay kilala bilang pangalawang derivative, minsan kilala bilang second-order derivative.

Ang pangalawang derivative, sa halos pagsasalita, ay sumusukat kung paano nagbabago ang rate ng pagbabago mismo ng isang dami. Halimbawa, ang pangalawang derivative ng posisyon ng isang bagay na may kinalaman sa oras ay ang instant acceleration ng object o ang rate kung saan nagbabago ang velocity ng object kaugnay ng oras.

Sa artikulong ito, sasabihin ko sa iyo kung ano ay ang pagkakaiba sa pagitan ng d2y/dx2=(dydx)^2 at kung ano ang eksaktong ibig sabihin ng derivative.

D2y/dx2 Vs (dydx)^2

Derivative ng dy/dx (Ang mga ito Maaaring magmukhang index notation ang 2s, ngunit hindi sila). (dydx)2, sa kabilang banda, ay ang parisukat ng unang derivative.

Halimbawa:

Kunin ang Y=3 ???? 3 +6 ???? 2y=3×3+6×2

Ang unang derivative: dy/dx=9 ???? 2+12 ???? dydx=9×2+12x

Ang pangalawang derivative:d2yd????2=18 ???? +12d2ydx2=18x+12

Ang parisukat ng unang derivative: (dydx)2=(9 ??? ? 2+12 ???? )2=(81 ???? 4+216 ???? 3+144

Ano ang Pangalawang Derivative?

Kapag iniiba mo ang derivative, makukuha mo ang pangalawang derivative. Tandaan na ang dy/dx ay ang derivative ng y na may paggalang sa x. Ang pangalawang derivative, binibigkas Ang “dee two y by d x squared,” ay kinakatawan bilang d2y/dx2.

Ang katangian ng mga nakatigil na puntos ay mas madaling matukoy gamit ang pangalawang derivative (kung ang mga ito ay maximum na puntos, pinakamababang puntos, o mga punto ng inflection).

Kapag dy/dx = 0, ang isang curve ay umabot sa isang nakatigil na punto. Ang uri ng nakatigil na punto (maximum, minimum, o punto ng inflection) ay maaaring matukoy gamit ang pangalawang derivative kapag ang ang lokasyon ng nakatigil na punto ay naitatag.

Paano matutukoy ang maxima at minima point?

d2y/d2x ang pangalawang derivative.

Ano ang Derivative?

Ang derivative ng isang function ng isang tunay na variable sa matematika ay binibilang angsensitivity ng value ng function (output value) sa mga pagbabago sa argument nito (input value). Ang pangunahing tool ng Calculus ay ang derivative.

Ang bilis ng isang item, halimbawa, ay ang derivative ng posisyon nito na may kinalaman sa oras. Tinutukoy nito kung gaano kabilis nag-iiba ang posisyon ng object habang lumilipas ang oras.

Kapag nangyari ito, ang slope ng tangent line sa graph ng function sa isang ibinigay na input value ay ang derivative ng isang function ng isang variable. Ang function na pinakamalapit sa input value na iyon ay pinakamahusay na tinatayang linearly ng tangent line.

Dahil dito, ang derivative ay madalas na tinutukoy bilang ang "instantaneous rate of change," na siyang ratio ng agarang pagbabago sa dependent variable sa independent variable.

Upang maisama ang mga function ng ilang totoong variable, ang mga derivative ay maaaring gawing pangkalahatan. Ang generalization na ito ay muling binibigyang kahulugan ang derivative bilang isang linear transformation na ang graph, pagkatapos ng angkop na pagsasalin, ay ang pinakamahusay na linear approximation sa graph ng orihinal na function.

Tungkol sa pundasyong ibinigay ng pagpili ng mga independyente at umaasang variable, ang Jacobian matrix ay ang matrix na kumakatawan sa linear na pagbabagong ito.

Maaari itong kalkulahin gamit ang mga partial derivatives ng mga independent variable. Pinapalitan ng gradient vector ang Jacobian matrix para sa isang real-valued function na may ilanmga variable.

Ang differentiation ay ang pagkilos ng paghahanap ng derivative. Ang antidifferentiation ay ang termino para sa kabaligtaran na proseso. Ang antidifferentiation at integration ay nauugnay sa calculus fundamental theorem. Ang dalawang pangunahing pagpapatakbo ng single-variable calculus ay pagkita ng kaibhan at pagsasama.

Panoorin ang Video na Ito para Malaman ang Tungkol sa Mga Derivatives at Function ng Real a Variable

Iba't ibang Notations

Notation ni Leibniz

Noong 1675, ipinakilala ni Gottfried Wilhelm Leibniz ang mga letrang dx, dy, at dy/dx. Kahit ngayon, madalas itong ginagamit kapag ang ugnayan sa pagitan ng dependent at independent variable sa equation na y = f(x) ay itinuturing na functional.

Ang variable para sa differentiation (sa denominator) ay maaaring matukoy gamit ang notasyon ni Leibniz, na mahalaga para sa partial differentiation.

Lagrange's notation

Isa sa pinakasikat na modern differentiation notation, na kung minsan ay kilala bilang prime notation, ay gumagamit ng prime mark at ay kredito kay Joseph-Louis Lagrange. Tinutukoy nito ang derivative ng isang function f bilang f1.

Ang huling notation ay nag-generalize upang ibigay ang notation na f(n) para sa nth derivative ng f, na mas maginhawa kapag tinatalakay ang derivative bilang isang function sa halip na isang function ng sarili nito dahil ang Leibniz notation ay maaaring kumplikado sa sitwasyong ito.

Newton's notation

Ang isang tuldok ayinilagay sa ibabaw ng function name sa differentiation notation ni Newton, na kadalasang kilala bilang "dot notation," para magpahiwatig ng time derivative.

Ang mga derivative lang na patungkol sa oras o haba ng arc ang kinakatawan gamit ang notation na ito. Kadalasan, inilalapat ito sa mga differential equation sa differential geometry at physics. Gayunpaman, ang notasyon ng tuldok ay hindi naaangkop sa ilang mga independiyenteng variable at mga derivative na may mataas na pagkakasunud-sunod (order 4 o higit pa).

Notation ni Euler

Ang unang derivative na Df ay nakuha gamit ang differential operator D sa notasyon ni Euler sa pamamagitan ng paglalapat nito sa isang function f. Ang Dnd ay nangangahulugang ang nth derivative.

Kung ang y = f(x) ay isang dependent variable, ang independent variable na x ay madalas na nililinaw sa pamamagitan ng pagdaragdag ng subscript x sa D.

Bagaman kapag ang variable na x ay naiintindihan , tulad ng kapag ito ang nag-iisang independent variable na nasa equation, ang subscript na ito ay madalas na naiwan.

Para sa pagpapahayag at paglutas ng mga linear differential equation, ang notasyon ni Euler ay nakakatulong.

Application of Derivatives sa Math

Ang mga derivative ay madalas na ginagamit sa matematika. Magagamit ang mga ito upang matukoy ang maximum o minimum ng isang function, ang slope ng isang curve, o maging ang inflection point.

Nasa ibaba ang ilang pagkakataon kung saan gagamitin namin ang derivative. At ang mga sumusunod na seksyon ay pumunta sa mahusay na detalye tungkol sa bawat isa sa kanila. Ang aplikasyon ng mga derivativesay pinakamadalas na matatagpuan sa:

• Pagkalkula ng Rate ng pagbabago ng isang dami
• Pagkuha ng magandang pagtatantya ng halaga
• Paghahanap ng equation para sa tangent at normal ng isang curve
• Pagtukoy sa punto ng inflection, maxima, at minima
• Paggawa ng pagtatasa ng pagtaas at pagbaba ng mga function

Ang isang derivative ay ginagamit upang kalkulahin ang punto ng inflection, maximum at minimum point

Application of Derivatives in Real Life

Maaaring gamitin ang derivatives sa maraming sitwasyon sa totoong buhay. Narito ang isang listahan ng ilang sitwasyon kung saan maaari mong gamitin ang derivation:

• Upang kalkulahin ang kita at pagkalugi sa negosyo.
• Upang sukatin ang pagkakaiba-iba ng temperatura.
• Upang kalkulahin ang rate ng paglalakbay, tulad ng mga milya bawat oras, kilometro bawat oras, atbp.
• Maraming mga equation ng pisika ang hinango gamit ang mga derivatives.
• Ang paghahanap ng saklaw ng magnitude ng lindol ay isang paboritong gawain sa pananaliksik sa seismology.

Konklusyon

• d2y/dx2 ang pangalawang derivation.
• (dy/dx) ^2 ang unang derivative squared.
• Ginagamit ang derivative sa iba't ibang larangan para sa ilang layunin sa totoong buhay.
• Ginagamit ang derivative sa matematika upang kalkulahin ang maximum at minimum na mga puntos.
• Maaari itong gamitin sa negosyo upang kalkulahin ang mga pananalapi ng negosyo at upang kalkulahin ang kita at pagkalugi.