Derivater har mange anvendelsesmuligheder uden for matematikken og hverdagen, herunder inden for fag som videnskab, ingeniørvidenskab, fysik og andre fag.

Du skal have behersket evnen til at beregne den afledte af forskellige funktioner i tidligere kurser, herunder trigonometrisk, implicit, logaritme osv.

d2y/dx2 og (dydx)^2 er to afledte ligninger. Men for at forstå dem, skal du først forstå, hvad den anden afledte ligning er.

Den afledte af en funktion i beregning er kendt som den anden afledte, undertiden kendt som den anden ordens afledte.

Den anden afledte måler groft sagt, hvordan en størrelses ændringshastighed ændrer sig. F.eks. er den anden afledte af en objekts position i forhold til tiden objektets øjeblikkelige acceleration eller den hastighed, hvormed objektets hastighed ændrer sig i forhold til tiden.

I denne artikel vil jeg fortælle dig, hvad forskellen mellem d2y/dx2=(dydx)^2 er, og hvad afledt betyder.

D2y/dx2 Vs (dydx)^2

Afledt af dy/dx (Disse 2'er ligner måske indeksnotation, men er det ikke). (dydx)2 er derimod kvadratet på den første afledte.

Eksempel:

Tag Y=3 ???? 3+6 ???? 2y=3×3+6×2

Den første afledte: dy/dx=9 ???? 2+12 ???? dydx=9×2+12x

Den anden afledte: d2yd????2=18 ???? +12d2ydx2=18x+12

Kvadratet af den første afledte: (dydx)2=(9 ???? 2+12 ???? )2=(81 ???? 4+216 ???? 3+144

Hvad er sekundær derivat?

Når du differentierer den afledte, får du den anden afledte. Husk, at dy/dx er den afledte af y i forhold til x. Den anden afledte, der udtales "dee to y med d x i kvadrat", er repræsenteret som d2y/dx2.

Det er lettere at fastslå arten af stationære punkter ved hjælp af den anden afledede (om de er maksimumspunkter, minimumspunkter eller bøjningspunkter).

Når dy/dx = 0, når en kurve et stationært punkt. Typen af stationært punkt (maksimum, minimum eller bøjningspunkt) kan bestemmes ved hjælp af den anden afledte, når det stationære punkts placering er blevet fastlagt.

Hvordan identificerer man maksimum- og minimumspunkter?

d2y/d2x er den anden afledede.

Hvad er et derivat?

Den afledte af en funktion af en reel variabel i matematik kvantificerer følsomheden af funktionens værdi (outputværdi) over for ændringer i dens argument (inputværdi).

En genstands hastighed er f.eks. den afledte værdi af dens position i forhold til tiden og angiver, hvor hurtigt genstandens position varierer i takt med, at tiden går.

Når det sker, er hældningen af tangentlinjen til funktionens graf ved en given indgangsværdi den afledte af en funktion med en enkelt variabel. Den funktion, der ligger tættest på denne indgangsværdi, tilnærmes bedst lineært af tangentlinjen.

Derfor kaldes den afledte værdi ofte for den "øjeblikkelige ændringshastighed", som er forholdet mellem den øjeblikkelige ændring i den afhængige variabel og den øjeblikkelige ændring i den uafhængige variabel.

For at inkludere funktioner med flere reelle variabler kan afledte funktioner generaliseres. Denne generalisering omfortolker den afledte funktion som en lineær transformation, hvis graf efter en passende translation er den bedste lineære tilnærmelse til grafen for den oprindelige funktion.

Med hensyn til det grundlag, som valget af uafhængige og afhængige variabler udgør, er jacobianmatrixen den matrix, der repræsenterer denne lineære transformation.

Den kan beregnes ved hjælp af de uafhængige variablers partielle afledninger. Gradientvektoren erstatter den jacobiske matrix for en realværdifunktion med flere variabler.

Differentiering er den handling, der består i at finde en afledt størrelse. Antidifferentiering er betegnelsen for den modsatte proces. Antidifferentiering og integration er relateret til hinanden i den grundlæggende sætning i regnearket. De to grundlæggende operationer i envariabel regnearket er differentiering og integration.

Se denne video for at få viden om derivater og funktion af en reel variabel

Forskellige notationer

Leibniz' notation

I 1675 introducerede Gottfried Wilhelm Leibniz bogstaverne dx, dy og dy/dx. Selv i dag anvendes de ofte, når forholdet mellem de afhængige og uafhængige variabler i ligningen y = f(x) betragtes som funktionelt.

Variablen til differentiering (i nævneren) kan angives ved hjælp af Leibniz' notation, hvilket er vigtigt for partiel differentiering.

Lagranges notation

En af de mest populære moderne differentieringsnotationer, undertiden kendt som primtalsnotation, anvender primtalstegn og tilskrives Joseph-Louis Lagrange. Den betegner den afledte af en funktion f som f1.

Sidstnævnte notation generaliseres til at give notationen f(n) for den niende afledte af f, hvilket er mere praktisk, når man diskuterer den afledte som en funktion snarere end en funktion af sig selv, fordi Leibniz-notationen kan være kompliceret i denne situation.

Newton's notation

I Newtons differentieringsnotation, ofte kendt som "punktnotationen", sættes der et punkt over funktionsnavnet for at angive en tidsafledet funktion.

Kun afledninger med hensyn til tid eller buelængde repræsenteres ved hjælp af denne notation. Normalt anvendes den til differentialligninger i differentiale geometri og fysik. Punktnotationen kan dog ikke anvendes til flere uafhængige variabler og afledninger af høj orden (orden 4 eller mere).

Eulers notation

Den første afledte Df fås ved hjælp af differentialeoperatoren D i Eulers notation ved at anvende den på en funktion f. Dnd står for den niende afledte.

Hvis y = f(x) er en afhængig variabel, præciseres den uafhængige variabel x ofte ved at tilføje subscript x til D.

Når variablen x er forstået, f.eks. når den er den eneste uafhængige variabel i ligningen, udelades denne subscript ofte.

Til at udtrykke og løse lineære differentialligninger er Eulers notation nyttig.

Anvendelse af derivater i matematik

Derivater anvendes ofte i matematikken og kan bruges til at bestemme en funktions maksimum eller minimum, hældningen af en kurve eller endog bøjningspunktet.

Nedenfor er der nogle få eksempler på, hvor vi vil bruge derivatet. Og de følgende afsnit går meget i detaljer med hvert af dem. Anvendelsen af derivater findes hyppigst i:

• Beregning af en størrelses ændringshastighed
• Få et godt overslag over værdien
• Finde ligningen for en kurves tangent og normal
• Identifikation af bøjningspunktet, maksimum og minimum
• Vurdering af de stigende og faldende funktioner

En afledt værdi bruges til at beregne bøjningspunktet, maksimum og minimum

Anvendelse af derivater i det virkelige liv

Derivater kan bruges i mange situationer i det virkelige liv. Her er en liste over nogle få situationer, hvor du kan bruge afledninger:

• At beregne overskud og tab i virksomheden.
• For at måle temperaturvariationen.
• Til beregning af hastigheden, f.eks. miles pr. time, kilometer pr. time osv.
• Talrige fysikligninger er afledt ved hjælp af derivater.
• At finde jordskælvets størrelsesorden er en favoritopgave inden for seismologisk forskning.

Konklusion

• d2y/dx2 er den anden afledning.
• (dy/dx) ^2 er den første afledte i kvadrat.
• Et derivat anvendes på forskellige områder til flere forskellige formål i det virkelige liv.
• En afledt værdi bruges i matematik til at beregne maksimum- og minimumspunkter.
• Det kan bruges i erhvervslivet til at beregne virksomhedens økonomi og til at beregne overskud og tab.