Afgeleides het baie gebruike buite net wiskunde en die alledaagse lewe, insluitend in vakke soos wetenskap, ingenieurswese, fisika en ander.

Jy moet die vermoë bemeester het om die afgeleide van verskeie funksies in vroeëre kursusse te bereken, insluitend trigonometries, implisiet, logaritme, ens.

d2y/dx2 en (dydx)^2 is twee afgeleides. vergelykings. Maar om hulle te verstaan, moet jy eers verstaan ​​wat presies die tweede afgeleide is.

Die afgeleide van 'n funksie in calculus staan ​​bekend as die tweede afgeleide, soms bekend as die tweede-orde afgeleide.

Die tweede afgeleide, rofweg gesproke, meet hoe 'n hoeveelheid se tempo van verandering self verander. Byvoorbeeld, die tweede afgeleide van 'n voorwerp se posisie met betrekking tot tyd is die voorwerp se oombliklike versnelling of die tempo waarteen die voorwerp se snelheid met betrekking tot tyd verander.

In hierdie artikel sal ek jou vertel wat is die verskil tussen d2y/dx2=(dydx)^2 en wat presies afgeleide beteken.

D2y/dx2 Vs (dydx)^2

Afgeleide van dy/dx (Hierdie 2s lyk dalk soos indeksnotasie, maar dit is nie). (dydx)2, aan die ander kant, is die kwadraat van die eerste afgeleide.

Voorbeeld:

Neem Y=3 ???? 3 +6 ???? 2y=3×3+6×2

Die eerste afgeleide: dy/dx=9 ???? 2+12 ???? dydx=9×2+12x

Die tweede afgeleide:d2yd????2=18 ???? +12d2ydx2=18x+12

Die kwadraat van die eerste afgeleide: (dydx)2=(9 ??? ? 2+12 ???? )2=(81 ???? 4+216 ???? 3+144

Wat is tweede afgeleide?

Wanneer jy die afgeleide differensieer, kry jy die tweede afgeleide. Onthou dat dy/dx die afgeleide van y is met betrekking tot x. Die tweede afgeleide, uitgespreek "dee twee y by d x kwadraat," word voorgestel as d2y/dx2.

Die aard van stilstaande punte kan makliker vasgestel word deur die tweede afgeleide te gebruik (of dit maksimum punte, minimum punte, of buigpunte).

Wanneer dy/dx = 0, bereik 'n kromme 'n stilstaande punt. Die tipe stilstaande punt (maksimum, minimum of buigpunt) kan bepaal word deur die tweede afgeleide te gebruik sodra die ligging van die stilstaande punt is vasgestel.

Hoe identifiseer maksima en minima punte?

d2y/d2x is die tweede afgeleide.

Wat is afgeleide?

Die afgeleide van 'n funksie van 'n reële veranderlike in wiskunde kwantifiseer diesensitiwiteit van die funksie se waarde (uitsetwaarde) vir veranderinge in sy argument (insetwaarde). Calculus se kerninstrument is die afgeleide.

Die snelheid van 'n item is byvoorbeeld die afgeleide van sy posisie met betrekking tot tyd. Dit kwantifiseer hoe vinnig die voorwerp se posisie wissel soos die tyd verbygaan.

Wanneer dit voorkom, is die helling van die raaklyn aan die funksie se grafiek by 'n gegewe insetwaarde die afgeleide van 'n funksie van 'n enkele veranderlike. Die funksie naaste aan daardie insetwaarde word die beste lineêr benader deur die raaklyn.

Daarom word daar dikwels na die afgeleide verwys as die "oombliklike tempo van verandering", wat die verhouding is van die oombliklike verandering in die afhanklike veranderlike tot dié in die onafhanklike veranderlike.

Om funksies van verskeie reële veranderlikes in te sluit, kan afgeleides veralgemeen word. Hierdie veralgemening herinterpreteer die afgeleide as 'n lineêre transformasie waarvan die grafiek, na 'n geskikte vertaling, die beste lineêre benadering tot die grafiek van die oorspronklike funksie is.

Wat die grondslag verskaf deur die seleksie van onafhanklike en afhanklike veranderlikes, is die Jakobiaanse matriks die matriks wat hierdie lineêre transformasie verteenwoordig.

Dit kan bereken word deur die parsiële afgeleides van die onafhanklike veranderlikes te gebruik. Die gradiëntvektor vervang die Jakobiaanse matriks vir 'n reële-waarde funksie met verskeieveranderlikes.

Differensiasie is die aksie om 'n afgeleide op te spoor. Antidifferensiasie is die term vir die teenoorgestelde proses. Antidifferensiasie en integrasie word verwant in die calculus fundamentele stelling. Die twee fundamentele bewerkings van enkelveranderlike calculus is differensiasie en integrasie.

Kyk hierdie video om te weet oor die afgeleides en funksie van reële 'n veranderlike

verskillende notasies

Leibniz se notasie

In 1675 het Gottfried Wilhelm Leibniz die letters dx, dy en dy/dx bekendgestel. Selfs vandag word dit gereeld gebruik wanneer die verband tussen die afhanklike en onafhanklike veranderlikes in die vergelyking y = f(x) as funksioneel beskou word.

Die veranderlike vir differensiasie (in die noemer) kan gespesifiseer word deur Leibniz se notasie te gebruik, wat belangrik is vir gedeeltelike differensiasie.

Lagrange se notasie

Een van die gewildste moderne differensiasienotasies, soms bekend as priemnotasie, gebruik die priemteken en word aan Joseph-Louis Lagrange gekrediteer. Dit dui die afgeleide van 'n funksie f aan as f1.

Laasgenoemde notasie veralgemeen om die notasie f(n) te verskaf vir die nde afgeleide van f, wat geriefliker is wanneer die afgeleide as 'n funksie bespreek word eerder as 'n funksie van homself omdat die Leibniz-notasie in hierdie situasie ingewikkeld kan wees.

Newton se notasie

'n Kol isgeplaas oor die funksienaam in Newton se differensiasienotasie, dikwels bekend as die "puntnotasie", om 'n tydafgeleide aan te dui.

Slegs afgeleides met betrekking tot tyd of booglengte word voorgestel deur hierdie notasie te gebruik. Gewoonlik word dit toegepas op differensiaalvergelykings in differensiaalmeetkunde en fisika. Die puntnotasie is egter nie van toepassing op verskeie onafhanklike veranderlikes en hoë-orde afgeleides (orde 4 of meer).

Euler se notasie

Die eerste afgeleide Df word verkry deur die differensiaaloperateur te gebruik. D in Euler se notasie deur dit op 'n funksie f toe te pas. Dnd staan ​​vir die nde afgeleide.

As y = f(x) 'n afhanklike veranderlike is, word die onafhanklike veranderlike x gereeld opgeklaar deur die subskripsie x by die D te voeg.

Alhoewel wanneer die veranderlike x verstaan ​​word , soos wanneer dit die enigste onafhanklike veranderlike is wat in die vergelyking vervat is, word hierdie subskripsie gereeld weggelaat.

Om lineêre differensiaalvergelykings uit te druk en op te los, is Euler se notasie nuttig.

Toepassing van afgeleides in wiskunde

Afgeleides word gereeld in wiskunde gebruik. Hulle kan gebruik word om 'n funksie se maksimum of minimum, die helling van 'n kromme, of selfs die buigpunt te bepaal.

Hieronder is 'n paar gevalle waar ons die afgeleide sal gebruik. En die volgende afdelings gaan in groot detail oor elkeen van hulle. Die toepassing van afgeleidesword die meeste gevind in:

• Berekening van 'n hoeveelheid se tempo van verandering
• Kry 'n goeie skatting van die waarde
• Vind die vergelyking vir 'n kromme se raaklyn en normaal
• Identifisering van die buigpunt, maksima en minima
• Maak 'n assessering van die toenemende en dalende funksies

'n Afgeleide word gebruik om die punt te bereken van verbuiging, maksimum- en minimumpunt

Toepassing van afgeleides in die werklike lewe

Afgeleides kan in baie situasies in die werklike lewe gebruik word. Hier is 'n lys van 'n paar situasies waarin jy afleiding kan gebruik:

• Om wins en verlies in die besigheid te bereken.
• Om temperatuurvariasie te meet.
• Om die reistempo te bereken, soos myl per uur, kilometers per uur, ens.
• Talle fisikavergelykings word afgelei deur afgeleides te gebruik.
• Om die aardbewing-omvangreeks te vind is 'n gunsteling taak in seismologie-navorsing.

Gevolgtrekking

• d2y/dx2 is die tweede afleiding.
• (dy/dx) ^2 is die eerste afgeleide kwadraat.
• 'n Afgeleide word in verskeie velde vir verskeie doeleindes in die werklike lewe gebruik.
• 'n Afgeleide word gebruik in wiskunde om maksimum en minimum punte te bereken.
• Dit kan in besigheid gebruik word om die finansies van die besigheid te bereken en om wins en verlies te bereken.