Ածանցյալները շատ օգտագործում են միայն մաթեմատիկայից և առօրյա կյանքից դուրս, ներառյալ այնպիսի առարկաներում, ինչպիսիք են գիտությունը, ճարտարագիտությունը, ֆիզիկան և այլն:

Դուք պետք է տիրապետած լինեք ավելի վաղ դասընթացների տարբեր ֆունկցիաների ածանցյալը հաշվարկելու կարողությանը, այդ թվում՝ եռանկյունաչափական, անուղղակի, լոգարիթմային և այլն:

d2y/dx2 և (dydx)^2 երկու ածանցյալ են: հավասարումներ։ Բայց դրանք հասկանալու համար նախ պետք է հասկանալ, թե կոնկրետ որն է երկրորդ ածանցյալը:

Հաշվի մեջ ֆունկցիայի ածանցյալը հայտնի է որպես երկրորդ ածանցյալ, երբեմն հայտնի է որպես երկրորդ կարգի ածանցյալ։

Երկրորդ ածանցյալը, կոպիտ ասած, չափում է, թե ինչպես է փոփոխվում մեծության փոփոխության արագությունը: Օրինակ, ժամանակի նկատմամբ օբյեկտի դիրքի երկրորդ ածանցյալը օբյեկտի ակնթարթային արագացումն է կամ արագությունը, որով փոխվում է օբյեկտի արագությունը ժամանակի նկատմամբ:

Այս հոդվածում ես ձեզ կասեմ, թե ինչ տարբերությունն է d2y/dx2=(dydx)^2-ի և կոնկրետ ինչ է նշանակում ածանցյալը:

D2y/dx2 Vs (dydx)^2

dy/dx-ի ածանցյալը (Սրանք 2-երը կարող են թվալ ինդեքսի նշում, բայց դա այդպես չէ): (dydx)2, մյուս կողմից, առաջին ածանցյալի քառակուսին է:

Օրինակ.

Վերցրեք Y=3 ???? 3 +6 ???? 2y=3×3+6×2

Առաջին ածանցյալը՝ dy/dx=9 ???? 2+12 ???? dydx=9×2+12x

Երկրորդ ածանցյալը.d2yd??2=18 ???? +12d2ydx2=18x+12

Առաջին ածանցյալի քառակուսին` (dydx)2=(9 ??? ? 2+12 ???? )2=(81 ?? 4+216 ???? 3+144

Ի՞նչ է երկրորդ ածանցյալը

Երբ դուք տարբերում եք ածանցյալը, ստանում եք երկրորդ ածանցյալը: Հիշեք, որ dy/dx-ը y-ի ածանցյալն է x-ի նկատմամբ: Երկրորդ ածանցյալը` արտասանված «dee երկու y ըստ d x քառակուսի», ներկայացված է որպես d2y/dx2:

Անշարժ կետերի բնույթն ավելի հեշտությամբ կարելի է պարզել՝ օգտագործելով երկրորդ ածանցյալը (լինի դրանք առավելագույն միավորներ են, նվազագույն միավորներ, կամ թեքման կետեր):

Երբ dy/dx = 0, կորը հասնում է անշարժ կետի: Անշարժ կետի տեսակը (առավելագույնը, նվազագույնը կամ թեքման կետը) կարելի է որոշել՝ օգտագործելով երկրորդ ածանցյալը, երբ հաստատված է անշարժ կետի գտնվելու վայրը:

Ինչպե՞ս որոշել առավելագույն և նվազագույն կետերը:

d2y/d2x-ը երկրորդ ածանցյալն է:

Ի՞նչ է ածանցյալը:

Մաթեմատիկայում իրական փոփոխականի ֆունկցիայի ածանցյալը քանակականացնում էՖունկցիայի արժեքի (ելքային արժեք) զգայունությունը նրա արգումենտի (մուտքային արժեք) փոփոխությունների նկատմամբ։ Հաշվի հիմնական գործիքը ածանցյալն է:

Իրականի արագությունը, օրինակ, նրա դիրքի ածանցյալն է ժամանակի նկատմամբ: Այն քանակականացնում է, թե որքան արագ է տատանվում օբյեկտի դիրքը ժամանակի ընթացքում:

Երբ դա տեղի է ունենում, տվյալ մուտքային արժեքի դեպքում շոշափողի գծի թեքությունը ֆունկցիայի գրաֆիկի վրա մեկ փոփոխականի ֆունկցիայի ածանցյալն է: Այդ մուտքային արժեքին ամենամոտ ֆունկցիան լավագույնս գծային մոտավոր է շոշափող գծով:

Դրա պատճառով ածանցյալը հաճախ կոչվում է «փոփոխության ակնթարթային արագություն», որը կախված փոփոխականի ակնթարթային փոփոխության հարաբերակցությունն է անկախ փոփոխականին:

Մի քանի իրական փոփոխականների ֆունկցիաներ ներառելու համար ածանցյալները կարող են ընդհանրացվել: Այս ընդհանրացումը վերաիմաստավորում է ածանցյալը որպես գծային փոխակերպում, որի գրաֆիկը, համապատասխան թարգմանությունից հետո, լավագույն գծային մոտարկումն է սկզբնական ֆունկցիայի գրաֆիկին։

Ինչ վերաբերում է անկախ և կախյալ փոփոխականների ընտրությամբ տրամադրված հիմքին, ապա Յակոբյան մատրիցը այն մատրիցն է, որը ներկայացնում է այս գծային փոխակերպումը:

Այն կարող է հաշվարկվել անկախ փոփոխականների մասնակի ածանցյալների միջոցով: Գրադիենտ վեկտորը փոխարինում է Յակոբյան մատրիցին իրական արժեք ունեցող ֆունկցիայի համար մի քանիովփոփոխականներ.

Տարբերակումը ածանցյալի տեղորոշման գործողությունն է: Հակատարբերակումը հակառակ գործընթացի տերմինն է: Հակատարբերակումը և ինտեգրումը կապված են հաշվարկի հիմնարար թեորեմում: Մեկ փոփոխական հաշվարկի երկու հիմնարար գործողություններն են տարբերակումը և ինտեգրումը:

Դիտեք այս տեսանյութը՝ իրական փոփոխականի ածանցյալների և ֆունկցիայի մասին իմանալու համար

Տարբեր նշումներ

Լայբնիցի նշումը

1675 թվականին Գոթֆրիդ Վիլհելմ Լայբնիցը ներմուծեց dx, dy և dy/dx տառերը։ Նույնիսկ այսօր այն հաճախ օգտագործվում է, երբ y = f(x) հավասարման մեջ կախված և անկախ փոփոխականների միջև կապը համարվում է ֆունկցիոնալ:

Տարբերակման փոփոխականը (հայտարարում) կարող է նշեք Լայբնիցի նշումով, որը կարևոր է մասնակի տարբերակման համար:

Լագրանժի նշումը

Ժամանակակից տարբերակման ամենահայտնի նշումներից մեկը, որը երբեմն հայտնի է որպես պարզ նշում, օգտագործում է հիմնական նշանը և վերագրվում է Ժոզեֆ-Լուի Լագրանժին: Այն նշանակում է f ֆունկցիայի ածանցյալը որպես f1:

Վերջին նշումը ընդհանրացվում է՝ f(n) նշումը f-ի n-րդ ածանցյալի համար տրամադրելու համար, որն ավելի հարմար է ածանցյալը որպես ֆունկցիա քննարկելիս: այլ ոչ թե ինքնին ֆունկցիա, քանի որ Լայբնիցի նշումը կարող է բարդ լինել այս իրավիճակում:

Նյուտոնի նշումը

Կետը նշանակում է.Ֆունկցիայի անվան վրա տեղադրվում է Նյուտոնի տարբերակման նշումով, որը հաճախ հայտնի է որպես «կետային նշում», որպեսզի նշանակի ժամանակի ածանցյալ:

Այս նշումով ներկայացված են միայն ժամանակի կամ աղեղի երկարության հետ կապված ածանցյալները: Սովորաբար, այն կիրառվում է դիֆերենցիալ հավասարումների նկատմամբ դիֆերենցիալ երկրաչափության և ֆիզիկայի մեջ: Այնուամենայնիվ, կետային նշումը կիրառելի չէ մի քանի անկախ փոփոխականների և բարձր կարգի ածանցյալների համար (4 կամ ավելի կարգի):

Euler-ի նշումը

Առաջին ածանցյալ Df-ը ստացվում է դիֆերենցիալ օպերատորի միջոցով: D-ն Էյլերի նշումով՝ այն կիրառելով f ֆունկցիայի վրա: Dnd նշանակում է n-րդ ածանցյալ:

Եթե y = f(x)-ը կախված փոփոխական է, ապա x անկախ փոփոխականը հաճախ պարզաբանվում է՝ ավելացնելով x ենթագիր D-ին:

Չնայած, երբ x փոփոխականը հասկանալի է , օրինակ, երբ սա միակ անկախ փոփոխականն է, որը պարունակվում է հավասարման մեջ, այս բաժանորդագրությունը հաճախ դուրս է մնում:

Գծային դիֆերենցիալ հավասարումներ արտահայտելու և լուծելու համար Էյլերի նշումը օգտակար է։

Ածանցյալների կիրառումը մաթեմատիկայի մեջ

Ածանցյալները հաճախ օգտագործվում են մաթեմատիկայում։ Դրանք կարող են օգտագործվել ֆունկցիայի առավելագույնը կամ նվազագույնը, կորի թեքությունը կամ նույնիսկ թեքման կետը որոշելու համար:

Ստորև բերված են մի քանի դեպքեր, երբ մենք կօգտագործենք ածանցյալը: Եվ հաջորդ բաժինները մանրամասնորեն մանրամասնում են դրանցից յուրաքանչյուրը: Ածանցյալների կիրառումըամենից հաճախ հանդիպում է.

• Քանակի փոփոխության արագության հաշվարկում
• Արժեքի լավ գնահատական ​​ստանալը
• Կորի շոշափողի և նորմալի հավասարումը գտնելը
• Թեքման, առավելագույնի և նվազագույնի կետի նույնականացում
• Աճող և նվազող ֆունկցիաների գնահատում

Կետը հաշվարկելու համար օգտագործվում է ածանցյալ թեքության, առավելագույն և նվազագույն կետի

Ածանցյալների կիրառումը իրական կյանքում

Ածանցյալները կարող են օգտագործվել իրական կյանքում շատ իրավիճակներում: Ահա մի քանի իրավիճակների ցանկ, որոնց դեպքում դուք կարող եք օգտագործել դերիվացիա.

• Բիզնեսում շահույթը և վնասը հաշվարկելու համար:
• Ջերմաստիճանի տատանումները չափելու համար:
• Ճամփորդության արագությունը հաշվարկելու համար, օրինակ՝ մղոն/ժամ, կիլոմետր/ժամ և այլն:
• Երկրաշարժի մագնիտուդի միջակայքը գտնելը սեյսմոլոգիական հետազոտության ամենասիրելի խնդիրն է:

Եզրակացություն

• d2y/dx2 երկրորդ ածանցումն է:
• (dy/dx) ^2-ը առաջին քառակուսի ածանցյալն է:
• Ածանցյալն օգտագործվում է տարբեր ոլորտներում մի քանի նպատակներով իրական կյանքում:
• Ածանցյալն օգտագործվում է իրական կյանքում: մաթեմատիկա առավելագույն և նվազագույն միավորները հաշվարկելու համար:
• Այն կարող է օգտագործվել բիզնեսում բիզնեսի ֆինանսները հաշվարկելու և շահույթն ու վնասը հաշվարկելու համար: