Các công cụ phái sinh có nhiều ứng dụng ngoài toán học và cuộc sống hàng ngày, kể cả trong các môn học như khoa học, kỹ thuật, vật lý và các môn học khác.

Bạn phải nắm vững khả năng tính đạo hàm của các hàm khác nhau trong các khóa học trước, bao gồm lượng giác, hàm ẩn, logarit, v.v.

d2y/dx2 và (dydx)^2 là hai đạo hàm phương trình. Nhưng để hiểu chúng, trước tiên, bạn cần hiểu đạo hàm cấp hai chính xác là gì.

Đạo hàm của một hàm trong giải tích được gọi là đạo hàm cấp hai, đôi khi được gọi là đạo hàm cấp hai.

Đạo hàm cấp hai, nói một cách đại khái, đo tốc độ thay đổi của một đại lượng tự nó thay đổi như thế nào. Chẳng hạn, đạo hàm cấp hai của vị trí của một vật theo thời gian là gia tốc tức thời của vật hoặc tốc độ mà vận tốc của vật thay đổi theo thời gian.

Trong bài viết này, tôi sẽ cho bạn biết điều gì là sự khác biệt giữa d2y/dx2=(dydx)^2 và đạo hàm chính xác nghĩa là gì.

D2y/dx2 Vs (dydx)^2

Đạo hàm của dy/dx (Những 2s có thể trông giống như ký hiệu chỉ mục, nhưng không phải vậy). Mặt khác, (dydx)2 là bình phương của đạo hàm bậc nhất.

Ví dụ:

Lấy Y=3 ???? 3 +6 ???? 2y=3×3+6×2

Đạo hàm bậc nhất: dy/dx=9 ???? 2+12 ???? dydx=9×2+12x

Đạo hàm cấp hai:d2yd????2=18 ???? +12d2ydx2=18x+12

Bình phương của đạo hàm bậc nhất: (dydx)2=(9 ??? ? 2+12 ???? )2=(81 ???? 4+216 ???? 3+144

Đạo hàm cấp hai là gì?

Khi lấy đạo hàm riêng, bạn sẽ có đạo hàm cấp hai. Hãy nhớ rằng dy/dx là đạo hàm của y theo x. Đạo hàm cấp hai, được phát âm “dee two y by d x squared,” được biểu diễn dưới dạng d2y/dx2.

Bạn có thể dễ dàng xác định bản chất của các điểm bất động bằng cách sử dụng đạo hàm cấp hai (cho dù chúng là điểm cực đại, điểm cực tiểu, hoặc các điểm uốn).

Khi dy/dx = 0, một đường cong đạt đến một điểm dừng. Loại điểm dừng (cực đại, cực tiểu hoặc điểm uốn) có thể được xác định bằng cách sử dụng đạo hàm cấp hai sau khi vị trí của điểm cố định đã được thiết lập.

Làm cách nào để xác định các điểm cực đại và cực tiểu?

d2y/d2x là đạo hàm cấp hai.

Đạo hàm là gì?

Đạo hàm của hàm một biến thực trong toán học định lượngđộ nhạy của giá trị của hàm (giá trị đầu ra) đối với những thay đổi trong đối số của nó (giá trị đầu vào). Công cụ cốt lõi của Giải tích là đạo hàm.

Ví dụ, vận tốc của một vật thể là đạo hàm của vị trí của nó theo thời gian. Nó định lượng vị trí của đối tượng thay đổi nhanh như thế nào khi thời gian trôi qua.

Khi nó xảy ra, hệ số góc của đường tiếp tuyến với đồ thị của hàm tại một giá trị đầu vào nhất định là đạo hàm của hàm một biến. Hàm gần nhất với giá trị đầu vào đó được xấp xỉ tuyến tính tốt nhất bằng đường tiếp tuyến.

Do đó, đạo hàm thường được gọi là "tốc độ thay đổi tức thời", là tỷ lệ giữa sự thay đổi tức thời của biến phụ thuộc với tỷ lệ của biến độc lập.

Để bao gồm các chức năng của một số biến thực, đạo hàm có thể được khái quát hóa. Sự tổng quát hóa này diễn giải lại đạo hàm như một phép biến đổi tuyến tính mà đồ thị của nó, sau một phép tịnh tiến phù hợp, là xấp xỉ tuyến tính tốt nhất với đồ thị của hàm ban đầu.

Về nền tảng được cung cấp bởi việc lựa chọn các biến độc lập và phụ thuộc, ma trận Jacobian là ma trận đại diện cho phép biến đổi tuyến tính này.

Nó có thể được tính toán bằng cách sử dụng đạo hàm riêng của các biến độc lập. Vectơ gradient thay thế ma trận Jacobian cho một hàm có giá trị thực với một sốcác biến.

Dự phân là hành động xác định đạo hàm. Antidifferentiation là thuật ngữ cho quá trình ngược lại. Phản vi phân và tích phân có liên quan với nhau trong định lý cơ bản của giải tích. Hai phép toán cơ bản của phép tính một biến là vi phân và tích phân.

Xem video này để biết về đạo hàm và hàm của một biến thực

Các ký hiệu khác nhau

Ký hiệu của Leibniz

Năm 1675, Gottfried Wilhelm Leibniz giới thiệu các chữ cái dx, dy và dy/dx. Thậm chí ngày nay, nó thường được sử dụng khi mối quan hệ giữa các biến phụ thuộc và biến độc lập trong phương trình y = f(x) được coi là hàm số.

Biến phân biệt (ở mẫu số) có thể được chỉ định bằng ký hiệu của Leibniz, ký hiệu này rất quan trọng đối với vi phân từng phần.

Ký hiệu của Lagrange

Một trong những ký hiệu phân biệt hiện đại phổ biến nhất, đôi khi được gọi là ký hiệu nguyên tố, sử dụng dấu nguyên tố và được ghi có cho Joseph-Louis Lagrange. Nó biểu thị đạo hàm của hàm f là f1.

Ký hiệu sau khái quát hóa để cung cấp ký hiệu f(n) cho đạo hàm bậc n của f, thuận tiện hơn khi thảo luận về đạo hàm dưới dạng hàm chứ không phải là một chức năng của chính nó vì ký hiệu Leibniz có thể phức tạp trong tình huống này.

Ký hiệu Newton

Dấu chấm làđược đặt trên tên hàm trong ký hiệu vi phân của Newton, thường được gọi là "ký hiệu dấu chấm", để biểu thị một đạo hàm theo thời gian.

Chỉ những đạo hàm liên quan đến thời gian hoặc độ dài cung mới được biểu diễn bằng ký hiệu này. Thông thường, nó được áp dụng cho các phương trình vi phân trong hình học và vật lý vi phân. Tuy nhiên, ký hiệu dấu chấm không thể áp dụng cho một số biến độc lập và đạo hàm cấp cao (bậc 4 trở lên).

Ký hiệu Euler

Df có được đạo hàm bậc nhất bằng cách sử dụng toán tử vi phân D trong ký hiệu Euler bằng cách áp dụng nó cho hàm f. Dnd là viết tắt của đạo hàm thứ n.

Nếu y = f(x) là biến phụ thuộc, thì biến độc lập x thường được làm rõ bằng cách thêm chỉ số x vào D.

Mặc dù khi hiểu biến x , chẳng hạn như khi đây là biến độc lập duy nhất có trong phương trình, chỉ số này thường bị bỏ qua.

Để biểu diễn và giải các phương trình vi phân tuyến tính, ký hiệu Euler rất hữu ích.

Ứng dụng của đạo hàm trong toán học

Dẫn xuất thường được sử dụng trong toán học. Chúng có thể được sử dụng để xác định giá trị cực đại hoặc cực tiểu của một hàm, độ dốc của đường cong hoặc thậm chí là điểm uốn.

Dưới đây là một số trường hợp chúng tôi sẽ sử dụng đạo hàm. Và các phần sau đây đi sâu vào chi tiết về từng người trong số họ. Ứng dụng của đạo hàmthường thấy nhất trong:

• Tính toán Tốc độ thay đổi của một đại lượng
• Nhận được ước tính tốt về giá trị
• Tìm phương trình cho tiếp tuyến và pháp tuyến của một đường cong
• Xác định điểm uốn, cực đại, cực tiểu
• Nhận xét hàm số tăng giảm

Dùng đạo hàm để tính điểm điểm uốn, điểm cực đại và cực tiểu

Ứng dụng của đạo hàm trong cuộc sống thực

Dẫn xuất có thể được sử dụng trong nhiều tình huống trong cuộc sống thực. Dưới đây là danh sách một số tình huống mà bạn có thể sử dụng đạo hàm:

• Để tính lãi và lỗ trong kinh doanh.
• Để đo lường sự thay đổi nhiệt độ.
• Để tính tốc độ di chuyển, chẳng hạn như dặm trên giờ, km trên giờ, v.v.
• Nhiều phương trình vật lý được suy ra bằng đạo hàm.
• Tìm phạm vi cường độ động đất là một nhiệm vụ yêu thích trong nghiên cứu địa chấn.

Kết luận

• d2y/dx2 là đạo hàm thứ hai.
• (dy/dx) ^2 là đạo hàm bậc nhất bình phương.
• Một đạo hàm được sử dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau cho một số mục đích trong cuộc sống thực.
• Một đạo hàm được sử dụng trong toán học để tính điểm tối đa và tối thiểu.
• Nó có thể được sử dụng trong kinh doanh để tính toán tài chính của doanh nghiệp và tính lãi lỗ.