Atvasinājumiem ir daudz pielietojumu ne tikai matemātikā un ikdienā, bet arī tādos priekšmetos kā zinātne, inženierzinātne, fizika un citos.

Iepriekšējos kursos ir jāapgūst prasme aprēķināt dažādu funkciju atvasinājumus, tostarp trigonometrisko, netiešo, logaritmu u. c. funkcijas.

d2y/dx2 un (dydx)^2 ir divi atvasinātie vienādojumi. Bet, lai tos saprastu, vispirms ir jāsaprot, kas tieši ir otrais atvasinājums.

Aprēķinos funkcijas atvasinājumu sauc par otro atvasinājumu, dažkārt to dēvē par otrās pakāpes atvasinājumu.

Otrais atvasinājums, aptuveni runājot, mēra, kā mainās lieluma izmaiņu ātrums. Piemēram, objekta pozīcijas otrais atvasinājums attiecībā pret laiku ir objekta momentānais paātrinājums jeb ātrums, ar kādu mainās objekta ātrums attiecībā pret laiku.

Šajā rakstā es jums pastāstīšu, kāda ir atšķirība starp d2y/dx2=(dydx)^2 un ko tieši nozīmē atvasinājums.

D2y/dx2 Vs (dydx)^2

Atvasinājums dy/dx (šie 2s var izskatīties kā indeksa apzīmējums, bet tā nav). (dydx)2 savukārt ir pirmās atvasinātās atvasināšanas kvadrāts.

Piemērs:

Ņemiet Y=3 ???? 3+6 ???? 2y=3×3+6×2

Pirmais atvasinājums: dy/dx=9 ???? 2+12 ???? dydx=9×2+12x

Otrais atvasinājums: d2yd????2=18 ???? +12d2ydx2=18x+12

Pirmā atvasinājuma kvadrāts: (dydx)2=(9 ???? 2+12 ???? )2=(81 ???? 4+216 ???? 3+144

Kas ir otrais atvasinājums?

Diferencējot atvasinājumu, tiek iegūts otrais atvasinājums. Atcerieties, ka dy/dx ir y atvasinājums attiecībā pret x. Otrais atvasinājums, ko izrunā kā "dee divi y ar d x kvadrātā", tiek attēlots kā d2y/dx2.

Stacionāro punktu raksturu var vieglāk noteikt, izmantojot otro atvasinājumu (vai tie ir maksimālie punkti, minimālie punkti vai izliekuma punkti).

Kad dy/dx = 0, līkne sasniedz stacionāro punktu. Stacionārā punkta veidu (maksimums, minimums vai infleksijas punkts) var noteikt, izmantojot otro atvasinājumu, kad ir noteikta stacionārā punkta atrašanās vieta.

Kā noteikt maksimuma un minimuma punktus?

d2y/d2x ir otrais atvasinājums.

Kas ir atvasinājums?

Matemātikā reālā mainīgā funkcijas atvasinājums kvantitatīvi nosaka funkcijas vērtības (izejas vērtības) jutīgumu pret tās argumenta (ieejas vērtības) izmaiņām. Kalkulācijas pamatinstruments ir atvasinājums.

Piemēram, priekšmeta ātrums ir tā pozīcijas atvasinājums attiecībā pret laiku. Tas nosaka, cik strauji mainās objekta pozīcija laika gaitā.

Kad tas notiek, funkcijas grafikam pie dotās ievadvērtības pieskāriena līnijas slīpums ir viena mainīgā funkcijas atvasinājums. Funkciju, kas ir vistuvāk šai ievadvērtībai, vislabāk lineāri aproksimē pieskāriena līnija.

Tāpēc atvasinājumu bieži dēvē par "momentāno izmaiņu ātrumu", kas ir atkarīgā mainīgā un neatkarīgā mainīgā momentāno izmaiņu attiecība.

Lai iekļautu vairāku reālo mainīgo funkcijas, atvasinājumus var vispārināt. Šis vispārinājums atvasinājumu interpretē kā lineāru transformāciju, kuras grafiks pēc atbilstošas translācijas ir labākais lineārais tuvinājums sākotnējās funkcijas grafikam.

Attiecībā uz pamatu, ko nodrošina neatkarīgo un atkarīgo mainīgo izvēle, Jakobija matrica ir matrica, kas atspoguļo šo lineāro transformāciju.

To var aprēķināt, izmantojot neatkarīgo mainīgo daļējos atvasinājumus. Gradienta vektors aizstāj Džeikobija matricu reāli novērtētai funkcijai ar vairākiem mainīgajiem.

Diferencēšana ir atvasinājuma atrašanas darbība. Antidiferencēšana ir termins pretējam procesam. Antidiferencēšana un integrēšana ir saistītas ar rēķina fundamentālo teorēmu. Divas viena mainīgā aprēķina pamatdarbības ir diferencēšana un integrēšana.

Noskatieties šo video, lai uzzinātu par atvasinājumiem un reālā mainīgā funkciju

Dažādi pieraksti

Leibnica pieraksts

1675. gadā Gotfrīds Vilhelms Leibnics ieviesa burtus dx, dy un dy/dx. Arī mūsdienās tos bieži lieto, ja atkarīgā un neatkarīgā mainīgā vienādojumā y = f(x) sakarība tiek uzskatīta par funkcionālu.

Diferencēšanas mainīgo (saucējā) var norādīt, izmantojot Leibnica apzīmējumu, kas ir svarīgs daļējai diferenciācijai.

Lagranža pieraksts

Viens no populārākajiem mūsdienu diferenciācijas apzīmējumiem, ko dažkārt dēvē par pirmzīmju apzīmējumu, izmanto pirmzīmju apzīmējumu, un par tā autori ir Žozefs Lūiss Lagranžs. Ar to funkcijas f atvasinājumu apzīmē kā f1.

Pēdējais apzīmējums ir vispārināts, lai iegūtu apzīmējumu f(n) f n-tajam atvasinājumam, kas ir ērtāk, ja apspriež atvasinājumu kā funkciju, nevis kā pašu funkciju, jo Leibnica apzīmējums šādā situācijā var būt sarežģīts.

Ņūtona pieraksts

Virs funkcijas nosaukuma Ņūtona diferencēšanas piezīmē, ko bieži dēvē par "punktiņu piezīmi", tiek likts punkts, lai apzīmētu laika atvasinājumu.

Ar šo notāciju attēlo tikai atvasinājumus attiecībā pret laiku vai loka garumu. Parasti to izmanto diferenciālvienādojumiem diferenciālajā ģeometrijā un fizikā. Tomēr punktveida notācija nav piemērojama vairākiem neatkarīgiem mainīgajiem un augstas kārtas atvasinājumiem (4. un vairāk kārtas).

Eilesera pieraksts

Pirmo atvasinājumu Df iegūst, izmantojot diferenciāloperatoru D Ēlera piezīmē, piemērojot to funkcijai f. Dnd apzīmē n-to atvasinājumu.

Ja y = f(x) ir atkarīgais mainīgais, neatkarīgo mainīgo x bieži precizē, pievienojot burtam D indeksu x.

Lai gan, ja mainīgais x ir saprotams, piemēram, ja tas ir vienīgais vienādojumā iekļautais neatkarīgais mainīgais, šis apakšindekss bieži tiek atstāts.

Lineāro diferenciālvienādojumu izteikšanai un risināšanai noder Eilesera notācija.

Atvasinājumu pielietojums matemātikā

Atvasinājumus bieži izmanto matemātikā. Tos var izmantot, lai noteiktu funkcijas maksimumu vai minimumu, līknes slīpumu vai pat infleksijas punktu.

Turpmāk ir minēti daži gadījumi, kuros mēs izmantosim atvasinājumu. Un turpmākajās sadaļās katrs no tiem ir aplūkots ļoti detalizēti. Atvasinājumu pielietojums visbiežāk ir sastopams:

• Kvantitātes izmaiņu ātruma aprēķināšana
• Laba vērtības novērtējuma iegūšana
• Vienādojuma atrašana līknes tangentes un normāles vienādojumam
• Infleksijas punkta, maksimumu un minimumu noteikšana
• Palielinošās un samazinošās funkcijas novērtēšana

Atvasinājumu izmanto, lai aprēķinātu infleksijas punktu, maksimālo un minimālo punktu.

Atvasināto instrumentu pielietojums reālajā dzīvē

Atvasinājumus var izmantot daudzās reālās dzīves situācijās. Šeit ir uzskaitītas dažas situācijas, kurās var izmantot atvasinājumu:

• Aprēķināt uzņēmuma peļņu un zaudējumus.
• Lai izmērītu temperatūras svārstības.
• Lai aprēķinātu braukšanas ātrumu, piemēram, jūdzes stundā, kilometrus stundā utt.
• Daudzi fizikas vienādojumi ir atvasināti, izmantojot atvasinājumus.
• Zemestrīču lieluma diapazona noteikšana ir iecienīts uzdevums seismoloģijas pētījumos.

Secinājums

• d2y/dx2 ir otrais atvasinājums.
• (dy/dx) ^2 ir pirmais atvasinājums kvadrātā.
• Atvasinājums tiek izmantots dažādās jomās dažādiem mērķiem reālajā dzīvē.
• Atvasinājumu matemātikā izmanto, lai aprēķinātu maksimālos un minimālos punktus.
• To var izmantot uzņēmējdarbībā, lai aprēķinātu uzņēmuma finanses un aprēķinātu peļņu un zaudējumus.