Производные имеют множество применений за пределами только математики и повседневной жизни, в том числе в таких предметах, как наука, инженерия, физика и другие.

Вы должны были освоить умение вычислять производную различных функций в предыдущих курсах, включая тригонометрические, неявные, логарифмы и т.д.

d2y/dx2 и (dydx)^2 - это два производных уравнения. Но чтобы понять их, сначала нужно понять, что именно является второй производной.

Производная функции в исчислении известна как вторая производная, иногда называемая производной второго порядка.

Вторая производная, грубо говоря, измеряет, как изменяется скорость изменения величины. Например, вторая производная положения объекта относительно времени - это мгновенное ускорение объекта или скорость, с которой изменяется скорость объекта относительно времени.

В этой статье я расскажу вам, в чем разница между d2y/dx2=(dydx)^2 и что именно означает производная.

D2y/dx2 Vs (dydx)^2

Производная от dy/dx (эти 2 могут выглядеть как индексные обозначения, но это не так). (dydx)2, с другой стороны, является квадратом первой производной.

Пример:

Возьмите Y=3 ???? 3+6 ???? 2y=3×3+6×2

Первая производная: dy/dx=9 ???? 2+12 ???? dydx=9×2+12x

Вторая производная: d2yd????2=18 ???? +12d2ydx2=18x+12

Квадрат первой производной: (dydx)2=(9 ???? 2+12 ???? )2=(81 ???? 4+216 ???? 3+144

Что такое вторая производная?

Когда вы дифференцируете производную, вы получаете вторую производную. Помните, что dy/dx - это производная y по отношению к x. Вторая производная, произносимая как "ди два y по d x в квадрате", представлена как d2y/dx2.

Природу стационарных точек легче выяснить с помощью второй производной (являются ли они точками максимума, минимума или точками перегиба).

Когда dy/dx = 0, кривая достигает стационарной точки. Тип стационарной точки (максимум, минимум или точка перегиба) может быть определен с помощью второй производной, как только будет установлено местоположение стационарной точки.

Как определить точки максимума и минимума?

d2y/d2x - вторая производная.

Что такое дериватив?

Производная функции вещественной переменной в математике определяет чувствительность значения функции (выходного значения) к изменениям ее аргумента (входного значения). Основным инструментом исчисления является производная.

Скорость предмета, например, является производной его положения по времени. Она определяет, насколько быстро изменяется положение предмета с течением времени.

Когда это происходит, наклон касательной к графику функции при заданном входном значении является производной функции одной переменной. Функция, ближайшая к этому входному значению, лучше всего линейно аппроксимируется касательной линией.

Из-за этого производную часто называют "мгновенной скоростью изменения", которая представляет собой отношение мгновенного изменения зависимой переменной к изменению независимой переменной.

Для включения функций нескольких действительных переменных производные могут быть обобщены. Это обобщение переосмысливает производную как линейное преобразование, график которого после соответствующего перевода является наилучшим линейным приближением к графику исходной функции.

Что касается основы, обеспечиваемой выбором независимых и зависимых переменных, то матрица Якобиана - это матрица, которая представляет это линейное преобразование.

Он может быть вычислен с помощью частных производных независимых переменных. Вектор градиента заменяет матрицу Якобиана для вещественной функции с несколькими переменными.

Дифференцирование - это действие по нахождению производной. Антидифференцирование - это термин, обозначающий противоположный процесс. Антидифференцирование и интегрирование связаны в фундаментальной теореме исчисления. Две фундаментальные операции исчисления с одной переменной - это дифференцирование и интегрирование.

Посмотрите это видео, чтобы узнать о производных и функции действительной переменной

Различные обозначения

Нотация Лейбница

В 1675 году Готфрид Вильгельм Лейбниц ввел буквы dx, dy и dy/dx. Даже сегодня они часто используются, когда связь между зависимой и независимой переменными в уравнении y = f(x) считается функциональной.

Переменная для дифференцирования (в знаменателе) может быть задана с помощью нотации Лейбница, что важно для частичного дифференцирования.

обозначения Лагранжа

Одна из самых популярных современных нотаций дифференцирования, иногда известная как нотация прайма, использует знак прайма и приписывается Жозефу-Луи Лагранжу. Она обозначает производную функции f как f1.

Последнее обозначение обобщается и дает обозначение f(n) для n-й производной от f, что более удобно при обсуждении производной как функции, а не как функции самой себя, поскольку обозначение Лейбница может быть сложным в этой ситуации.

Условные обозначения Ньютона

В нотации дифференцирования Ньютона, часто известной как "точечная нотация", над именем функции ставится точка, чтобы обозначить производную по времени.

С помощью этой нотации представляются только производные по времени или длине дуги. Обычно она применяется для дифференциальных уравнений в дифференциальной геометрии и физике. Однако точечная нотация неприменима для нескольких независимых переменных и производных высокого порядка (порядка 4 и более).

Нотация Эйлера

Первая производная Df получается с помощью дифференциального оператора D в нотации Эйлера путем применения его к функции f. Dnd означает n-ую производную.

Если y = f(x) является зависимой переменной, то независимая переменная x часто уточняется добавлением подстрочного индекса x к D.

Хотя когда переменная x понятна, например, когда это единственная независимая переменная, содержащаяся в уравнении, этот подстрочный индекс часто опускают.

Для выражения и решения линейных дифференциальных уравнений удобно использовать нотацию Эйлера.

Применение производных в математике

Производные часто используются в математике. С их помощью можно определить максимум или минимум функции, наклон кривой или даже точку перегиба.

Ниже приведены несколько случаев, в которых мы будем использовать производную. И в следующих разделах мы подробно рассмотрим каждый из них. Применение производных чаще всего встречается в:

• Расчет скорости изменения величины
• Получение хорошей оценки стоимости
• Нахождение уравнения касательной и нормали кривой
• Определение точки перегиба, максимумов и минимумов
• Оценка возрастающей и убывающей функций

Производная используется для расчета точки перегиба, точки максимума и минимума

Применение деривативов в реальной жизни

Производные могут использоваться во многих ситуациях в реальной жизни. Вот список нескольких ситуаций, в которых вы можете использовать производные:

• Рассчитывать прибыль и убытки в бизнесе.
• Для измерения изменения температуры.
• Для расчета скорости движения, например, миль в час, километров в час и т.д.
• Многие уравнения физики выводятся с помощью производных.
• Нахождение диапазона магнитуд землетрясений - излюбленная задача в сейсмологических исследованиях.

Заключение

• d2y/dx2 - вторая производная.
• (dy/dx) ^2 - первая производная в квадрате.
• Производная используется в различных областях для различных целей в реальной жизни.
• Производная используется в математике для вычисления точек максимума и минимума.
• Его можно использовать в бизнесе для расчета финансов предприятия и подсчета прибыли и убытков.