Les derivades tenen molts usos fora només de les matemàtiques i la vida quotidiana, fins i tot en matèries com la ciència, l'enginyeria, la física i altres.

Has d'haver dominat la capacitat de calcular la derivada de diverses funcions en cursos anteriors, com ara la trigonomètrica, implícita, logaritme, etc.

d2y/dx2 i (dydx)^2 són dues derivades equacions. Però per entendre'ls, primer, cal entendre què és exactament la segona derivada.

La derivada d'una funció en càlcul es coneix com a segona derivada, de vegades coneguda com a derivada de segon ordre.

La segona derivada, a grans trets, mesura com està canviant la taxa de canvi d'una quantitat. Per exemple, la segona derivada de la posició d'un objecte respecte al temps és l'acceleració instantània de l'objecte o la velocitat a la qual canvia la velocitat de l'objecte respecte al temps.

En aquest article, us explicaré què és. és la diferència entre d2y/dx2=(dydx)^2 i el que significa exactament la derivada.

D2y/dx2 Vs (dydx)^2

Derivada de dy/dx (Aquests Els 2 poden semblar una notació d'índex, però no ho són). (dydx)2, en canvi, és el quadrat de la primera derivada.

Exemple:

Preneu Y=3 ???? 3 +6 ???? 2y=3×3+6×2

La primera derivada: dy/dx=9 ???? 2+12 ???? dydx=9×2+12x

La segona derivada:d2yd????2=18 ???? +12d2ydx2=18x+12

El quadrat de la primera derivada: (dydx)2=(9 ??? ? 2+12 ???? )2=(81 ???? 4+216 ???? 3+144

Què és la segona derivada?

Quan diferencies la derivada, s'obté la segona derivada. Recorda que dy/dx és la derivada de y respecte a x. La segona derivada, pronunciada "dee two y by d x square", es representa com d2y/dx2.

La naturalesa dels punts estacionaris es pot determinar més fàcilment mitjançant la segona derivada (si són punts màxims, punts mínims, o punts d'inflexió).

Quan dy/dx = 0, una corba arriba a un punt estacionari. El tipus de punt estacionari (màxim, mínim o punt d'inflexió) es pot determinar mitjançant la segona derivada un cop s'ha establert la ubicació del punt estacionari.

Com s'identifiquen els punts màxims i mínims?

d2y/d2x és la segona derivada.

Què és la derivada?

La derivada d'una funció d'una variable real en matemàtiques quantifica lasensibilitat del valor de la funció (valor de sortida) als canvis en el seu argument (valor d'entrada). L'eina bàsica del càlcul és la derivada.

La velocitat d'un element, per exemple, és la derivada de la seva posició respecte al temps. Quantifica la rapidesa amb què varia la posició de l'objecte a mesura que passa el temps.

Quan es produeix, el pendent de la recta tangent a la gràfica de la funció a un valor d'entrada donat és la derivada d'una funció d'una sola variable. La funció més propera a aquest valor d'entrada s'aproxima millor linealment per la línia tangent.

Per això, la derivada s'anomena sovint "taxa de canvi instantània", que és la relació entre el canvi instantani de la variable dependent i el de la variable independent.

Per incloure funcions de diverses variables reals, les derivades es poden generalitzar. Aquesta generalització reinterpreta la derivada com una transformació lineal la gràfica de la qual, després d'una traducció adequada, és la millor aproximació lineal a la gràfica de la funció original.

En relació al fonament que proporciona la selecció de variables independents i dependents, la matriu jacobiana és la matriu que representa aquesta transformació lineal.

Es pot calcular utilitzant les derivades parcials de les variables independents. El vector de gradient substitueix la matriu jacobiana per a una funció de valor real per diversesvariables.

La diferenciació és l'acció de localitzar una derivada. Antidiferenciació és el terme per al procés contrari. L'antidiferenciació i la integració estan relacionades en el teorema fonamental del càlcul. Les dues operacions fonamentals del càlcul d'una sola variable són la diferenciació i la integració.

Mireu aquest vídeo per conèixer les derivades i la funció d'una variable real

Diferents notacions

La notació de Leibniz

El 1675, Gottfried Wilhelm Leibniz va introduir les lletres dx, dy i dy/dx. Encara avui, s'utilitza amb freqüència quan la relació entre les variables dependents i independents de l'equació y = f(x) es considera funcional.

La variable per a la diferenciació (en el denominador) pot s'especifiqui utilitzant la notació de Leibniz, que és important per a la diferenciació parcial.

Notació de Lagrange

Una de les notacions de diferenciació modernes més populars, de vegades coneguda com a notació primera, utilitza la marca prima i s'atribueix a Joseph-Louis Lagrange. Denota la derivada d'una funció f com a f1.

Aquesta darrera notació es generalitza per proporcionar la notació f(n) per a la derivada enèsima de f, que és més convenient quan es parla de la derivada com a funció més que una funció per si mateixa perquè la notació de Leibniz pot ser complicada en aquesta situació.

La notació de Newton

Un punt éscol·locat sobre el nom de la funció en la notació de diferenciació de Newton, sovint coneguda com la "notación de punts", per significar una derivada del temps.

Només les derivades pel que fa al temps o la longitud de l'arc es representen amb aquesta notació. Normalment, s'aplica a equacions diferencials en geometria diferencial i física. Tanmateix, la notació de punts és inaplicable a diverses variables independents i derivades d'ordre superior (ordre 4 o més).

Notació d'Euler

La primera derivada Df s'obté mitjançant l'operador diferencial D en la notació d'Euler aplicant-la a una funció f. Dnd significa la derivada enèsima.

Si y = f(x) és una variable dependent, la variable independent x s'aclareix amb freqüència afegint el subíndex x a la D.

Tot i que quan s'entén la variable x , com quan aquesta és l'única variable independent continguda a l'equació, aquest subíndex sovint es deixa fora.

Per expressar i resoldre equacions diferencials lineals, la notació d'Euler és útil.

Aplicació de les derivades a les matemàtiques

Les derivades s'utilitzen freqüentment en matemàtiques. Es poden utilitzar per determinar el màxim o el mínim d'una funció, el pendent d'una corba o fins i tot el punt d'inflexió.

A continuació es mostren alguns casos en què utilitzarem la derivada. I les seccions següents aprofundeixen en detall sobre cadascun d'ells. L'aplicació de derivatses troba més freqüentment a:

• Calcul de la taxa de canvi d'una quantitat
• Obtenir una bona estimació del valor
• Trobar l'equació per a la tangent i la normal d'una corba
• Identificació del punt d'inflexió, màxims i mínims
• Fer una valoració de les funcions creixents i decreixents

Per calcular el punt s'utilitza una derivada d'inflexió, punt màxim i mínim

Aplicació de derivades a la vida real

Les derivades es poden utilitzar en moltes situacions de la vida real. Aquí teniu una llista d'algunes situacions en què podeu utilitzar la derivació:

• Per calcular els guanys i pèrdues de l'empresa.
• Per mesurar la variació de la temperatura.
• Per calcular la velocitat de desplaçament, com ara milles per hora, quilòmetres per hora, etc.
• Es deriven nombroses equacions de la física mitjançant derivades.
• Trobar el rang de magnituds del terratrèmol és una tasca preferida en la investigació sismològica.

Conclusió

• d2y/dx2 és la segona derivació.
• (dy/dx) ^2 és la primera derivada al quadrat.
• Una derivada s'utilitza en diversos camps per a diversos propòsits a la vida real.
• Una derivada s'utilitza en matemàtiques per calcular punts màxims i mínims.
• Es pot utilitzar en els negocis per calcular les finances de l'empresa i per calcular pèrdues i guanys.