A származtatott tételeket a matematikán és a mindennapi életen kívül is sokféleképpen használják, többek között a természettudományokban, a mérnöki tudományokban és a fizikában.

A korábbi kurzusok során el kellett sajátítania a különböző függvények deriváltjának kiszámítását, beleértve a trigonometrikus, implicit, logaritmus stb. függvényeket.

A d2y/dx2 és a (dydx)^2 két derivált egyenlet. De hogy megértsük őket, először is meg kell értenünk, hogy pontosan mi is a második derivált.

Egy függvény deriváltját a számtanban második deriváltnak, más néven másodrendű deriváltnak nevezik.

A második derivált nagyjából azt méri, hogyan változik egy mennyiség változási sebessége. Például egy tárgy helyzetének második deriváltja az idő függvényében a tárgy pillanatnyi gyorsulása, vagy a tárgy sebességének változási sebessége az idő függvényében.

Ebben a cikkben elmondom, mi a különbség a d2y/dx2=(dydx)^2 között, és mit jelent pontosan a derivált.

D2y/dx2 Vs (dydx)^2

A dy/dx deriváltja (Ezek a 2-ek indexjelölésnek tűnhetnek, de nem azok). (dydx)2 viszont az első derivált négyzete.

Példa:

Vegyük Y=3 ???? 3+6 ???? 2y=3×3+6×2

Az első derivált: dy/dx=9 ???? 2+12 ???? dydx=9×2+12x

A második derivált: d2yd????2=18 ???? +12d2ydx2=18x+12

Az első derivált négyzete: (dydx)2=(9 ???? 2+12 ???? )2=(81 ???? 4+216 ???? 3+144

Mi a második származék?

Ha a deriváltat differenciáljuk, megkapjuk a második deriváltat. Ne feledjük, hogy dy/dx az y deriváltja x függvényében. A második deriváltat, amelyet úgy ejtünk ki, hogy "dee két y a d x négyzetével", d2y/dx2 formában ábrázoljuk.

A második derivált segítségével könnyebben megállapítható az álló pontok jellege (hogy azok maximum-, minimum- vagy inflexiós pontok).

Ha dy/dx = 0, a görbe elér egy stacionárius pontot. A stacionárius pont típusát (maximum, minimum vagy inflexiós pont) a második derivált segítségével lehet meghatározni, miután az stacionárius pont helyét megállapítottuk.

Hogyan lehet azonosítani a maximum és a minimum pontokat?

d2y/d2x a második derivált.

Mi a származékos termék?

A matematikában egy valós változó függvényének deriváltja számszerűsíti a függvény értékének (kimeneti értékének) érzékenységét az argumentum (bemeneti érték) változásaira. A számtan alapvető eszköze a derivált.

Egy tárgy sebessége például a pozíciójának az idő függvénye, ami azt mutatja meg, hogy a tárgy pozíciója milyen gyorsan változik az idő múlásával.

Ha ez bekövetkezik, akkor a függvény grafikonjához adott bemeneti értéknél tartozó érintővonal meredeksége az egyváltozós függvény deriváltja. Az adott bemeneti értékhez legközelebbi függvényt az érintővonal közelíti legjobban lineárisan.

Emiatt a deriváltat gyakran nevezik "pillanatnyi változás mértékének", amely a függő változó pillanatnyi változásának és a független változó pillanatnyi változásának aránya.

A több valós változó függvényeinek bevonása érdekében a deriváltak általánosíthatók. Ez az általánosítás a deriváltat olyan lineáris transzformációként értelmezi újra, amelynek grafikonja egy megfelelő transzláció után a legjobb lineáris közelítés az eredeti függvény grafikonjához.

Ami a független és függő változók kiválasztása által biztosított alapot illeti, a jakobi mátrix az a mátrix, amely ezt a lineáris transzformációt reprezentálja.

A független változók parciális deriváltjainak felhasználásával számítható. A gradiens vektor helyettesíti a Jacobi-mátrixot egy több változóval rendelkező valós értékű függvény esetében.

A differenciálás a derivált helyének meghatározására irányuló művelet. Az antidifferenciálás az ezzel ellentétes folyamat megnevezése. Az antidifferenciálás és az integrálás a számtan alaptételében kapcsolódik egymáshoz. Az egyváltozós számtan két alapvető művelete a differenciálás és az integrálás.

Nézze meg ezt a videót, hogy megismerje a valós változó származtatottjait és funkcióját

Különböző jelölések

Leibniz jelölése

1675-ben Gottfried Wilhelm Leibniz vezette be a dx, dy és dy/dx betűket. Ma is gyakran használják, amikor az y = f(x) egyenletben a függő és független változók közötti kapcsolatot funkcionálisnak tekintik.

A differenciálandó változó (a nevezőben) Leibniz jelölésével adható meg, ami a parciális differenciálásnál fontos.

Lagrange jelölése

Az egyik legnépszerűbb modern differenciálási jelölés, amelyet néha prímjelölésnek is neveznek, a prímjelet használja, és Joseph-Louis Lagrange nevéhez fűződik. Az f függvény deriváltját f1-nek jelöli.

Ez utóbbi jelölés általánosítva f(n) jelölést ad az f n-edik deriváltjára, ami kényelmesebb, ha a deriváltat függvényként, nem pedig önmagának függvényeként tárgyaljuk, mivel a Leibniz-jelölés ebben a helyzetben bonyolult lehet.

Newton jelölése

A Newton-féle differenciálási jelölésben, amelyet gyakran "pontjelölésnek" is neveznek, a függvénynév fölé egy pontot tesznek, hogy jelezzék az időbeli deriváltat.

Ezzel a jelöléssel csak az időre vagy az ívhosszra vonatkozó deriváltakat ábrázoljuk. Általában a differenciálgeometria és a fizika differenciálegyenleteinél alkalmazzák. A pontjelölés azonban több független változó és magas rendű deriváltak (4. vagy magasabb rendű) esetén nem alkalmazható.

Euler jelölése

A Df első deriváltat az Euler-féle D differenciáloperátorral kapjuk, ha azt f függvényre alkalmazzuk. Dnd az n-edik deriváltat jelöli.

Ha az y = f(x) függő változó, az x független változót gyakran úgy tisztázzuk, hogy a D-hez hozzáadjuk az x indexet.

Bár amikor az x változót értjük, például amikor ez az egyetlen független változó az egyenletben, ezt az indexet gyakran elhagyjuk.

A lineáris differenciálegyenletek kifejezésére és megoldására az Euler-féle jelölés hasznos.

A származékosok alkalmazása a matematikában

A deriváltakat gyakran használják a matematikában. Használhatók egy függvény maximumának vagy minimumának, egy görbe meredekségének vagy akár az inflexiós pontnak a meghatározására.

Az alábbiakban néhány olyan esetet mutatunk be, amikor a deriváltat fogjuk használni. A következő fejezetekben pedig mindegyikről részletesen szólunk. A deriváltak alkalmazása leggyakrabban a következőkben fordul elő:

• Egy mennyiség változásának kiszámítása
• Az érték jó becslése
• Egy görbe érintőjének és normálisának egyenletének megtalálása
• Az inflexiós pont, a maximumok és a minimumok azonosítása
• A növekvő és csökkenő funkciók értékelése

A deriváltat az inflexiós pont, a maximális és a minimális pont kiszámítására használják.

A származtatott ügyletek alkalmazása a való életben

A deriválás a való életben számos helyzetben használható. Az alábbiakban felsorolunk néhány olyan helyzetet, amelyben használhatod a deriválást:

• A vállalkozás nyereségének és veszteségének kiszámítása.
• A hőmérséklet-változás mérése érdekében.
• A haladási sebesség kiszámítása, például mérföld/óra, kilométer/óra stb.
• Számos fizikai egyenletet deriváltak segítségével származtatnak.
• A földrengések nagyságrendjének meghatározása a szeizmológiai kutatások kedvelt feladata.

Következtetés

• d2y/dx2 a második levezetés.
• (dy/dx) ^2 az első derivált négyzete.
• A származtatást különböző területeken számos célra használják a való életben.
• A deriváltat a matematikában a maximális és minimális pontok kiszámítására használják.
• Az üzleti életben a vállalkozás pénzügyeinek kiszámítására, valamint a nyereség és veszteség kiszámítására használható.