Дериватите имат много приложения извън математиката и ежедневието, включително в области като наука, инженерство, физика и други.

В предишни курсове трябва да сте усвоили способността да изчислявате производни на различни функции, включително тригонометрични, имплицитни, логаритмични и др.

d2y/dx2 и (dydx)^2 са две производни уравнения. Но за да ги разберете, първо трябва да разберете какво точно представлява втората производна.

Производната на дадена функция в математиката е известна като втора производна, понякога наричана производна от втори ред.

Втората производна, грубо казано, измерва как се променя скоростта на изменение на самата величина. Например втората производна на положението на даден обект по отношение на времето е моментното ускорение на обекта или скоростта, с която се променя скоростта на обекта по отношение на времето.

В тази статия ще ви разкажа каква е разликата между d2y/dx2=(dydx)^2 и какво точно означава производна.

D2y/dx2 Vs (dydx)^2

Производна на dy/dx (Тези 2 могат да изглеждат като индексни означения, но не са). (dydx)2, от друга страна, е квадратът на първата производна.

Пример:

Вземете Y=3 ???? 3+6 ???? 2y=3×3+6×2

Първа производна: dy/dx=9 ???? 2+12 ???? dydx=9×2+12x

Втора производна: d2yd????2=18 ???? +12d2ydx2=18x+12

Квадратът на първата производна: (dydx)2=(9 ???? 2+12 ???? )2=(81 ???? 4+216 ???? 3+144

Какво е втора деривация?

Когато диференцирате производната, получавате втората производна. Не забравяйте, че dy/dx е производната на y по отношение на x. Втората производна, която се произнася "dee две y по d x на квадрат", се представя като d2y/dx2.

Характерът на стационарните точки може да се определи по-лесно с помощта на втората производна (дали те са максимални, минимални или точки на пречупване).

Когато dy/dx = 0, кривата достига стационарна точка. Видът на стационарната точка (максимум, минимум или точка на пречупване) може да се определи с помощта на втората производна, след като се установи местоположението на стационарната точка.

Как се определят точките на максимума и минимума?

d2y/d2x е втората производна.

Какво представлява деривативът?

Производната на функция на реална променлива в математиката определя количествено чувствителността на стойността на функцията (изходната стойност) към промените в аргумента ѝ (входната стойност). Основният инструмент на изчисленията е производната.

Скоростта на даден обект например е производната на неговото положение спрямо времето. Тя определя колко бързо се променя положението на обекта с течение на времето.

Когато това се случи, наклонът на допирателната към графиката на функцията при дадена входна стойност е производна на функция на една променлива. Функцията, която е най-близо до тази входна стойност, се апроксимира най-добре линейно чрез допирателната.

Поради това производната често се нарича "моментна скорост на изменение", която е съотношението между моментното изменение на зависимата променлива и изменението на независимата променлива.

За да се включат функциите на няколко реални променливи, производните могат да се обобщят. Това обобщение интерпретира производната като линейна трансформация, чиято графика, след подходяща транслация, е най-доброто линейно приближение до графиката на оригиналната функция.

Що се отнася до основата, осигурена от избора на независими и зависими променливи, матрицата на Якобиан е матрицата, която представя тази линейна трансформация.

Той може да бъде изчислен, като се използват частичните производни на независимите променливи. Градиентният вектор замества матрицата на Якобиан за реално оценявана функция с няколко променливи.

Диференцирането е действието за намиране на производна. Антидиференцирането е терминът за обратния процес. Антидиференцирането и интегрирането са свързани във фундаменталната теорема на смятането. Двете основни операции на смятането с една променлива са диференциране и интегриране.

Гледайте това видео, за да научите повече за производните и функцията на реална променлива

Различни обозначения

Записът на Лайбниц

През 1675 г. Готфрид Вилхелм Лайбниц въвежда буквите dx, dy и dy/dx. И до днес тя често се използва, когато връзката между зависимата и независимата променлива в уравнението y = f(x) се разглежда като функционална.

Променливата за диференциране (в знаменателя) може да се посочи, като се използва записът на Лайбниц, което е важно за частичното диференциране.

Запис на Лагранж

Едно от най-популярните съвременни обозначения за диференциране, понякога известно като обозначение на простите, използва знака за простите и е заслуга на Жозеф-Луи Лагранж. То обозначава производната на функция f като f1.

Последното означение се обобщава, за да се получи означението f(n) за n-тата производна на f, което е по-удобно, когато се обсъжда производната като функция, а не като функция на самата себе си, тъй като означението на Лайбниц може да се усложни в тази ситуация.

Запис на Нютон

В диференциалната нотация на Нютон, често наричана "точкова нотация", над името на функцията се поставя точка, за да се означи производна по време.

С тази нотация се представят само производни по отношение на времето или дължината на дъгата. Обикновено тя се прилага за диференциални уравнения в диференциалната геометрия и физиката. Точковата нотация обаче е неприложима за няколко независими променливи и производни от висок ред (от ред 4 или повече).

Запис на Ойлер

Първата производна Df се получава с помощта на диференциалния оператор D в записа на Ойлер, като се прилага към функция f. Dnd означава n-тата производна.

Ако y = f(x) е зависима променлива, независимата променлива x често се пояснява чрез добавяне на индекс x към D.

Въпреки че когато променливата x е разбираема, например когато е единствената независима променлива, съдържаща се в уравнението, този индекс често се изпуска.

За изразяване и решаване на линейни диференциални уравнения е полезен записът на Ойлер.

Прилагане на деривативи в математиката

Те могат да се използват за определяне на максимума или минимума на дадена функция, на наклона на крива или дори на точката на пречупване.

По-долу са изброени няколко случая, в които ще използваме производните. А в следващите раздели ще се спрем подробно на всеки от тях. Приложението на производните се среща най-често в:

• Изчисляване на скоростта на изменение на дадена величина
• Получаване на добра оценка на стойността
• Намиране на уравнението за допирателната и нормалата на крива
• Определяне на точката на пречупване, максимумите и минимумите
• Оценка на нарастващата и намаляващата функция

Производната се използва за изчисляване на точката на пречупване, максималната и минималната точка

Прилагане на деривати в реалния живот

Производните могат да се използват в много ситуации в реалния живот. Ето списък с няколко ситуации, в които можете да използвате производни:

• Изчисляване на печалбата и загубата в бизнеса.
• За измерване на температурните колебания.
• Изчисляване на скоростта на движение, например мили в час, километри в час и т.н.
• Множество физични уравнения се получават с помощта на производни.
• Намирането на диапазона на магнитудите на земетресенията е любима задача в сеизмологичните изследвания.

Заключение

• d2y/dx2 е втората деривация.
• (dy/dx) ^2 е първата производна в квадрат.
• Дериватът се използва в различни области за различни цели в реалния живот.
• Производната се използва в математиката за изчисляване на максимални и минимални точки.
• Той може да се използва в бизнеса за изчисляване на финансите на предприятието и за изчисляване на печалбата и загубата.