d2y/dx2=(dydx)^2 మధ్య తేడా ఏమిటి? (వివరించారు) - అన్ని తేడాలు
విషయ సూచిక
విజ్ఞానశాస్త్రం, ఇంజనీరింగ్, భౌతికశాస్త్రం మరియు ఇతర విషయాలతో సహా కేవలం గణితం మరియు దైనందిన జీవితంలో మాత్రమే ఉత్పన్నాలు అనేక ఉపయోగాలను కలిగి ఉన్నాయి.
త్రికోణమితి, అవ్యక్త, సంవర్గమానం మొదలైనవాటితో సహా మునుపటి కోర్సులలోని వివిధ ఫంక్షన్‌ల ఉత్పన్నాన్ని లెక్కించే సామర్థ్యాన్ని మీరు తప్పనిసరిగా కలిగి ఉండాలి.
ఇది కూడ చూడు: Nctzen మరియు Czennie ఎలా సంబంధం కలిగి ఉన్నాయి? (వివరించారు) - అన్ని తేడాలుd2y/dx2 మరియు (dydx)^2 అనేవి రెండు ఉత్పన్నాలు సమీకరణాలు. కానీ వాటిని అర్థం చేసుకోవడానికి, మొదట, మీరు సరిగ్గా రెండవ ఉత్పన్నం ఏమిటో అర్థం చేసుకోవాలి.
కాలిక్యులస్‌లోని ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నం రెండవ ఉత్పన్నం అని పిలువబడుతుంది, కొన్నిసార్లు రెండవ-ఆర్డర్ ఉత్పన్నం అని పిలుస్తారు.
రెండవ ఉత్పన్నం, స్థూలంగా చెప్పాలంటే, పరిమాణం యొక్క మార్పు రేటు ఎలా మారుతుందో కొలుస్తుంది. ఉదాహరణకు, సమయానికి సంబంధించి వస్తువు యొక్క స్థానం యొక్క రెండవ ఉత్పన్నం వస్తువు యొక్క తక్షణ త్వరణం లేదా సమయానికి సంబంధించి వస్తువు యొక్క వేగం మారుతున్న రేటు.
ఈ కథనంలో, నేను మీకు ఏమి చెబుతాను d2y/dx2=(dydx)^2 మధ్య వ్యత్యాసం మరియు ఖచ్చితమైన డెరివేటివ్ అంటే ఏమిటి.
D2y/dx2 Vs (dydx)^2
dy/dx యొక్క ఉత్పన్నం (ఇవి 2లు ఇండెక్స్ సంజ్ఞామానం వలె కనిపించవచ్చు, కానీ అవి కాదు). (dydx)2, మరోవైపు, మొదటి ఉత్పన్నం యొక్క వర్గము.
ఉదాహరణ:
Y=3 ని తీసుకోండి???? 3 +6 ???? 2y=3×3+6×2
మొదటి ఉత్పన్నం: dy/dx=9 ???? 2+12 ???? dydx=9×2+12x
రెండవ ఉత్పన్నం:d2yd????2=18 ???? +12d2ydx2=18x+12
మొదటి ఉత్పన్నం యొక్క వర్గము: (dydx)2=(9 ??? ? 2+12 ???? )2=(81 ???? 4+216 ???? 3+144
సెకండ్ డెరివేటివ్ అంటే ఏమిటి?
మీరు డెరివేటివ్‌ని వేరు చేసినప్పుడు, మీకు రెండవ డెరివేటివ్ వస్తుంది. dy/dx అనేది xకి సంబంధించి y యొక్క డెరివేటివ్ అని గుర్తుంచుకోండి. రెండవ డెరివేటివ్, ఉచ్ఛరిస్తారు “dee two y by d x స్క్వేర్డ్,” d2y/dx2గా సూచించబడుతుంది.
నిశ్చల బిందువుల స్వభావాన్ని రెండవ ఉత్పన్నం (అవి గరిష్ట పాయింట్లు అయినా, కనిష్ట పాయింట్లు అయినా) ఉపయోగించి మరింత సులభంగా నిర్ధారించవచ్చు. లేదా ఇన్‌ఫ్లెక్షన్ పాయింట్లు).
dy/dx = 0, ఒక వక్రరేఖ స్థిర బిందువును చేరుకున్నప్పుడు. స్థిర బిందువు రకాన్ని (గరిష్ట, కనిష్ట లేదా ఇన్‌ఫ్లెక్షన్ పాయింట్) ఒకసారి రెండవ ఉత్పన్నాన్ని ఉపయోగించి నిర్ణయించవచ్చు స్థిర బిందువు యొక్క స్థానం స్థాపించబడింది.
| d2y/d2x=Positive | ఇది కనిష్ట స్థానం |
| d2y/d2x=నెగటివ్ | ఇది గరిష్ట పాయింట్ |
| d2y/d2x సున్నాకి సమానం | ఇది కనిష్ట మరియు గరిష్ట పాయింట్ |
| d2y/d2x=0 | నిశ్చల పాయింట్ల విభాగంలో మునుపటిలాగా, స్థిర బిందువుకు ఇరువైపులా dy/dx విలువలను పరీక్షించండి |
గరిష్ట మరియు కనిష్ట పాయింట్లను ఎలా గుర్తించాలి?
d2y/d2x అనేది రెండవ ఉత్పన్నం.
ఇది కూడ చూడు: Dupont Corian Vs LG హై-మాక్స్: తేడాలు ఏమిటి?-(వాస్తవాలు & amp; వ్యత్యాసాలు) - అన్ని తేడాలుడెరివేటివ్ అంటే ఏమిటి?
గణితంలో నిజమైన వేరియబుల్ యొక్క ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నం గణిస్తుందిఫంక్షన్ యొక్క విలువ (అవుట్‌పుట్ విలువ) దాని ఆర్గ్యుమెంట్ (ఇన్‌పుట్ విలువ)లో మార్పులకు సున్నితత్వం. కాలిక్యులస్ యొక్క ప్రధాన సాధనం ఉత్పన్నం.
ఉదాహరణకు, వస్తువు యొక్క వేగం అనేది సమయానికి సంబంధించి దాని స్థానం యొక్క ఉత్పన్నం. సమయం గడిచేకొద్దీ వస్తువు యొక్క స్థానం ఎంత త్వరగా మారుతుందో ఇది గణిస్తుంది.
ఇది సంభవించినప్పుడు, ఇచ్చిన ఇన్‌పుట్ విలువ వద్ద ఫంక్షన్ గ్రాఫ్‌కు టాంజెంట్ లైన్ యొక్క వాలు ఒకే వేరియబుల్ యొక్క ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నం. ఆ ఇన్‌పుట్ విలువకు దగ్గరగా ఉండే ఫంక్షన్ టాంజెంట్ లైన్ ద్వారా లీనియర్‌గా ఉత్తమంగా అంచనా వేయబడుతుంది.
దీని కారణంగా, ఉత్పన్నం తరచుగా "తక్షణ మార్పు రేటు"గా సూచించబడుతుంది, ఇది ఆధారిత వేరియబుల్‌లో తక్షణ మార్పు మరియు స్వతంత్ర వేరియబుల్‌లోని దానికి సంబంధించిన నిష్పత్తి.
అనేక నిజమైన వేరియబుల్స్ యొక్క ఫంక్షన్లను చేర్చడానికి, ఉత్పన్నాలను సాధారణీకరించవచ్చు. ఈ సాధారణీకరణ ఉత్పన్నాన్ని ఒక లీనియర్ ట్రాన్స్‌ఫర్మేషన్‌గా తిరిగి అర్థం చేసుకుంటుంది, దీని గ్రాఫ్, తగిన అనువాదం తర్వాత, అసలైన ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్‌కు ఉత్తమ సరళ ఉజ్జాయింపుగా ఉంటుంది.
ఇండిపెండెంట్ మరియు డిపెండెంట్ వేరియబుల్స్ ఎంపిక ద్వారా అందించబడిన పునాదికి సంబంధించి, జాకోబియన్ మ్యాట్రిక్స్ అనేది ఈ లీనియర్ ట్రాన్స్‌ఫర్మేషన్‌ను సూచించే మాతృక.
దీనిని స్వతంత్ర వేరియబుల్స్ యొక్క పాక్షిక ఉత్పన్నాలను ఉపయోగించి గణించవచ్చు. గ్రేడియంట్ వెక్టర్ అనేక వాటితో నిజమైన-విలువైన ఫంక్షన్ కోసం జాకోబియన్ మాతృకను భర్తీ చేస్తుందివేరియబుల్స్.
భేదం అనేది ఒక ఉత్పన్నాన్ని గుర్తించే చర్య. వ్యతిరేక విభేదం అనేది వ్యతిరేక ప్రక్రియకు సంబంధించిన పదం. కాలిక్యులస్ ఫండమెంటల్ థియరమ్‌లో యాంటీడిఫరెన్షియేషన్ మరియు ఇంటిగ్రేషన్ సంబంధం కలిగి ఉంటాయి. సింగిల్-వేరియబుల్ కాలిక్యులస్ యొక్క రెండు ప్రాథమిక కార్యకలాపాలు భేదం మరియు ఏకీకరణ.
రియల్ ఎ వేరియబుల్ యొక్క డెరివేటివ్‌లు మరియు ఫంక్షన్ గురించి తెలుసుకోవడానికి ఈ వీడియోను చూడండి
విభిన్న సంకేతాలు
లీబ్నిజ్ సంజ్ఞామానం
1675లో, గాట్‌ఫ్రైడ్ విల్హెల్మ్ లీబ్నిజ్ dx, dy మరియు dy/dx అనే అక్షరాలను పరిచయం చేశాడు. నేటికీ, y = f(x) సమీకరణంలోని డిపెండెంట్ మరియు ఇండిపెండెంట్ వేరియబుల్స్ మధ్య సంబంధం ఫంక్షనల్‌గా పరిగణించబడుతున్నప్పుడు ఇది తరచుగా ఉపయోగించబడుతుంది.
భేదం కోసం వేరియబుల్ (హారంలో) చేయగలదు లీబ్నిజ్ సంజ్ఞామానాన్ని ఉపయోగించి పేర్కొనవచ్చు, ఇది పాక్షిక భేదం కోసం ముఖ్యమైనది.
Lagrange యొక్క సంజ్ఞామానం
అత్యంత జనాదరణ పొందిన ఆధునిక భేదాత్మక సంజ్ఞామానాలలో ఒకటి, కొన్నిసార్లు ప్రధాన సంజ్ఞామానం అని పిలుస్తారు, ఇది ప్రధాన గుర్తును ఉపయోగిస్తుంది మరియు జోసెఫ్-లూయిస్ లాగ్రాంజ్‌కు జమ చేయబడింది. ఇది f1 అనే ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నాన్ని సూచిస్తుంది.
తరువాతి సంజ్ఞామానం f యొక్క nవ ఉత్పన్నం కోసం f(n) సంజ్ఞామానాన్ని అందించడానికి సాధారణీకరిస్తుంది, ఇది ఉత్పన్నాన్ని ఫంక్షన్‌గా చర్చించేటప్పుడు మరింత సౌకర్యవంతంగా ఉంటుంది. ఈ పరిస్థితిలో లైబ్నిజ్ సంజ్ఞామానం సంక్లిష్టంగా ఉంటుంది కాబట్టి దానికదే విధిగా కాకుండా.
న్యూటన్ యొక్క సంజ్ఞామానం
ఒక చుక్కసమయ ఉత్పన్నాన్ని సూచించడానికి తరచుగా "డాట్ సంజ్ఞామానం" అని పిలువబడే న్యూటన్ యొక్క భేదాత్మక సంజ్ఞామానంలో ఫంక్షన్ పేరుపై ఉంచబడుతుంది.
ఈ సంజ్ఞామానాన్ని ఉపయోగించి సమయం లేదా ఆర్క్ పొడవుకు సంబంధించిన ఉత్పన్నాలు మాత్రమే సూచించబడతాయి. సాధారణంగా, ఇది అవకలన జ్యామితి మరియు భౌతిక శాస్త్రంలో అవకలన సమీకరణాలకు వర్తించబడుతుంది. అయినప్పటికీ, డాట్ సంజ్ఞామానం అనేక స్వతంత్ర వేరియబుల్స్ మరియు హై-ఆర్డర్ డెరివేటివ్‌లకు వర్తించదు (ఆర్డర్ 4 లేదా అంతకంటే ఎక్కువ).
యూలర్ యొక్క సంజ్ఞామానం
డిఫరెన్షియల్ ఆపరేటర్‌ని ఉపయోగించి మొదటి డెరివేటివ్ Df పొందబడుతుంది. డి ఒక ఫంక్షన్ f కు వర్తింపజేయడం ద్వారా యూలర్ యొక్క సంజ్ఞామానంలో. Dnd అంటే nవ ఉత్పన్నం.
y = f(x) అనేది డిపెండెంట్ వేరియబుల్ అయితే, డిపెండెంట్ వేరియబుల్ x సబ్‌స్క్రిప్ట్ xని Dకి జోడించడం ద్వారా తరచుగా స్పష్టం చేయబడుతుంది.
వేరియబుల్ x అర్థం చేసుకున్నప్పటికీ , ఇది సమీకరణంలో ఉన్న ఏకైక స్వతంత్ర వేరియబుల్ అయినప్పుడు, ఈ సబ్‌స్క్రిప్ట్ తరచుగా నిలిపివేయబడుతుంది.
రేఖీయ అవకలన సమీకరణాలను వ్యక్తీకరించడానికి మరియు పరిష్కరించడానికి, ఆయిలర్ యొక్క సంజ్ఞామానం సహాయకరంగా ఉంటుంది.
గణితంలో ఉత్పన్నాల అప్లికేషన్
గణితంలో ఉత్పన్నాలు తరచుగా ఉపయోగించబడతాయి. ఫంక్షన్ యొక్క గరిష్ట లేదా కనిష్టాన్ని, వక్రరేఖ యొక్క వాలు లేదా ఇన్‌ఫ్లెక్షన్ పాయింట్‌ని కూడా నిర్ణయించడానికి వాటిని ఉపయోగించవచ్చు.
మేము ఉత్పన్నాన్ని ఉపయోగించే కొన్ని సందర్భాలు క్రింద ఉన్నాయి. మరియు క్రింది విభాగాలు వాటిలో ప్రతి దాని గురించి చాలా వివరంగా తెలియజేస్తాయి. ఉత్పన్నాల అప్లికేషన్చాలా తరచుగా కనుగొనబడుతుంది:
- పరిమాణం యొక్క మార్పు రేటును గణించడం
- విలువ యొక్క మంచి అంచనాను పొందడం
- వక్రరేఖ యొక్క టాంజెంట్ మరియు సాధారణ కోసం సమీకరణాన్ని కనుగొనడం
- ఇన్‌ఫ్లెక్షన్, గరిష్టం మరియు కనిష్ట బిందువును గుర్తించడం
- పెరుగుతున్న మరియు తగ్గుతున్న ఫంక్షన్లను అంచనా వేయడం
బిందువును గణించడానికి ఉత్పన్నం ఉపయోగించబడుతుంది విభక్తి, గరిష్ట మరియు కనిష్ట బిందువు
రియల్ లైఫ్‌లో డెరివేటివ్‌ల అప్లికేషన్
నిజ జీవితంలో అనేక సందర్భాల్లో డెరివేటివ్‌లను ఉపయోగించవచ్చు. మీరు వ్యుత్పత్తిని ఉపయోగించగల కొన్ని పరిస్థితుల జాబితా ఇక్కడ ఉంది:
- వ్యాపారంలో లాభం మరియు నష్టాన్ని లెక్కించడానికి.
- ఉష్ణోగ్రత వైవిధ్యాన్ని కొలవడానికి.
- గంటకు మైళ్లు, గంటకు కిలోమీటర్లు మొదలైన ప్రయాణ రేటును లెక్కించడానికి.
- అనేక భౌతిక శాస్త్ర సమీకరణాలు ఉత్పన్నాలను ఉపయోగించి ఉత్పన్నమవుతాయి.
- భూకంప తీవ్రత పరిధిని కనుగొనడం భూకంప శాస్త్ర పరిశోధనలో ఇష్టమైన పని.
ముగింపు
- d2y/dx2 అనేది రెండవ ఉత్పన్నం.
- (dy/dx) ^2 అనేది మొదటి డెరివేటివ్ స్క్వేర్డ్.
- నిజ జీవితంలో అనేక ప్రయోజనాల కోసం వివిధ ఫీల్డ్‌లలో డెరివేటివ్ ఉపయోగించబడుతుంది.
- ఒక ఉత్పన్నం ఇందులో ఉపయోగించబడుతుంది. గణితం గరిష్ట మరియు కనిష్ట పాయింట్లను గణించడానికి.
- వ్యాపారంలో ఆర్థిక స్థితిగతులను లెక్కించేందుకు మరియు లాభ నష్టాలను లెక్కించేందుకు దీనిని ఉపయోగించవచ్చు.
