विज्ञान, अभियांत्रिकी, भौतिकशास्त्र आणि इतर विषयांसह केवळ गणित आणि दैनंदिन जीवनाव्यतिरिक्त व्युत्पन्नांचे अनेक उपयोग आहेत.

तुम्ही आधीच्या अभ्यासक्रमांमध्ये त्रिकोणमितीय, निहित, लॉगरिथम इत्यादींसह विविध फंक्शन्सच्या व्युत्पन्नाची गणना करण्याची क्षमता प्राप्त केली असावी.

d2y/dx2 आणि (dydx)^2 हे दोन व्युत्पन्न आहेत समीकरणे परंतु ते समजून घेण्यासाठी, प्रथम, आपल्याला दुसरे व्युत्पन्न म्हणजे नेमके काय आहे हे समजून घेणे आवश्यक आहे.

कॅल्क्युलसमधील फंक्शनचे व्युत्पन्न द्वितीय व्युत्पन्न म्हणून ओळखले जाते, कधीकधी द्वितीय-क्रम व्युत्पन्न म्हणून ओळखले जाते.

दुसरा व्युत्पन्न, ढोबळपणे बोलायचे तर, परिमाणाचा बदल दर स्वतः कसा बदलत आहे हे मोजतो. उदाहरणार्थ, वेळेच्या संदर्भात ऑब्जेक्टच्या स्थितीचे दुसरे व्युत्पन्न म्हणजे ऑब्जेक्टचे तात्काळ प्रवेग किंवा वेळेच्या संदर्भात ऑब्जेक्टचा वेग ज्या दराने बदलत आहे.

या लेखात, मी तुम्हाला काय सांगेन d2y/dx2=(dydx)^2 आणि नेमका व्युत्पन्न म्हणजे काय यात फरक आहे.

D2y/dx2 Vs (dydx)^2

dy/dx चे व्युत्पन्न (हे 2s इंडेक्स नोटेशनसारखे दिसू शकतात, परंतु ते नाहीत). (dydx)2, दुसरीकडे, पहिल्या व्युत्पन्नाचा वर्ग आहे.

उदाहरण:

Y=3 घ्या ???? 3 +6 ???? 2y=3×3+6×2

पहिले व्युत्पन्न: dy/dx=9 ???? 2+12 ???? dydx=9×2+12x

दुसरा व्युत्पन्न:d2yd????2=18 ???? +12d2ydx2=18x+12

पहिल्या व्युत्पन्नाचा वर्ग: (dydx)2=(9 ??? ? 2+12 ???? )2=(81 ???? 4+216 ???? 3+144<1

सेकंड डेरिव्हेटिव्ह म्हणजे काय?

जेव्हा तुम्ही व्युत्पन्न फरक करता, तेव्हा तुम्हाला दुसरे व्युत्पन्न मिळते. लक्षात ठेवा की dy/dx हे x च्या संदर्भात y चे व्युत्पन्न आहे. दुसरा व्युत्पन्न, उच्चार “dee two y by d x वर्ग,” हे d2y/dx2 म्हणून दर्शविले जाते.

स्थिर बिंदूंचे स्वरूप दुसरे व्युत्पन्न वापरून अधिक सहजतेने निश्चित केले जाऊ शकते (मग ते जास्तीत जास्त गुण असोत, किमान गुण असोत, किंवा वळणाचे बिंदू).

जेव्हा dy/dx = 0, वक्र स्थिर बिंदूवर पोहोचतो. स्थिर बिंदूचा प्रकार (कमाल, किमान, किंवा वळणाचा बिंदू) दुसरा व्युत्पन्न एकदा वापरून निर्धारित केला जाऊ शकतो. स्थिर बिंदूचे स्थान स्थापित केले आहे.

मॅक्सिमा आणि मिनिमा पॉइंट्स कसे ओळखायचे?

d2y/d2x हे दुसरे व्युत्पन्न आहे.

व्युत्पन्न म्हणजे काय?

गणितातील रिअल व्हेरिएबलच्या फंक्शनचे व्युत्पन्न प्रमाण ठरवतेफंक्शनच्या मूल्याची (आउटपुट मूल्य) त्याच्या युक्तिवादात (इनपुट मूल्य) बदलांसाठी संवेदनशीलता. कॅल्क्युलसचे मुख्य साधन व्युत्पन्न आहे.

एखाद्या वस्तूचा वेग, उदाहरणार्थ, वेळेच्या संदर्भात त्याच्या स्थानाचे व्युत्पन्न आहे. वेळ निघून गेल्यावर ऑब्जेक्टची स्थिती किती झटपट बदलते याचे प्रमाण ठरवते.

जेव्हा ते घडते, दिलेल्या इनपुट मूल्यावरील फंक्शनच्या आलेखाला स्पर्शरेषेचा उतार हा एका व्हेरिएबलच्या फंक्शनचा व्युत्पन्न असतो. त्या इनपुट मूल्याच्या सर्वात जवळचे फंक्शन स्पर्शरेषेच्या रेषेद्वारे सर्वोत्तम अंदाजे केले जाते.

यामुळे, व्युत्पन्न वारंवार "बदलाचा तात्काळ दर" म्हणून संबोधले जाते, जे स्वतंत्र व्हेरिएबलमधील अवलंबित व्हेरिएबलमधील तात्काळ बदलाचे गुणोत्तर आहे.

अनेक रिअल व्हेरिएबल्सची फंक्शन्स समाविष्ट करण्यासाठी, डेरिव्हेटिव्ह्जचे सामान्यीकरण केले जाऊ शकते. हे सामान्यीकरण डेरिव्हेटिव्हचा रेखीय परिवर्तन म्हणून पुनर्व्याख्या करते ज्याचा आलेख, योग्य भाषांतरानंतर, मूळ फंक्शनच्या आलेखासाठी सर्वोत्तम रेखीय अंदाजे आहे.

स्वतंत्र आणि अवलंबून व्हेरिएबल्सच्या निवडीद्वारे प्रदान केलेल्या पायाबद्दल, जेकोबियन मॅट्रिक्स हे मॅट्रिक्स आहे जे या रेखीय परिवर्तनाचे प्रतिनिधित्व करते.

स्वतंत्र व्हेरिएबल्सचे आंशिक डेरिव्हेटिव्ह वापरून त्याची गणना केली जाऊ शकते. ग्रेडियंट वेक्टर जेकोबियन मॅट्रिक्सला रिअल-व्हॅल्यूड फंक्शनसाठी अनेकांसह बदलतोव्हेरिएबल्स.

भिन्नता ही व्युत्पन्न शोधण्याची क्रिया आहे. अँटीडिफरेंशिएशन ही विरुद्ध प्रक्रियेसाठी संज्ञा आहे. कॅल्क्युलस मूलभूत प्रमेयमध्ये भेदभाव आणि एकत्रीकरण संबंधित आहेत. सिंगल-व्हेरिएबल कॅल्क्युलसच्या दोन मूलभूत ऑपरेशन्स म्हणजे भिन्नता आणि एकत्रीकरण.

रिअल अ व्हेरिएबलचे डेरिव्हेटिव्ह आणि फंक्शन जाणून घेण्यासाठी हा व्हिडिओ पहा

भिन्न नोटेशन्स

लेबनिझचे नोटेशन

1675 मध्ये, गॉटफ्राइड विल्हेल्म लीबनिझ यांनी dx, dy आणि dy/dx ही अक्षरे सादर केली. आजही, जेव्हा y = f(x) समीकरणातील आश्रित आणि स्वतंत्र चल यांच्यातील संबंध कार्यशील मानले जातात तेव्हा ते वारंवार वापरले जाते.

विभेदासाठी चल (भाजकात) हे करू शकते लिबनिझच्या नोटेशनचा वापर करून निर्दिष्ट करा, जे आंशिक भिन्नतेसाठी महत्त्वाचे आहे.

लॅग्रेंजचे नोटेशन

सर्वात लोकप्रिय आधुनिक भिन्नता नोटेशन्सपैकी एक, ज्याला काहीवेळा प्राइम नोटेशन म्हणून ओळखले जाते, प्राइम मार्क वापरते आणि जोसेफ-लुईस लॅग्रेंज यांना श्रेय दिले जाते. हे फंक्शन f चे व्युत्पन्न f1 म्हणून दर्शवते.

नंतरचे नोटेशन f च्या nव्या व्युत्पन्नासाठी f(n) नोटेशन प्रदान करण्यासाठी सामान्यीकरण करते, जे फंक्शन म्हणून व्युत्पन्नाची चर्चा करताना अधिक सोयीस्कर आहे स्वतःचे कार्य करण्यापेक्षा कारण या परिस्थितीत लाइबनिझ नोटेशन क्लिष्ट असू शकते.

न्यूटनचे नोटेशन

एक बिंदू आहेटाइम डेरिव्हेटिव्ह दर्शविण्यासाठी न्यूटनच्या डिफरेंशनेशन नोटेशनमधील फंक्शनच्या नावावर ठेवले जाते, ज्याला "डॉट नोटेशन" म्हणून ओळखले जाते.

या नोटेशनचा वापर करून फक्त वेळ किंवा चाप लांबीच्या संदर्भात डेरिव्हेटिव्ह दर्शवले जातात. सहसा, हे भिन्न भूमिती आणि भौतिकशास्त्रातील भिन्न समीकरणांवर लागू केले जाते. तथापि, डॉट नोटेशन अनेक स्वतंत्र व्हेरिएबल्स आणि उच्च-ऑर्डर डेरिव्हेटिव्ह (ऑर्डर 4 किंवा अधिक) साठी लागू होत नाही.

युलरचे नोटेशन

प्रथम डेरिव्हेटिव्ह डीएफ डिफरेंशियल ऑपरेटर वापरून प्राप्त केले जाते. फंक्शन f ला लागू करून यूलरच्या नोटेशनमध्ये डी. Dnd म्हणजे nth व्युत्पन्न.

जर y = f(x) एक अवलंबित चल असेल तर, स्वतंत्र व्हेरिएबल x हे डी मध्ये सबस्क्रिप्ट x जोडून वारंवार स्पष्ट केले जाते.

जरी x हे व्हेरिएबल समजले जाते तेव्हा , जसे की जेव्हा समीकरणामध्ये हे एकमेव स्वतंत्र चल असते, तेव्हा ही सबस्क्रिप्ट वारंवार सोडली जाते.

रेषीय भिन्न समीकरणे व्यक्त करण्यासाठी आणि निराकरण करण्यासाठी, यूलरची नोटेशन उपयुक्त आहे.

गणितात डेरिव्हेटिव्ह्जचा वापर

डेरिव्हेटिव्ह्जचा वापर गणितात वारंवार केला जातो. ते फंक्शनची कमाल किंवा किमान, वक्र उतार किंवा अगदी वळण बिंदू निर्धारित करण्यासाठी वापरले जाऊ शकतात.

खाली काही उदाहरणे आहेत जिथे आपण व्युत्पन्न वापरू. आणि पुढील विभाग त्या प्रत्येकाबद्दल विस्तृत तपशीलात जातात. डेरिव्हेटिव्ह्जचा वापरबहुतेक वेळा यामध्ये आढळते:

• परिमाणाच्या बदलाच्या दराची गणना करणे
• मूल्याचा चांगला अंदाज मिळवणे
• वक्र स्पर्शिका आणि सामान्य साठी समीकरण शोधणे
• विक्षेपण, मॅक्सिमा आणि मिनिमाचा बिंदू ओळखणे
• वाढत्या आणि कमी होणाऱ्या कार्यांचे मूल्यांकन करणे

बिंदूची गणना करण्यासाठी व्युत्पन्न वापरले जाते इन्फ्लेक्शन, कमाल आणि किमान बिंदू

रिअल लाइफमध्ये डेरिव्हेटिव्ह्जचा वापर

डेरिव्हेटिव्हचा वापर वास्तविक जीवनात अनेक परिस्थितींमध्ये केला जाऊ शकतो. येथे काही परिस्थितींची सूची आहे ज्यामध्ये तुम्ही व्युत्पन्न वापरू शकता:

• व्यवसायातील नफा आणि तोटा मोजण्यासाठी.
• तापमानातील फरक मोजण्यासाठी.
• प्रवासाचा दर मोजण्यासाठी, जसे की मैल प्रति तास, किलोमीटर प्रति तास इ.
• व्युत्पन्न वापरून असंख्य भौतिक समीकरणे काढली जातात.
• भूकंपाची तीव्रता श्रेणी शोधणे हे भूकंपशास्त्र संशोधनातील एक आवडते कार्य आहे.

निष्कर्ष

• d2y/dx2 ही दुसरी व्युत्पत्ती आहे.
• (dy/dx) ^2 हा पहिला व्युत्पन्न वर्ग आहे.
• वास्तविक जीवनात अनेक उद्देशांसाठी विविध क्षेत्रात व्युत्पन्न वापरले जाते.
• व्युत्पन्न वापरले जाते जास्तीत जास्त आणि किमान गुणांची गणना करण्यासाठी गणित.
• व्यवसायातील वित्त मोजण्यासाठी आणि नफा आणि तोटा मोजण्यासाठी याचा वापर व्यवसायात केला जाऊ शकतो.