Se on yksi nykymatematiikan haastavimmista ja abstraktimmista aloista, ja sitä käytetään lähes kaikilla luonnontieteiden, tekniikan ja liike-elämän aloilla.

Laskennan avulla voimme mallintaa tilanteita, joissa meillä on muutosnopeuksia, kuten nopeus tai kiihtyvyys. Näitä kutsutaan usein "differentiaaliyhtälöiksi". Laskennan avulla voimme myös ratkaista ongelmia, joihin liittyy raja-arvoja: esimerkiksi käyrän alaisen pinta-alan tai kiinteän kappaleen tilavuuden määrittäminen.

Voit käyttää erilaisia menetelmiä erilaisten ongelmien ratkaisemiseen. Muutamia näistä menetelmistä ovat levy-, aluslevy- ja kuorimenetelmät.

Tärkein ero laskennan levy-, aluslevy- ja kuorimenetelmien välillä on se, että ne kaikki käyttävät erilaisia lähestymistapoja käyrän approksimointiin. Levymenetelmässä käytetään ympyränmuotoista aluetta käyrän approksimaation ympärillä, kun taas aluslevymenetelmässä käytetään ylhäältä katsottuna aluslevyn muotoista aluetta. Kuorimenetelmässä käytetään ylhäältä katsottuna kuoren muotoista aluetta.

Keskustellaan kaikista näistä menetelmistä yksityiskohtaisesti.

Mitä tarkoitetaan levymenetelmällä?

Kiekon integrointimenetelmä, joka tunnetaan myös integraalilaskennan kiekkoyhtälönä, laskee kiinteän kappaleen tilavuuden kierrosta kohti, kun se integroidaan kierroksen suuntaista akselia pitkin.

Levymenetelmässä kohde jaetaan moniin pieniin levyihin tai sylintereihin ja lasketaan sitten näiden pienten levyjen tilavuudet yhteen kohteen tilavuuden määrittämiseksi.

Sylinterin säde saadaan funktiolla f(x), ja sen korkeus määräytyy x:n mukaan. Kun x:n muutos saavuttaa nollan ja kiekkojen määrä kasvaa äärettömään, saat arvion sijasta kappaleen todellisen tilavuuden.

Tilavuuden laskentakaava levyintegraatiomenetelmällä on seuraava:

	=	funktion ja pyörimisakselin välinen etäisyys
	=	yläraja
	=	alaraja
	=	liukuu pitkin x

Mitä tarkoitetaan pesurimenetelmällä?

Pesukonemenetelmä on tapa ratkaista differentiaaliyhtälö. Sitä kutsutaan pesukonemenetelmäksi, koska siinä käytetään pesukonetta analogiana.

Differentiaaliyhtälö kuvaa, miten tuntematon funktio muuttuu ajan kuluessa, vaikka se ei olisikaan jatkuva. Sitä käytetään usein mallintamaan esimerkiksi aaltoja tai muita prosesseja, jotka muuttuvat ajan kuluessa, mutta eivät välttämättä tasaisesti.

Jos haluat ratkaista y(t):n, sinun on löydettävä y(t) kaikille mahdollisille t:n arvoille. Tämä voi kuitenkin olla vaikeaa ja aikaa vievää, koska ratkaisuja on ääretön määrä. Washer-menetelmä auttaa sinua löytämään ratkaisut käyttämällä likiarvoja tarkkojen arvojen sijasta.

• Se alkaa alustavalla arvauksella siitä, miltä ratkaisu voisi näyttää: y(t) = f(t).
• Sitten etsitään tämän arvauksen ja tapahtuman välinen virhe: e(t).
• Tämän virhetermin avulla voit sitten päivittää arviosi: f'(t) = f* 2 - 2 f*e + c, jossa c on mielivaltainen vakio (ei ole väliä, minkä arvon valitset).
• Toista prosessi, kunnes virhe on pienempi kuin epsilon.

Mitä tarkoitetaan Shell-menetelmällä?

Laskennassa kuorimenetelmä on tekniikka, jolla voidaan määrittää kiinteän kappaleen tilavuus approksimoimalla sitä sarjalla samankeskisiä kuoria. Sitä käytetään usein epäsäännöllisen muotoisen kiinteän kappaleen tilavuuden määrittämiseen, kun sitä ei voida helposti jakaa yksinkertaisiin muotoihin, joiden tilavuudet tunnetaan.

Kuorimenetelmässä muoto jaetaan moniin ohuisiin viipaleisiin ja lasketaan sitten yhteen kaikki niiden tilavuudet. Viipaleita voidaan pitää kuorina, joten niistä käytetään nimitystä "kuorimenetelmä".

Kuorimenetelmä eroaa muista menetelmistä siten, että kuoren keskipisteeksi valitaan piste sen sijaan, että keskipisteeksi valittaisiin kunkin osavälivälin keskipiste. Tämä johtaa tarkempiin approksimaatioihin kuin muut menetelmät, mutta vaatii käyttäjältä enemmän työtä.

Tiedä ero

Kuori-, aluslevy- ja kiekkomenetelmät ovat kaikki tapoja ratkaista integrointiin liittyviä laskutehtäviä.

Kuorimenetelmässä etsitään renkaan tilavuus, kun taas kiekkomenetelmässä etsitään funktion käyrän alapuolinen pinta-ala. Aluslevymenetelmä on samanlainen kuin kuorimenetelmä, mutta siinä käytetään eri tekniikkaa renkaan tilavuuden määrittämiseen.

Shell-menetelmä

Kuorimenetelmää käytetään lähestymään tietyn poikkileikkauksen omaavan pyörivän kiinteän kappaleen tilavuutta laskemalla yhteen äärettömän monien kiinteästä kappaleesta leikattujen ohuiden kuorien tilavuudet. Kuorimenetelmä on käyttökelpoinen vain silloin, kun poikkileikkauksella on vakiopaksuus, joten sitä ei voida käyttää epäsäännöllisen muotoisen kappaleen tilavuuden määrittämiseen.

Pesurimenetelmä

Aluslevymenetelmä on samanlainen kuin kuorimenetelmä, paitsi että sen sijaan, että kiinteästä kappaleesta leikattaisiin ääretön määrä ohuita kuoria, siitä leikataan vain yksi paksu kuori (jonka paksuus on vakio) ja sitten se jaetaan pienempiin paloihin, joiden leveys on vakio.

Levymenetelmä

Kiekkomenetelmässä piirretään sarja ympyröitä, joiden säteet vaihtelevat ja kulma-asennot vaihtelevat niiden keskipisteiden kautta kulkevan akselin ympäri; nämä ympyrät leikkaavat toisiaan pisteissä, joiden on sijaittava toistensa kehillä - toisin sanoen ne ovat päällekkäin - muodostaen sektoreita, jotka edustavat ympyrän kehän osia.

Nämä sektorit lasketaan yhteen, jotta saadaan arvio siitä, kuinka monta kertaa kukin säde mahtuu objektin kehän ympärille, ennen kuin ne kaikki menevät päällekkäin seuraavissa leikkauspisteissä samoilla akseleilla.

Taulukossa esitetään näiden kolmen menetelmän erot tiivistetysti.

Tässä on videoleike, jossa selitetään kaikki kolme menetelmää.

Milloin sinun pitäisi käyttää pesurimenetelmää tai kuorimenetelmää?

Sylinterin pinta-alan laskemiseen on olemassa useita menetelmiä. Kuorimenetelmä on yksi niistä, mutta se ei ole aina tehokkain tai tarkin tapa.

Pesurimenetelmä ei oikeastaan ole menetelmä - se on vain toinen tapa sanoa: "Mitä jää jäljelle, kun teet tämän toisen asian?" Se ei kerro mitään siitä, mitä sylinterin sisällä tapahtuu, vaan ainoastaan sillä on merkitystä, mikä on vierasta.

Riippuu siitä, mitä yrität mitata!

Jos haluat tietää, kuinka paljon maalia seiniin tarvitaan, kuorimenetelmä antaa paremmat tulokset kuin pesumenetelmä, koska se käyttää enemmän datapisteitä. Jos taas yrität mitata, kuinka paljon kumia renkaasi tarvitsevat, pesumenetelmä toimii paremmin, koska se käyttää vähemmän datapisteitä.

Mistä tiedät, onko kyseessä levy vai aluslevy?

Ero aluslevyn ja levyn välillä on niiden kiertosymmetria-asteessa. Levyllä ei ole symmetria-akselia, joten sitä voidaan kääntää minkä tahansa kulman kautta ja se näyttää samalta. Sen sijaan aluslevyllä on symmetria-akseli - viiva, joka yhdistää esineen molemmat puoliskot.

Laskennallisesti voit erottaa levyn ja aluslevyn toisistaan seuraavan yhtälön avulla:

Levy: (halkaisija)2 - (säde)2 = levyn pinta-ala.

Aluslevy: (halkaisija)2 <(säde)2

Lopulliset ajatukset

• Tärkein ero levy-, aluslevy- ja kuorimenetelmien välillä on se, että ne antavat eri tuloksia samasta ongelmasta.
• Kiekkomenetelmässä käyrän pinta-ala etsitään jakamalla käyrä osiin ja laskemalla niiden pinta-alat yhteen. Menetelmä toimii hyvin funktioille, joissa on paljon käyriä, mutta huonommin, jos käyriä on vähemmän.
• Pesurimenetelmässä käyrän alle jäävä pinta-ala jaetaan osiin ja lasketaan niiden ympärysmitat yhteen. Menetelmä toimii hyvin funktioille, joissa on hyvin vähän käyriä, mutta ei niin hyvin, kun käyriä on enemmän.
• Kuorimenetelmässä kunkin käyrän korkeus kerrotaan sen leveydellä pinta-alan arvioimiseksi. Menetelmä toimii hyvin, kun tarvitaan nopeaa likimääräistä arviota, mutta se ei toimi erityisen hyvin, kun halutaan saada tarkka vastaus.

Aiheeseen liittyvät artikkelit