Calculus er et matematisk område, der beskæftiger sig med studiet af forandringer. Det er blandt de mest udfordrende og abstrakte områder i moderne matematik og anvendes inden for næsten alle videnskabelige, tekniske og forretningsmæssige områder.

Calculus hjælper os med at modellere situationer, hvor der er tale om ændringshastigheder, f.eks. hastighed eller acceleration. Disse situationer kaldes ofte "differentialligninger". Calculus gør det også muligt at løse problemer, der involverer grænser: f.eks. at finde arealet under en kurve eller rumfanget af et fast stof.

Du kan bruge forskellige metoder til at løse forskellige problemer. Nogle af disse metoder omfatter disk-, disk- og shell-metoderne.

Den største forskel mellem disk-, skive-, skive- og skalmetoden i beregning er, at de alle anvender forskellige metoder til at tilnærme en kurve. Diskmetoden anvender et cirkulært område omkring en tilnærmelse af kurven, mens skivemetoden anvender et område, der er formet som en skive set oppefra, og skalmetoden anvender et område, der er formet som en skal set oppefra.

Lad os gennemgå alle disse metoder i detaljer.

Hvad menes der med diskmetoden?

Skiveintegrationsmetoden, også kendt som integralregningens skiveligning, beregner et fast stofs volumen pr. omdrejning, når det integreres langs den akse, der er parallel med omdrejningen.

Diskmetoden indebærer, at et objekt opdeles i mange små diske eller cylindre, hvorefter disse små diske lægges sammen for at bestemme objektets rumfang.

En cylinders radius er givet ved en funktion f(x), og dens højde bestemmes af x. Når ændringen i x når nul, og antallet af skiver øges til uendelig, har man det faktiske rumfang af objektet i stedet for et skøn.

Formlen til beregning af volumen ved hjælp af diskintegration er som følger:

	=	afstanden mellem funktionen og rotationsaksen
	=	øvre grænse
	=	nedre grænse
	=	glider langs x

Hvad menes der med vaskerimetoden?

Vaskemaskinemetoden er en måde at løse en differentialligning på. Den kaldes vaskemaskinemetoden, fordi den bruger en vaskemaskine som analogi for, hvordan den fungerer.

En differentialligning beskriver, hvordan en ukendt funktion ændrer sig som tiden går, selv om den ikke er kontinuerlig. Den bruges ofte til at modellere ting som bølger eller andre processer, der ændrer sig over tid, men ikke nødvendigvis på en jævn måde.

For at løse y(t) skal du finde y(t) for alle mulige værdier af t. Dette kan imidlertid være vanskeligt og tidskrævende, fordi der findes uendelige løsninger. Vaskermetoden hjælper dig med at finde løsninger ved hjælp af tilnærmelser i stedet for nøjagtige værdier.

• Den starter med et indledende gæt på, hvordan din løsning kan se ud: y(t) = f(t).
• Derefter finder du fejlen mellem dette gæt og det, der sker: e(t).
• Derefter bruger du dette fejlterm til at opdatere dit gæt: f'(t) = f* 2 - 2 f*e + c, hvor c er en vilkårlig konstant (det er ligegyldigt, hvilken værdi du vælger).
• Derefter gentages processen, indtil fejlen bliver mindre end epsilon.

Hvad menes der med Shell-metoden?

I beregning er skalmetoden en teknik til at finde volumenet af et fast stof ved at tilnærme det med en række koncentriske skaller. Den bruges ofte til at finde volumenet af et uregelmæssigt formet fast stof, som ikke let kan opdeles i simple former, for hvilke volumenet er kendt.

Shell-metoden opdeler formen i mange tynde skiver og summerer derefter alle deres volumener. Skiverne kan betragtes som skaller, deraf "shell-metoden".

Shell-metoden adskiller sig fra andre metoder ved at vælge et punkt som centrum for shell'en i stedet for midtpunktet af hvert delinterval som centrum. Dette giver mere nøjagtige tilnærmelser end andre metoder, men kræver mere arbejde fra brugerens side.

Kend forskellen

Shell-, skive- og skivemetoder er alle måder at løse regneopgaver, der involverer integration.

Shellmetoden indebærer at finde volumenet af en ring, mens diskmetoden indebærer at finde arealet under en funktions kurve. En skive-metode ligner en shell-metode, men den anvender en anden teknik til at finde volumenet af en ring.

Shell-metode

Skalmetoden bruges til at beregne rumfanget af et rumfang i rotation med et bestemt tværsnit ved at summere rumfanget af et uendeligt antal tynde skaller, der er skåret ud af rumfanget. Skalmetoden er kun gyldig, når tværsnittet har en konstant tykkelse, så den kan ikke bruges til at finde rumfanget af et uregelmæssigt formet objekt.

Vaskemaskine metode

Vaskemetoden svarer til skalmetoden, bortset fra at man i stedet for at skære et uendeligt antal tynde skaller ud af det faste stof, skærer man kun én tyk skal ud af det (med konstant tykkelse) og deler den derefter op i mindre stykker med en konstant bredde.

Disk-metode

Skivemetoden indebærer, at man tegner en række cirkler med forskellige radier og forskellige vinkelpositioner omkring en akse, der går gennem deres centre; disse cirkler skærer hinanden i punkter, der skal ligge på hinandens omkredse - med andre ord overlapper de hinanden - for at danne sektorer, der repræsenterer dele af en cirkels omkreds.

Disse sektorer lægges derefter sammen for at få en tilnærmelse af, hvor mange gange hver radius vil passe rundt om objektets omkreds, før der opstår overlapninger mellem dem alle igen ved de efterfølgende skæringspunkter langs de samme akser.

Tabellen viser forskellen mellem de tre metoder i oversigtsform.

Her er et videoklip, der forklarer alle tre metoder.

Hvornår skal du bruge vaskemaskine- eller skalmetoden?

Der findes flere metoder til at beregne en cylinders overfladeareal. Shellmetoden er en af dem, men den er ikke altid den mest effektive eller præcise metode.

Vaskemaskine-metoden er egentlig ikke en metode - det er bare en anden måde at sige: "Hvad bliver der tilbage, når du gør denne anden ting?" Den fortæller dig ikke noget om, hvad der sker inde i cylinderen; kun det, der er udenfor, har betydning.

Så hvad skal du bruge? Det afhænger af, hvad du prøver at måle!

Hvis du vil vide, hvor meget maling der skal bruges til dine vægge, vil skalmetoden give bedre resultater end vaskemaskinemetoden, fordi den bruger flere datapunkter. Men hvis du prøver at måle, hvor meget gummi dine dæk kræver, vil vaskemaskinemetoden fungere bedre, fordi den bruger færre datapunkter.

Hvordan ved du, om det er en disk eller en vaskemaskine?

Forskellen mellem en skive og en skive ligger i deres grad af rotationssymmetri. En skive har ingen symmetriakse, så den kan drejes i en vilkårlig vinkel og fremstå ens. En skive derimod har en symmetriakse - en linje, der retter de to halvdele af objektet ud.

I matematisk regning kan du se forskellen mellem en skive og en skive ved hjælp af følgende ligning:

Skive: (diameter)2 - (radius)2 = skibenes areal

Skive: (diameter)2 <(radius)2

Afsluttende overvejelser

• Den største forskel mellem disk-, skive-, skive- og skalmetoden i beregning er, at de hver især giver forskellige resultater for det samme problem.
• Diskmetoden går ud på at finde arealet under en kurve ved at opdele den i sektioner og lægge deres arealer sammen. Denne metode fungerer godt for funktioner med mange kurver, men mindre godt, hvis der er færre kurver.
• Vaskemetoden består i at opdele arealet under en kurve i sektioner og addere deres omkreds. Denne metode fungerer godt for funktioner med meget få kurver, men ikke så godt, når der er flere kurver.
• Shell-metoden består i at gange højden af hver kurve med dens bredde for at tilnærme sig dens areal. Denne metode fungerer godt, når du hurtigt skal have en tilnærmelse, men den fungerer ikke særlig godt, når du forsøger at få et nøjagtigt svar.

Relaterede artikler