કલન એ એક ગાણિતિક ક્ષેત્ર છે જે પરિવર્તનના અભ્યાસ સાથે કામ કરે છે. તે આધુનિક ગણિતના સૌથી પડકારરૂપ અને અમૂર્ત ક્ષેત્રોમાંનું એક છે અને લગભગ દરેક વિજ્ઞાન, એન્જિનિયરિંગ અને વ્યવસાયિક ક્ષેત્રોમાં તેનો ઉપયોગ થાય છે.

કેલ્ક્યુલસ અમને એવી પરિસ્થિતિઓને મોડેલ કરવામાં મદદ કરે છે કે જ્યાં અમારી પાસે પરિવર્તનના દર હોય, જેમ કે વેગ અથવા પ્રવેગ. આને ઘણીવાર "વિભેદક સમીકરણો" કહેવામાં આવે છે. કેલ્ક્યુલસ આપણને મર્યાદા સમાવિષ્ટ સમસ્યાઓ ઉકેલવા માટે પણ પરવાનગી આપે છે: ઉદાહરણ તરીકે, વળાંક હેઠળનો વિસ્તાર અથવા ઘનનું કદ શોધવું.

તમે વિવિધ સમસ્યાઓ ઉકેલવા માટે વિવિધ પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ કરી શકો છો. આમાંની કેટલીક પદ્ધતિઓમાં ડિસ્ક, વોશર અને શેલ પદ્ધતિઓનો સમાવેશ થાય છે.

કલનશાસ્ત્રમાં ડિસ્ક, વોશર અને શેલ પદ્ધતિઓ વચ્ચેનો મુખ્ય તફાવત એ છે કે તે તમામ વળાંકને અંદાજિત કરવા માટે વિવિધ અભિગમોનો ઉપયોગ કરે છે. ડિસ્ક પદ્ધતિ વળાંકની આસપાસના ગોળાકાર વિસ્તારનો ઉપયોગ કરે છે, જ્યારે વોશર ઉપરથી જોવામાં આવે ત્યારે વોશર જેવા આકારના પ્રદેશનો ઉપયોગ કરે છે. જ્યારે ઉપરથી જોવામાં આવે ત્યારે શેલ પદ્ધતિ શેલ જેવા આકારના પ્રદેશનો ઉપયોગ કરે છે.

ચાલો આ બધી પદ્ધતિઓની વિગતવાર ચર્ચા કરીએ.

ડિસ્કનો અર્થ શું છે. પદ્ધતિ?

ડિસ્ક એકીકરણ પદ્ધતિ, જેને ઇન્ટિગ્રલ કેલ્ક્યુલસ ડિસ્ક સમીકરણ તરીકે પણ ઓળખવામાં આવે છે, જ્યારે તેની ક્રાંતિની સમાંતર ધરી સાથે સંકલિત કરવામાં આવે ત્યારે ઘન પ્રતિ ક્રાંતિના વોલ્યુમની ગણતરી કરે છે.

ડિસ્ક પદ્ધતિમાંઑબ્જેક્ટને ઘણી નાની ડિસ્ક અથવા સિલિન્ડરોમાં વિભાજીત કરવી અને પછી ઑબ્જેક્ટનું વોલ્યુમ નક્કી કરવા માટે આ નાની ડિસ્કના વોલ્યુમોને એકસાથે ઉમેરીને.

સિલિન્ડરની ત્રિજ્યા ફંક્શન f(x) દ્વારા આપવામાં આવે છે, અને તેની ઊંચાઈ x દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે. જ્યારે x માં ફેરફાર શૂન્ય સુધી પહોંચે છે અને ડિસ્કની સંખ્યા અનંત સુધી વધે છે, ત્યારે તમારી પાસે અંદાજને બદલે ઑબ્જેક્ટનું વાસ્તવિક વોલ્યુમ હશે.

ડિસ્ક એકીકરણ પદ્ધતિ દ્વારા વોલ્યુમની ગણતરી માટેનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:

	=	ફંક્શન અને પરિભ્રમણની ધરી વચ્ચેનું અંતર
	=	ઉચ્ચ મર્યાદા
	=	નીચી મર્યાદા
	=	x સાથે સ્લાઇડ્સ

વોશર પદ્ધતિનો અર્થ શું છે?

વોશર પદ્ધતિ એ વિભેદક સમીકરણને ઉકેલવાનો માર્ગ છે. તેને વોશર પદ્ધતિ કહેવામાં આવે છે કારણ કે તે કેવી રીતે કાર્ય કરે છે તેના સાદ્રશ્ય તરીકે તે વોશરનો ઉપયોગ કરે છે.

એક વિભેદક સમીકરણ વર્ણવે છે કે કેવી રીતે અજાણ્યા કાર્ય સમય પસાર થાય છે, પછી ભલે તે સતત ન હોય. તે ઘણી વખત તરંગો અથવા અન્ય પ્રક્રિયાઓ જેવી વસ્તુઓને મોડલ કરવા માટે ઉપયોગમાં લેવાય છે જે સમય સાથે બદલાય છે, પરંતુ જરૂરી નથી કે તે સરળ રીતે હોય.

y(t)ને ઉકેલવા માટે, તમારે તમામ સંભવિત મૂલ્યો માટે y(t) શોધવાની જરૂર છે. ટી. જો કે, આ મુશ્કેલ અને સમય માંગી શકે છે કારણ કે ત્યાં અનંત ઉકેલો છે. વોશર પદ્ધતિ તમને ઉકેલો શોધવામાં મદદ કરે છેચોક્કસ મૂલ્યોને બદલે અંદાજનો ઉપયોગ કરો.

• તે તમારું સોલ્યુશન કેવું દેખાશે તેના પ્રારંભિક અનુમાનથી શરૂ થાય છે: y(t) = f(t).
• પછી તમને આ અનુમાન અને શું થાય છે તે વચ્ચેની ભૂલ મળશે: e(t).
• તમે તમારા અનુમાનને અપડેટ કરવા માટે આ ભૂલ શબ્દનો ઉપયોગ કરો છો: f'(t) = f* 2 – 2 f*e + c, જ્યાં c એ છે મનસ્વી સ્થિરાંક (તમે જે મૂલ્ય પસંદ કરો છો તેનાથી કોઈ ફરક પડતો નથી).
• પછી જ્યાં સુધી ભૂલ એપ્સીલોન કરતા નાની ન થાય ત્યાં સુધી પ્રક્રિયાને પુનરાવર્તિત કરો.

શેલ પદ્ધતિનો અર્થ શું છે?

કેલ્ક્યુલસમાં, શેલ પદ્ધતિ એ ઘનનું પ્રમાણ શોધવાની એક ટેકનિક છે જેના દ્વારા તેને સાંકેન્દ્રિત શેલોની શ્રેણી સાથે અંદાજિત કરવામાં આવે છે. તેનો ઉપયોગ વારંવાર અનિયમિત આકારના ઘનનું વોલ્યુમ શોધવા માટે થાય છે જેને સરળ આકારોમાં સરળતાથી વિભાજિત કરી શકાતું નથી જેના માટે વોલ્યુમો જાણીતા છે.

શેલ પદ્ધતિ આકારને ઘણા પાતળા ટુકડાઓમાં વિભાજિત કરે છે અને પછી તેના તમામ વોલ્યુમોનો સરવાળો કરે છે. સ્લાઇસેસને શેલ ગણી શકાય, તેથી "શેલ પદ્ધતિ."

શેલ પદ્ધતિ દરેક પેટા અંતરાલના મધ્યબિંદુને કેન્દ્ર તરીકેની જગ્યાએ શેલના કેન્દ્ર તરીકે બિંદુ પસંદ કરીને અન્ય પદ્ધતિઓથી અલગ પડે છે. આ અન્ય પદ્ધતિઓ કરતાં વધુ સચોટ અંદાજમાં પરિણમે છે પરંતુ વપરાશકર્તાના અંત પર વધુ કામ કરવાની જરૂર છે.

તફાવત જાણો

શેલ, વોશર અને ડિસ્ક પદ્ધતિઓ એ તમામ કેલ્ક્યુલસ સમસ્યાઓને હલ કરવાની રીતો છે.એકીકરણ

શેલ પદ્ધતિમાં એન્યુલસનું વોલ્યુમ શોધવાનો સમાવેશ થાય છે, જ્યારે ડિસ્ક પદ્ધતિમાં ફંક્શનના વળાંક હેઠળનો વિસ્તાર શોધવાનો સમાવેશ થાય છે. વોશર પદ્ધતિ શેલ પદ્ધતિ જેવી જ છે, પરંતુ તે એન્યુલસનું વોલ્યુમ શોધવા માટે એક અલગ તકનીકનો ઉપયોગ કરે છે.

શેલ પદ્ધતિ

શેલ પદ્ધતિનો ઉપયોગ આશરે વોલ્યુમ જાણવા માટે થાય છે. ઘનમાંથી કાપેલા પાતળા શેલની અનંત સંખ્યાના વોલ્યુમોનો સરવાળો કરીને ચોક્કસ ક્રોસ-સેક્શન સાથે ક્રાંતિમાં ઘન. શેલ પદ્ધતિ માત્ર ત્યારે જ માન્ય છે જ્યારે ક્રોસ-સેક્શનની જાડાઈ સતત હોય છે, તેથી તેનો ઉપયોગ અનિયમિત આકારના ઑબ્જેક્ટના વોલ્યુમ શોધવા માટે થઈ શકતો નથી.

વૉશર પદ્ધતિ

વોશર પદ્ધતિ સમાન છે શેલ પદ્ધતિમાં તે સિવાય કે ઘનમાંથી અસંખ્ય પાતળા શેલ કાપવાને બદલે, તમે તેમાંથી માત્ર એક જાડા શેલને કાપી નાખો (જે સતત જાડાઈ ધરાવે છે) અને પછી તેને સતત પહોળાઈ સાથે નાના ટુકડાઓમાં વિભાજીત કરો.

ડિસ્ક પદ્ધતિ

ડિસ્ક પદ્ધતિમાં તેમના કેન્દ્રોમાંથી પસાર થતી અક્ષની આસપાસ વિવિધ ત્રિજ્યા અને વિવિધ કોણીય સ્થિતિઓ સાથે વર્તુળોની શ્રેણી દોરવાનો સમાવેશ થાય છે; આ વર્તુળો એવા બિંદુઓ પર છેદે છે જે એકબીજાના પરિમિતિ પર આવેલા હોવા જોઈએ - બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, તેઓ ઓવરલેપ થાય છે - એવા ક્ષેત્રો બનાવે છે જે વર્તુળના પરિઘના ભાગોને રજૂ કરે છે.

ત્યારબાદ તમારા ઑબ્જેક્ટની આસપાસ પ્રત્યેક ત્રિજ્યા કેટલી વાર ફિટ થશે તેનો અંદાજ મેળવવા માટે આ સેક્ટર ઉમેરવામાં આવે છેતે જ અક્ષો સાથે તેમના નીચેના આંતરછેદો પર ફરીથી બધા વચ્ચે ઓવરલેપ થાય તે પહેલાંની પરિમિતિ.

કોષ્ટક તમને સારાંશ સ્વરૂપમાં ત્રણ પદ્ધતિઓ વચ્ચેનો તફાવત આપે છે.

અહીં ત્રણેય પદ્ધતિઓ સમજાવતી વિડિયો ક્લિપ છે.

તમારે ક્યારે વૉશર પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરવો જોઈએ અથવા શેલ પદ્ધતિ?

સિલિન્ડરની સપાટીના ક્ષેત્રફળની ગણતરી કરવા માટે ઘણી પદ્ધતિઓ અસ્તિત્વમાં છે. શેલ પદ્ધતિ તેમાંથી એક છે, પરંતુ તે હંમેશા સૌથી વધુ કાર્યક્ષમ અથવા સચોટ રીત નથી.

વોશર પદ્ધતિ ખરેખર કોઈ પદ્ધતિ નથી—તે કહેવાની બીજી રીત છે, “જ્યારે તમે આ કરો છો ત્યારે શું બાકી રહે છે બીજી વસ્તુ?" તે તમને સિલિન્ડરની અંદર શું થાય છે તે વિશે કંઈપણ કહેતું નથી; માત્ર બાહ્ય બાબતો શું છે.

તો તમારે કયો ઉપયોગ કરવો જોઈએ? તે તમે શું માપવાનો પ્રયાસ કરી રહ્યાં છો તેના પર નિર્ભર છે!

જો તમારે જાણવું હોય તો કેટલુંતમારી દિવાલો માટે પેઇન્ટની જરૂર પડશે, શેલ પદ્ધતિ તમને વોશર પદ્ધતિ કરતાં વધુ સારા પરિણામો આપશે કારણ કે તે વધુ ડેટા પોઈન્ટનો ઉપયોગ કરે છે. પરંતુ જો તમે તમારા ટાયરને કેટલા રબરની જરૂર છે તે માપવાનો પ્રયાસ કરી રહ્યાં છો, તો વોશર પદ્ધતિ વધુ સારી રીતે કામ કરશે કારણ કે તે ઓછા ડેટા પોઈન્ટનો ઉપયોગ કરે છે.

તમે કેવી રીતે જાણો છો કે તે ડિસ્ક છે કે વોશર?

વોશર અને ડિસ્ક વચ્ચેનો તફાવત તેમની રોટેશનલ સપ્રમાણતાની ડિગ્રીમાં રહેલો છે. ડિસ્કમાં સમપ્રમાણતાની કોઈ ધરી હોતી નથી, તેથી તેને કોઈપણ ખૂણા દ્વારા ફેરવી શકાય છે અને તે સમાન દેખાય છે. જો કે, વોશરમાં સમપ્રમાણતાની અક્ષ હોય છે-એક રેખા જે ઑબ્જેક્ટના બે ભાગોને સંરેખિત કરે છે.

કેલ્ક્યુલસમાં, તમે નીચેના સમીકરણનો ઉપયોગ કરીને ડિસ્ક અને વોશર વચ્ચેનો તફાવત કહી શકો છો:

ડિસ્ક: (વ્યાસ)2 – (ત્રિજ્યા)2 = ડિસ્કનો વિસ્તાર

વોશર: (વ્યાસ)2 < (ત્રિજ્યા)2

અંતિમ વિચારો

• કેલ્ક્યુલસમાં ડિસ્ક, વોશર અને શેલ પદ્ધતિઓ વચ્ચેનો મુખ્ય તફાવત એ છે કે તે દરેકમાં સમાન સમસ્યા માટે અલગ અલગ પરિણામો છે.
• ડિસ્ક પદ્ધતિમાં વળાંક હેઠળના વિસ્તારને વિભાગોમાં તોડીને અને તેમના વિસ્તારોને ઉમેરીને શોધવાનો સમાવેશ થાય છે. આ પદ્ધતિ ઘણા વળાંકો સાથેના કાર્યો માટે સારી રીતે કામ કરે છે પરંતુ જો ઓછા વળાંકો હોય તો ઓછી સારી રીતે કાર્ય કરે છે.
• વોશર પદ્ધતિમાં વળાંક હેઠળના વિસ્તારને વિભાગોમાં વિભાજીત કરવાનો અને તેમની પરિમિતિ ઉમેરવાનો સમાવેશ થાય છે. આ પદ્ધતિ બહુ ઓછા વળાંકો સાથેના કાર્યો માટે સારી રીતે કામ કરે છે પરંતુ જ્યારે ત્યાં હોય ત્યારે એટલી સારી નથીવધુ વણાંકો છે.
• શેલ પદ્ધતિમાં દરેક વળાંકની ઊંચાઈને તેની પહોળાઈ દ્વારા તેના વિસ્તારનો અંદાજિત ગુણાકાર કરવાનો સમાવેશ થાય છે. જ્યારે તમારે ઝડપથી અંદાજ મેળવવાની જરૂર હોય ત્યારે આ પદ્ધતિ સારી રીતે કાર્ય કરે છે પરંતુ ચોક્કસ જવાબ મેળવવાનો પ્રયાસ કરતી વખતે તે ખાસ કરીને સારી રીતે કામ કરતી નથી.

સંબંધિત લેખ