Calculul este un domeniu matematic care se ocupă cu studiul schimbării. Este unul dintre cele mai dificile și mai abstracte domenii ale matematicii moderne și este utilizat în aproape toate domeniile științei, ingineriei și afacerilor.

Calculul ne ajută să modelăm situații în care avem rate de schimbare, cum ar fi viteza sau accelerația. Acestea sunt adesea numite "ecuații diferențiale." Calculul ne permite, de asemenea, să rezolvăm probleme care implică limite: de exemplu, găsirea ariei unei curbe sau a volumului unui solid.

Puteți utiliza diferite metode pentru a rezolva diferite probleme. Câteva dintre aceste metode includ metodele de disc, de spălare și de coajă.

Principala diferență între metodele de calcul prin disc, șaibă și coajă este că toate folosesc abordări diferite pentru a aproxima o curbă. Metoda discului folosește o regiune circulară în jurul unei aproximări a curbei, în timp ce metoda șaibă folosește o regiune în formă de șaibă atunci când este privită de sus. Metoda coajă folosește o regiune în formă de coajă atunci când este privită de sus.

Să discutăm toate aceste metode în detaliu.

Ce se înțelege prin metoda discului?

Metoda de integrare a discului, cunoscută și sub numele de ecuația discului din calculul integral, calculează volumul unui solid pe revoluție atunci când este integrat de-a lungul axei paralele cu revoluția sa.

Metoda discului presupune împărțirea unui obiect în mai multe discuri sau cilindri mici și apoi adunarea volumelor acestor discuri mici pentru a determina volumul obiectului.

Raza unui cilindru este dată de o funcție f(x), iar înălțimea sa este determinată de x. Când variația lui x ajunge la zero și numărul de discuri crește la infinit, veți avea volumul real al obiectului și nu o estimare.

Formula de calcul a volumului prin metoda de integrare a discurilor este următoarea:

	=	distanța dintre funcție și axa de rotație
	=	limita superioară
	=	limita inferioară
	=	alunecă de-a lungul x

Ce se înțelege prin metoda de spălare?

Metoda spălătorului este o modalitate de a rezolva o ecuație diferențială. Se numește metoda spălătorului deoarece folosește un spălător ca analogie pentru modul în care funcționează.

O ecuație diferențială descrie modul în care o funcție necunoscută se modifică pe măsură ce trece timpul, chiar dacă nu este continuă. Este adesea utilizată pentru a modela lucruri precum valurile sau alte procese care se schimbă în timp, dar nu neapărat într-un mod uniform.

Pentru a rezolva y(t), trebuie să găsiți y(t) pentru toate valorile posibile ale lui t. Totuși, acest lucru poate fi dificil și poate consuma mult timp, deoarece există soluții infinite. Metoda spălătorului vă ajută să găsiți soluții folosind aproximări în loc de valori exacte.

• Acesta începe cu o presupunere inițială despre cum ar putea arăta soluția: y(t) = f(t).
• Apoi se găsește eroarea dintre această presupunere și ceea ce se întâmplă: e(t).
• Apoi, utilizați acest termen de eroare pentru a vă actualiza presupunerea: f'(t) = f* 2 - 2 f*e + c, unde c este o constantă arbitrară (nu contează ce valoare se alege).
• Apoi se repetă procesul până când eroarea devine mai mică decât epsilon.

Ce se înțelege prin metoda Shell?

În calcul, metoda cochiliei este o tehnică de determinare a volumului unui solid prin aproximarea acestuia cu o serie de cochilii concentrice. Este adesea utilizată pentru a determina volumul unui solid cu formă neregulată care nu poate fi ușor împărțit în forme simple ale căror volume sunt cunoscute.

Metoda cochiliei împarte forma în mai multe felii subțiri și apoi însumează toate volumele acestora. Feliile pot fi considerate cochilii, de unde și denumirea de "metoda cochiliei".

Metoda cochiliei diferă de alte metode prin alegerea unui punct ca centru al cochiliei în loc de punctul median al fiecărui subinterval ca centru. Acest lucru are ca rezultat aproximări mai precise decât alte metode, dar necesită mai multă muncă din partea utilizatorului.

Cunoașteți diferența

Metodele Shell, washher și disc sunt metode de rezolvare a problemelor de calcul care implică integrarea.

Metoda cochiliei presupune găsirea volumului unui inel, în timp ce metoda discului presupune găsirea ariei de sub curba unei funcții. O metodă de spălare este similară cu metoda cochiliei, dar folosește o tehnică diferită pentru a găsi volumul unui inel.

Metoda Shell

Metoda cochiliei este utilizată pentru a aproxima volumul unui solid în revoluție cu o secțiune transversală specificată prin însumarea volumelor unui număr infinit de cochilii subțiri tăiate din solid. Metoda cochiliei este valabilă numai atunci când secțiunea transversală are o grosime constantă, deci nu poate fi utilizată pentru a găsi volumul unui obiect cu formă neregulată.

Metoda de spălare

Metoda "washher" este similară cu metoda "shell", cu excepția faptului că, în loc să tăiați un număr infinit de cochilii subțiri din solid, tăiați doar o singură cochilie groasă (care are o grosime constantă) și apoi o împărțiți în bucăți mai mici cu o lățime constantă.

Metoda discului

Metoda discului presupune desenarea unei serii de cercuri cu raze diferite și poziții unghiulare diferite în jurul unei axe care trece prin centrele lor; aceste cercuri se intersectează în puncte care trebuie să se afle pe perimetrul fiecăruia - cu alte cuvinte, se suprapun - pentru a forma sectoare care reprezintă părți din circumferința unui cerc.

Aceste sectoare sunt apoi însumate pentru a obține o aproximare a numărului de ori în care fiecare rază se va potrivi în jurul perimetrului obiectului dumneavoastră înainte de a se suprapune din nou între ele la următoarele intersecții de-a lungul aceleiași axe.

Tabelul vă oferă diferența dintre cele trei metode sub formă de rezumat.

Iată un clip video care explică toate cele trei metode.

Când ar trebui să folosiți metoda "spălătorului" sau metoda "cojii"?

Există mai multe metode de calcul al suprafeței unui cilindru. Metoda cochiliei este una dintre ele, dar nu este întotdeauna cea mai eficientă sau cea mai precisă.

Metoda de spălare nu este cu adevărat o metodă - este doar un alt mod de a spune: "Ce rămâne după ce faci acest lucru?" Nu vă spune nimic despre ceea ce se întâmplă în interiorul cilindrului; contează doar ceea ce este străin.

Deci, ce ar trebui să folosiți? Depinde de ceea ce încercați să măsurați!

Dacă doriți să știți de câtă vopsea este nevoie pentru pereții dvs., metoda cochiliei vă va oferi rezultate mai bune decât metoda spălătorului, deoarece utilizează mai multe puncte de date. Dar dacă încercați să măsurați cât de mult cauciuc este necesar pentru anvelopele dvs., metoda spălătorului va funcționa mai bine deoarece utilizează mai puține puncte de date.

Cum știți dacă este un disc sau o mașină de spălat?

Diferența dintre o șaibă și un disc constă în gradul lor de simetrie rotațională. Un disc nu are o axă de simetrie, astfel încât poate fi rotit cu orice unghi și să apară la fel. O șaibă, însă, are o axă de simetrie - o linie care aliniază cele două jumătăți ale obiectului.

În calcul, puteți spune diferența dintre un disc și o șaibă folosind următoarea ecuație:

Discul: (diametru)2 - (rază)2 = aria discului

Șaibă: (diametru)2 <(rază)2

Gânduri finale

• Principala diferență între metodele de calcul cu disc, cu șaibă și cu coajă este că fiecare dintre ele are rezultate diferite pentru aceeași problemă.
• Metoda discului presupune găsirea ariei sub o curbă prin împărțirea acesteia în secțiuni și adunarea ariilor acestora. Această metodă funcționează bine pentru funcții cu multe curbe, dar mai puțin bine dacă există mai puține curbe.
• Metoda spălătoriei presupune împărțirea suprafeței de sub o curbă în secțiuni și adunarea perimetrelor acestora. Această metodă funcționează bine pentru funcțiile cu foarte puține curbe, dar nu atât de bine atunci când există mai multe curbe.
• Metoda cochiliei presupune înmulțirea înălțimii fiecărei curbe cu lățimea acesteia pentru a aproxima aria acesteia. Această metodă funcționează bine atunci când trebuie să obțineți rapid o aproximație, dar nu funcționează foarte bine atunci când încercați să obțineți un răspuns exact.

Articole conexe