Le calcul est un domaine mathématique qui traite de l'étude du changement. Il fait partie des domaines les plus difficiles et les plus abstraits des mathématiques modernes et est utilisé dans presque toutes les sciences, l'ingénierie et les affaires.

Le calcul nous aide à modéliser des situations dans lesquelles nous avons des taux de changement, tels que la vitesse ou l'accélération. Ces situations sont souvent appelées "équations différentielles". Le calcul nous permet également de résoudre des problèmes qui impliquent des limites : par exemple, trouver l'aire sous une courbe ou le volume d'un solide.

Vous pouvez utiliser différentes méthodes pour résoudre différents problèmes, notamment les méthodes du disque, de la rondelle et de la coquille.

La principale différence entre les méthodes du disque, de la rondelle et de la coquille en calcul est qu'elles utilisent toutes des approches différentes pour approximer une courbe. La méthode du disque utilise une région circulaire autour d'une approximation de la courbe, tandis que la rondelle utilise une région en forme de rondelle vue du dessus. La méthode de la coquille utilise une région en forme de coquille vue du dessus.

Examinons toutes ces méthodes en détail.

Qu'entend-on par "méthode du disque" ?

La méthode d'intégration du disque, également connue sous le nom d'équation du disque du calcul intégral, calcule le volume d'un solide par révolution lorsqu'elle est intégrée le long de l'axe parallèle à sa révolution.

La méthode du disque consiste à diviser un objet en plusieurs petits disques ou cylindres, puis à additionner les volumes de ces petits disques pour déterminer le volume de l'objet.

Le rayon d'un cylindre est donné par une fonction f(x), et sa hauteur est déterminée par x. Lorsque la variation de x atteint zéro et que le nombre de disques augmente à l'infini, vous obtenez le volume réel de l'objet plutôt qu'une estimation.

La formule de calcul du volume par la méthode d'intégration du disque est la suivante :

	=	distance entre la fonction et l'axe de rotation
	=	limite supérieure
	=	limite inférieure
	=	glisse le long de x

Que signifie la méthode du laveur ?

La méthode de la rondelle est une méthode de résolution d'une équation différentielle, appelée ainsi parce qu'elle utilise une rondelle comme analogie pour son fonctionnement.

Une équation différentielle décrit l'évolution d'une fonction inconnue au fil du temps, même si elle n'est pas continue. Elle est souvent utilisée pour modéliser des phénomènes tels que des vagues ou d'autres processus qui évoluent au fil du temps, mais pas nécessairement de manière régulière.

Pour résoudre y(t), vous devez trouver y(t) pour toutes les valeurs possibles de t. Cependant, cela peut être difficile et prendre du temps car il existe une infinité de solutions. La méthode Washer vous aide à trouver des solutions en utilisant des approximations plutôt que des valeurs exactes.

• Elle commence par une première estimation de la solution : y(t) = f(t).
• Vous trouverez ensuite l'erreur entre cette supposition et ce qui se produit : e(t).
• Vous utilisez ensuite ce terme d'erreur pour mettre à jour votre estimation : f'(t) = f* 2 - 2 f*e + c, où c est une constante arbitraire (la valeur choisie n'a pas d'importance).
• Répétez ensuite le processus jusqu'à ce que l'erreur devienne inférieure à epsilon.

Qu'entend-on par méthode des coquilles ?

En calcul, la méthode des coquilles est une technique permettant de trouver le volume d'un solide en l'approximant par une série de coquilles concentriques. Elle est souvent utilisée pour trouver le volume d'un solide de forme irrégulière qui ne peut pas être facilement divisé en formes simples pour lesquelles les volumes sont connus.

La méthode des coquilles consiste à diviser la forme en plusieurs tranches fines, puis à additionner tous leurs volumes. Les tranches peuvent être considérées comme des coquilles, d'où le nom de "méthode des coquilles".

La méthode de la coquille diffère des autres méthodes en choisissant un point comme centre de la coquille au lieu du point médian de chaque sous-intervalle comme centre, ce qui permet d'obtenir des approximations plus précises que les autres méthodes, mais nécessite plus de travail de la part de l'utilisateur.

Savoir faire la différence

Les méthodes de la coquille, de la rondelle et du disque sont toutes des façons de résoudre des problèmes de calcul impliquant l'intégration.

La méthode de la coquille consiste à trouver le volume d'un anneau, tandis que la méthode du disque consiste à trouver l'aire sous la courbe d'une fonction. La méthode de la rondelle est similaire à la méthode de la coquille, mais elle utilise une technique différente pour trouver le volume d'un anneau.

Méthode de la coquille

La méthode des coquilles est utilisée pour calculer approximativement le volume d'un solide de révolution avec une section transversale spécifiée en additionnant les volumes d'un nombre infini de coquilles minces découpées dans le solide. La méthode des coquilles n'est valable que lorsque la section transversale a une épaisseur constante, elle ne peut donc pas être utilisée pour trouver le volume d'un objet de forme irrégulière.

Méthode de lavage

La méthode de la rondelle est similaire à la méthode de la coquille, sauf qu'au lieu de découper un nombre infini de coquilles minces dans le solide, vous n'en découpez qu'une seule coquille épaisse (qui a une épaisseur constante) et vous la divisez ensuite en morceaux plus petits d'une largeur constante.

Méthode du disque

La méthode du disque consiste à tracer une série de cercles de rayons différents et de positions angulaires différentes autour d'un axe passant par leur centre ; ces cercles se croisent en des points qui doivent se situer sur le périmètre de l'autre - autrement dit, ils se chevauchent - pour former des secteurs qui représentent des parties de la circonférence d'un cercle.

Ces secteurs sont ensuite additionnés pour obtenir une approximation du nombre de fois que chaque rayon s'inscrit dans le périmètre de votre objet avant que des chevauchements ne se produisent à nouveau entre eux à leurs intersections suivantes le long de ces mêmes axes.

Le tableau résume la différence entre les trois méthodes.

Voici un clip vidéo expliquant les trois méthodes.

Quand faut-il utiliser la méthode du laveur ou celle de la coquille ?

Il existe plusieurs méthodes pour calculer la surface d'un cylindre, dont la méthode de la coquille, mais ce n'est pas toujours la plus efficace ou la plus précise.

La méthode de la rondelle n'est pas vraiment une méthode - c'est juste une autre façon de dire "Qu'est-ce qui reste quand on fait cette autre chose ?" Elle ne vous dit rien sur ce qui se passe à l'intérieur du cylindre ; seul ce qui est étranger compte.

Lequel utiliser ? Cela dépend de ce que vous essayez de mesurer !

Si vous souhaitez connaître la quantité de peinture nécessaire pour vos murs, la méthode de la coquille vous donnera de meilleurs résultats que la méthode de la rondelle car elle utilise plus de points de données. Mais si vous essayez de mesurer la quantité de caoutchouc nécessaire pour vos pneus, la méthode de la rondelle sera plus efficace car elle utilise moins de points de données.

Comment savoir s'il s'agit d'un disque ou d'une rondelle ?

La différence entre une rondelle et un disque réside dans leur degré de symétrie de rotation. Un disque n'a pas d'axe de symétrie, il peut donc être tourné de n'importe quel angle et apparaître identique. Une rondelle, en revanche, a un axe de symétrie - une ligne qui aligne les deux moitiés de l'objet.

En calcul, vous pouvez faire la différence entre un disque et une rondelle à l'aide de l'équation suivante :

Disque : (diamètre)2 - (rayon)2 = surface du disque

Rondelle : (diamètre)2 <; (rayon)2

Réflexions finales

• La principale différence entre les méthodes du disque, de la rondelle et de la coquille en calcul est qu'elles donnent chacune des résultats différents pour le même problème.
• La méthode du disque consiste à trouver l'aire sous une courbe en la divisant en sections et en additionnant leurs aires. Cette méthode fonctionne bien pour les fonctions comportant de nombreuses courbes, mais moins bien s'il y a moins de courbes.
• La méthode de la rondelle consiste à diviser l'aire sous une courbe en sections et à additionner leurs périmètres. Cette méthode fonctionne bien pour les fonctions comportant très peu de courbes, mais moins bien lorsqu'il y a plus de courbes.
• La méthode de la coquille consiste à multiplier la hauteur de chaque courbe par sa largeur pour obtenir une approximation de sa surface. Cette méthode fonctionne bien lorsqu'il s'agit d'obtenir rapidement une approximation, mais elle n'est pas particulièrement efficace lorsqu'il s'agit d'obtenir une réponse exacte.

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