Kalkul je matematický odbor, ktorý sa zaoberá štúdiom zmien. Patrí medzi najnáročnejšie a najabstraktnejšie oblasti modernej matematiky a používa sa takmer vo všetkých oblastiach vedy, techniky a podnikania.

Kalkul nám pomáha modelovať situácie, v ktorých máme k dispozícii miery zmien, napríklad rýchlosti alebo zrýchlenia. Tieto situácie sa často nazývajú "diferenciálne rovnice." Kalkul nám tiež umožňuje riešiť problémy, ktoré zahŕňajú limity: napríklad nájsť plochu pod krivkou alebo objem telesa.

Na riešenie rôznych problémov môžete použiť rôzne metódy. Medzi tieto metódy patrí metóda disku, podložky a shell.

Hlavný rozdiel medzi diskovou, podložkovou a škrupinovou metódou v počítaní spočíva v tom, že všetky používajú rôzne prístupy k aproximácii krivky. Disková metóda používa kruhovú oblasť okolo aproximácie krivky, zatiaľ čo podložka používa oblasť v tvare podložky pri pohľade zhora. Škrupinová metóda používa oblasť v tvare škrupiny pri pohľade zhora.

Poďme si všetky tieto metódy podrobne rozobrať.

Čo znamená metóda disku?

Metóda integrácie disku, známa aj ako rovnica disku integrálneho počtu, počíta objem telesa na jednu otáčku, keď sa integruje pozdĺž osi rovnobežnej s jeho otáčkou.

Metóda diskov zahŕňa rozdelenie objektu na mnoho malých diskov alebo valcov a následné sčítanie objemov týchto malých diskov, čím sa určí objem objektu.

Polomer valca je daný funkciou f(x) a jeho výška je určená x. Keď zmena x dosiahne nulu a počet diskov sa zväčší do nekonečna, získate skutočný objem objektu, a nie jeho odhad.

Vzorec na výpočet objemu pomocou metódy integrácie disku je nasledovný:

	=	vzdialenosť medzi funkciou a osou otáčania
	=	horná hranica
	=	spodná hranica
	=	sa posúva pozdĺž x

Čo znamená metóda podložky?

Metóda podložky je spôsob riešenia diferenciálnej rovnice. Metóda podložky sa nazýva preto, lebo ako analógiu pre jej fungovanie používa podložku.

Diferenciálna rovnica opisuje, ako sa neznáma funkcia mení s plynutím času, aj keď nie je spojitá. Často sa používa na modelovanie vecí, ako sú vlny alebo iné procesy, ktoré sa v čase menia, ale nie nevyhnutne plynulo.

Ak chcete vyriešiť y(t), musíte nájsť y(t) pre všetky možné hodnoty t. To však môže byť ťažké a časovo náročné, pretože riešení je nekonečne veľa. Metóda Washer vám pomôže nájsť riešenia pomocou aproximácií namiesto presných hodnôt.

• Začína sa počiatočným odhadom, ako by mohlo vyzerať vaše riešenie: y(t) = f(t).
• Potom zistíte chybu medzi týmto odhadom a tým, čo sa stane: e(t).
• Tento chybový výraz potom použijete na aktualizáciu svojho odhadu: f'(t) = f* 2 - 2 f*e + c, kde c je ľubovoľná konštanta (nezáleží na tom, akú hodnotu zvolíte).
• Potom postup opakujte, kým chyba nebude menšia ako epsilon.

Čo znamená metóda Shell?

Metóda škrupín je v matematike metóda na určenie objemu telesa pomocou aproximácie pomocou sústredných škrupín. Často sa používa na určenie objemu telesa nepravidelného tvaru, ktoré sa nedá jednoducho rozdeliť na jednoduché tvary, ktorých objemy sú známe.

Škrupinová metóda rozdelí útvar na mnoho tenkých plátkov a potom spočíta všetky ich objemy. Tieto plátky možno považovať za škrupiny, preto "škrupinová metóda".

Metóda škrupiny sa od ostatných metód líši tým, že ako stred škrupiny sa vyberie bod namiesto stredu každého podintervalu. Výsledkom sú presnejšie aproximácie ako pri iných metódach, ale vyžadujú si viac práce zo strany používateľa.

Poznajte rozdiely

Metódy plášťa, podložky a disku sú spôsoby riešenia výpočtových úloh zahŕňajúcich integráciu.

Pri škrupinovej metóde sa zisťuje objem prstenca, zatiaľ čo pri diskovej metóde sa zisťuje plocha pod krivkou funkcie. Metóda podložky je podobná škrupinovej metóde, ale na zistenie objemu prstenca sa používa iná technika.

Metóda škrupiny

Škrupinová metóda sa používa na aproximáciu objemu telesa v otáčkach s určeným prierezom sčítaním objemov nekonečného počtu tenkých škrupín vyrezaných z telesa. Škrupinová metóda je platná len vtedy, keď má prierez konštantnú hrúbku, takže sa nedá použiť na zistenie objemu objektu nepravidelného tvaru.

Metóda umývačky

Metóda podložky je podobná metóde škrupiny s tým rozdielom, že namiesto toho, aby ste z telesa vyrezali nekonečné množstvo tenkých škrupín, vyrežete z neho len jednu hrubú škrupinu (ktorá má konštantnú hrúbku) a potom ju rozdelíte na menšie časti s konštantnou šírkou.

Metóda diskov

Metóda kotúča spočíva v nakreslení série kružníc s rôznymi polomermi a rôznymi uhlovými polohami okolo osi prechádzajúcej ich stredmi; tieto kružnice sa pretínajú v bodoch, ktoré musia ležať na obvodoch kružníc - inými slovami, prekrývajú sa - a tvoria sektory, ktoré predstavujú časti obvodu kružnice.

Tieto sektory sa potom sčítajú, aby sa získala približná hodnota toho, koľkokrát sa každý polomer zmestí okolo obvodu vášho objektu, kým sa všetky opäť neprekrývajú v nasledujúcich priesečníkoch pozdĺž tých istých osí.

V tabuľke sú uvedené rozdiely medzi týmito tromi metódami v súhrnnej podobe.

Tu je videoklip s vysvetlením všetkých troch metód.

Kedy by ste mali použiť metódu podložky alebo metódu škrupiny?

Na výpočet plochy valca existuje niekoľko metód. Metóda škrupiny je jednou z nich, ale nie vždy je to najefektívnejší alebo najpresnejší spôsob.

Metóda podložky v skutočnosti nie je metódou - je to len iný spôsob, ako povedať: "Čo zostane, keď urobíte túto ďalšiu vec?" Nepovedá vám nič o tom, čo sa deje vo vnútri valca; dôležité je len to, čo je mimo neho.

Záleží na tom, čo sa snažíte merať!

Ak chcete zistiť, koľko farby by bolo potrebné na steny, metóda plášťa vám poskytne lepšie výsledky ako metóda podložky, pretože využíva viac dátových bodov. Ak sa však snažíte zmerať, koľko gumy potrebujú vaše pneumatiky, metóda podložky bude fungovať lepšie, pretože využíva menej dátových bodov.

Ako zistíte, či ide o disk alebo podložku?

Rozdiel medzi podložkou a diskom spočíva v stupni ich rotačnej symetrie. Disk nemá os symetrie, takže ho možno otočiť o ľubovoľný uhol a vyzerá rovnako. Podložka však má os symetrie - čiaru, ktorá vyrovnáva dve polovice objektu.

Rozdiel medzi diskom a podložkou môžete v počte určiť pomocou nasledujúcej rovnice:

Disk: (priemer)2 - (polomer)2 = plocha disku

Podložka: (priemer)2 <(polomer)2

Záverečné myšlienky

• Hlavný rozdiel medzi metódami disku, podložky a škrupiny v počítaní je ten, že každá z nich má iné výsledky pre ten istý problém.
• Metóda disku spočíva v nájdení plochy pod krivkou jej rozdelením na úseky a sčítaním ich plôch. Táto metóda funguje dobre pre funkcie s mnohými krivkami, ale menej dobre, ak je kriviek menej.
• Metóda podložky spočíva v rozdelení plochy pod krivkou na úseky a sčítaní ich obvodov. Táto metóda funguje dobre pre funkcie s veľmi malým počtom kriviek, ale nie je taká skvelá, keď je kriviek viac.
• Metóda škrupiny zahŕňa vynásobenie výšky každej krivky jej šírkou, čím sa aproximuje jej plocha. Táto metóda funguje dobre, keď potrebujete rýchlo získať aproximáciu, ale nefunguje veľmi dobre, keď sa snažíte získať presnú odpoveď.

Súvisiace články