Вылічэнне - гэта матэматычны напрамак, які займаецца вывучэннем змяненняў. Гэта адна з самых складаных і абстрактных абласцей сучаснай матэматыкі і выкарыстоўваецца амаль у кожнай навуцы, тэхніцы і бізнес-сферы.

Вылічэнне дапамагае нам мадэляваць сітуацыі, калі мы маем хуткасць змены, напрыклад, хуткасць або паскарэнне. Іх часта называюць «дыферэнцыяльнымі ўраўненнямі». Вылічэнне таксама дазваляе нам вырашаць задачы, якія ўключаюць абмежаванні: напрыклад, знайсці плошчу пад крывой або аб'ём цела.

Вы можаце выкарыстоўваць розныя метады для рашэння розных задач. Некаторыя з гэтых метадаў уключаюць метады дыска, шайбы і абалонкі.

Асноўнае адрозненне паміж метадамі дыска, шайбы і абалонкі ў вылічэнні заключаецца ў тым, што ўсе яны выкарыстоўваюць розныя падыходы да апраксімацыі крывой. Метад дыска выкарыстоўвае кругавую вобласць вакол набліжанай крывой, у той час як шайба выкарыстоўвае вобласць у форме шайбы, калі глядзець зверху. Метад абалонкі выкарыстоўвае вобласць, якая мае форму абалонкі, калі глядзець зверху.

Давайце абмяркуем усе гэтыя метады падрабязна.

Што маецца на ўвазе пад дыскам Метад?

Метад дыскавай інтэграцыі, таксама вядомы як ураўненне дыска інтэгральнага вылічэння, разлічвае аб'ём цвёрдага цела на абарот пры інтэграванні ўздоўж восі, паралельнай яго абарачэнню.

Метад дыска прадугледжваедзяленне аб'екта на мноства невялікіх дыскаў або цыліндраў, а затым складанне аб'ёмаў гэтых невялікіх дыскаў разам, каб вызначыць аб'ём аб'екта.

Радыус цыліндра задаецца функцыяй f(x), а яго вышыня вызначаецца х. Калі змяненне x дасягае нуля і колькасць дыскаў павялічваецца да бясконцасці, вы атрымаеце фактычны аб'ём аб'екта, а не ацэнку.

Формула для разліку аб'ёму метадам дыскавай інтэграцыі выглядае наступным чынам:

	=	адлегласць паміж функцыяй і воссю вярчэння
	=	верхняя мяжа
	=	ніжняя мяжа
	=	слізгае ўздоўж x

Што маецца на ўвазе пад метадам пральнай машыны?

Метад шайбы - гэта спосаб рашэння дыферэнцыяльнага ўраўнення. Яго называюць метадам шайбы, таму што яна выкарыстоўвае шайбу ў якасці аналогіі таго, як яна працуе.

Дыферэнцыяльнае ўраўненне апісвае, як невядомая функцыя змяняецца з цягам часу, нават калі яно не з'яўляецца бесперапынным. Ён часта выкарыстоўваецца для мадэлявання такіх рэчаў, як хвалі або іншыя працэсы, якія змяняюцца з цягам часу, але неабавязкова плаўна.

Каб вырашыць y(t), вам трэба знайсці y(t) для ўсіх магчымых значэнняў т. Аднак гэта можа быць складана і заняць шмат часу, таму што існуе бясконцая колькасць рашэнняў. Метад пральнай машыны дапамагае знайсці рашэннівыкарыстанне набліжэнняў замест дакладных значэнняў.

• Пачынаецца з першапачатковага здагадкі аб тым, як можа выглядаць ваша рашэнне: y(t) = f(t).
• Тады вы знаходзіце памылку паміж гэтай здагадкай і тым, што адбываецца: e(t).
• Вы выкарыстоўваеце гэты тэрмін памылкі, каб абнавіць здагадку: f'(t) = f* 2 – 2 f*e + c, дзе c - гэта адвольная канстанта (няважна, якое значэнне вы абралі).
• Затым паўтарайце працэс, пакуль памылка не стане меншай за эпсілон.

Што маецца на ўвазе пад метадам Shell?

У вылічэнні метад абалонак - гэта метад вызначэння аб'ёму цвёрдага цела шляхам яго набліжэння з дапамогай шэрагу канцэнтрычных абалонак. Ён часта выкарыстоўваецца для вызначэння аб'ёму цела няправільнай формы, якое не можа быць лёгка разбіта на простыя формы, аб'ёмы якіх вядомыя.

Метад абалонкі падзяляе форму на мноства тонкіх лустачак, а затым сумуе ўсе іх аб'ёмы. Зрэзы можна лічыць абалонкамі, адсюль і «метад абалонкі».

Метад абалонкі адрозніваецца ад іншых метадаў выбарам кропкі ў якасці цэнтра абалонкі замест сярэдзіны кожнага падінтэрвалу ў якасці цэнтра. Гэта прыводзіць да больш дакладных набліжэнняў, чым іншыя метады, але патрабуе большай працы з боку карыстальніка.

Ведайце розніцу

Метады абалонкі, шайбы і дыска - усе спосабы вырашэння задач вылічэння, якія ўключаюцьінтэграцыі.

Метад абалонкі прадугледжвае вызначэнне аб'ёму кальцавой прасторы, а метад дыска — вызначэнне плошчы пад крывой функцыі. Метад шайбы падобны да метаду абалонкі, але ён выкарыстоўвае іншую тэхніку для вызначэння аб'ёму кальцавога прасторы.

Метад абалонкі

Метад абалонкі выкарыстоўваецца для набліжэння аб'ёму цвёрдага цела, якое круціцца, з зададзеным папярочным сячэннем шляхам сумавання аб'ёмаў бясконцай колькасці тонкіх абалонак, выразаных з цвёрдага цела. Метад абалонкі дзейнічае толькі тады, калі сячэнне мае пастаянную таўшчыню, таму яго нельга выкарыстоўваць для вызначэння аб'ёму аб'екта няправільнай формы.

Метад шайбы

Метад шайбы падобны да метаду абалонкі, за выключэннем таго, што замест выразання бясконцай колькасці тонкіх абалонак з цвёрдага цела, вы выразаеце з яе толькі адну тоўстую абалонку (якая мае пастаянную таўшчыню), а затым падзяляеце яе на больш дробныя часткі з пастаяннай шырынёй.

Метад дыска

Метад дыска прадугледжвае маляванне серыі акружнасцей з рознымі радыусамі і рознымі вуглавымі палажэннямі вакол восі, якая праходзіць праз іх цэнтры; гэтыя кругі перасякаюцца ў кропках, якія павінны ляжаць па перыметрах адзін аднаго - іншымі словамі, яны перакрываюцца - утвараючы сектары, якія прадстаўляюць часткі акружнасці круга.

Гэтыя сектары складаюцца, каб атрымаць прыблізнае вызначэнне таго, колькі разоў кожны радыус будзе адпавядаць вакол вашага аб'ектаперыметр, перш чым зноў узнікнуць перакрыцці паміж усімі імі на іх наступных скрыжаваннях уздоўж тых самых восяў.

Табліца паказвае вам розніцу паміж трыма метадамі ў абагульненай форме.

Вось відэаролік, у якім тлумачацца ўсе тры метады.

Калі вы павінны выкарыстоўваць метад шайбы або метад Метад абалонкі?

Існуе некалькі метадаў вылічэння плошчы паверхні цыліндра. Метад абалонкі - адзін з іх, але гэта не заўсёды самы эфектыўны і дакладны спосаб.

Метад шайбы на самай справе не метад - гэта проста іншы спосаб сказаць: "Што застаецца, калі вы робіце гэта іншае?» Гэта нічога не паведамляе пра тое, што адбываецца ўнутры цыліндру; мае значэнне толькі тое, што старонняе.

Дык што вы павінны выкарыстоўваць? Гэта залежыць ад таго, што вы спрабуеце вымераць!

Калі вы хочаце ведаць, колькідля вашых сцен спатрэбіцца фарба, метад абалонкі дасць лепшыя вынікі, чым метад мыйкі, таму што ён выкарыстоўвае больш кропак дадзеных. Але калі вы спрабуеце вымераць, колькі гумы патрабуецца вашым шынам, метад шайбы будзе працаваць лепш, таму што ён выкарыстоўвае менш пунктаў даных.

Як даведацца, дыск гэта ці шайба?

Розніца паміж шайбай і дыскам заключаецца ў іх ступені круцільнай сіметрыі. Дыск не мае восі сіметрыі, таму яго можна паварочваць на любы кут і выглядаць аднолькава. Шайба, аднак, мае вось сіметрыі — лінію, якая выраўноўвае дзве паловы аб'екта.

У вылічэнні вы можаце вызначыць розніцу паміж дыскам і шайбай, выкарыстоўваючы наступнае ўраўненне:

Дыск: (дыяметр)2 – (радыус)2 = плошча дыска

Шайба: (дыяметр)2 < (радыус)2

Заключныя думкі

• Асноўная розніца паміж метадамі вылічэння з дыскам, шайбай і абалонкай у тым, што кожны з іх дае розныя вынікі для адной задачы.
• Метад дыска прадугледжвае знаходжанне плошчы пад крывой шляхам разбівання яе на ўчасткі і складання іх плошчаў. Гэты метад добра працуе для функцый з вялікай колькасцю крывых, але горш, калі крывых менш.
• Метад шайбы прадугледжвае дзяленне плошчы пад крывой на секцыі і даданне іх перыметраў. Гэты метад добра працуе для функцый з вельмі невялікай колькасцю крывых, але не вельмі добры, калі ёсцьбольш крывых.
• Метад абалонкі ўключае множанне вышыні кожнай крывой на яе шырыню, каб прыблізна вызначыць яе плошчу. Гэты метад добра працуе, калі вам трэба хутка атрымаць набліжэнне, але не вельмі добра, калі вы спрабуеце атрымаць дакладны адказ.

Артыкулы па тэме