حساب دیفرانسیل و انتگرال یک رشته ریاضی است که با مطالعه تغییر سروکار دارد. این یکی از چالش‌برانگیزترین و انتزاعی‌ترین زمینه‌ها در ریاضیات مدرن است و تقریباً در همه علوم، مهندسی، و حوزه‌های تجاری استفاده می‌شود.

حساب به ما کمک می‌کند موقعیت‌هایی را که در آن نرخ‌های تغییر داریم، مانند سرعت یا شتاب مدل‌سازی کنیم. اینها اغلب "معادلات دیفرانسیل" نامیده می شوند. حساب دیفرانسیل و انتگرال همچنین به ما اجازه می‌دهد تا مسائلی را که شامل محدودیت‌هایی هستند، حل کنیم: به عنوان مثال، یافتن ناحیه زیر منحنی یا حجم یک جامد.

شما می‌توانید از روش‌های مختلفی برای حل مسائل مختلف استفاده کنید. تعدادی از این روش ها شامل روش های دیسک، واشر و پوسته است.

تفاوت اصلی بین روش های دیسک، واشر و پوسته در حساب دیفرانسیل و انتگرال این است که همگی از روش های متفاوتی برای تقریب منحنی استفاده می کنند. روش دیسک از یک ناحیه دایره ای در اطراف یک منحنی تقریبی استفاده می کند، در حالی که واشر از ناحیه ای به شکل واشر استفاده می کند که از بالا مشاهده شود. روش پوسته وقتی از بالا مشاهده می شود از ناحیه ای به شکل پوسته استفاده می کند.

بیایید همه این روش ها را با جزئیات بحث کنیم.

منظور از دیسک چیست. روش؟

روش یکپارچه سازی دیسک، که به عنوان معادله دیسک حساب انتگرال نیز شناخته می شود، حجم یک جامد را در هر دور زمانی که در امتداد محور موازی با چرخش آن ادغام می شود، محاسبه می کند.

روش دیسک شاملتقسیم یک شی به تعداد زیادی دیسک یا استوانه کوچک و سپس جمع کردن حجم این دیسک های کوچک برای تعیین حجم جسم.

شعاع یک استوانه با تابع f(x) و ارتفاع آن با x تعیین می شود. وقتی تغییر x به صفر رسید و تعداد دیسک‌ها تا بی نهایت افزایش یافت، به جای تخمین، حجم واقعی شی را خواهید داشت.

فرمول محاسبه حجم از طریق روش ادغام دیسک به شرح زیر است:

	=	فاصله بین تابع و محور چرخش
	=	حد بالا
	=	حد پایین
	=	اسلاید در امتداد x

منظور از روش شستشو چیست؟

روش واشر راهی برای حل یک معادله دیفرانسیل است. این روش واشر نامیده می شود زیرا از واشر به عنوان قیاسی برای نحوه کار خود استفاده می کند.

یک معادله دیفرانسیل توضیح می دهد که چگونه یک تابع مجهول با گذشت زمان تغییر می کند، حتی اگر پیوسته نباشد. اغلب برای مدل‌سازی چیزهایی مانند امواج یا سایر فرآیندهایی که در طول زمان تغییر می‌کنند، استفاده می‌شود، اما نه لزوماً به روشی صاف.

برای حل y(t)، باید y(t) را برای همه مقادیر ممکن پیدا کنید. از t. با این حال، این می تواند دشوار و زمان بر باشد زیرا راه حل های بی نهایت وجود دارد. روش شستشو به شما کمک می کند راه حل هایی پیدا کنیدبا استفاده از تقریب ها به جای مقادیر دقیق.

• با یک حدس اولیه در مورد اینکه راه حل شما ممکن است شبیه باشد شروع می شود: y(t) = f(t).
• سپس خطای بین این حدس و آنچه اتفاق می‌افتد را پیدا می‌کنید: e(t).
• سپس از این عبارت خطا برای به روز رسانی حدس خود استفاده می کنید: f'(t) = f* 2 – 2 f*e + c، که در آن c یک ثابت دلخواه (مهم نیست چه مقداری را انتخاب می کنید).
• سپس این فرآیند را تکرار کنید تا خطا از اپسیلون کوچکتر شود.

منظور از روش پوسته چیست؟

در حساب دیفرانسیل و انتگرال، روش پوسته تکنیکی برای یافتن حجم یک جامد با تقریب آن با یک سری پوسته های متحدالمرکز است. اغلب برای یافتن حجم یک جامد با شکل نامنظم استفاده می شود که به راحتی نمی توان آن را به اشکال ساده ای که حجم آن مشخص است تقسیم کرد.

روش پوسته شکل را به برش های نازک زیادی تقسیم می کند و سپس تمام حجم های آنها را خلاصه می کند. برش ها را می توان پوسته در نظر گرفت، از این رو "روش پوسته".

روش پوسته با انتخاب یک نقطه به عنوان مرکز پوسته به جای نقطه میانی هر زیر بازه به عنوان مرکز، با روش های دیگر متفاوت است. این به تقریب‌های دقیق‌تری نسبت به روش‌های دیگر منجر می‌شود، اما به کار بیشتر کاربر نیاز دارد.

تفاوت را بدانید

روش‌های پوسته، واشر و دیسک همه راه‌هایی برای حل مسائل حساب دیفرانسیل و انتگرال هستند.ادغام.

روش پوسته شامل یافتن حجم یک حلقه است، در حالی که روش دیسک شامل یافتن ناحیه زیر منحنی تابع است. روش شستشو شبیه به روش پوسته است، اما از روش متفاوتی برای یافتن حجم حلق استفاده می کند.

روش پوسته

روش پوسته برای تقریبی حجم استفاده می شود. یک جامد در چرخش با سطح مقطع مشخص با جمع کردن حجم بی نهایت پوسته نازک بریده شده از جامد. روش پوسته تنها زمانی معتبر است که سطح مقطع دارای ضخامت ثابت باشد، بنابراین نمی توان از آن برای یافتن حجم یک جسم نامنظم استفاده کرد.

روش شستشو

روش واشر مشابه است. به روش پوسته با این تفاوت که به جای بریدن تعداد بی نهایت پوسته نازک از جامد، فقط یک پوسته ضخیم را از آن جدا می کنید (که ضخامت ثابتی دارد) و سپس آن را به قطعات کوچکتر با عرض ثابت تقسیم می کنید.

روش دیسک

روش دیسک شامل رسم یک سری دایره با شعاع های مختلف و موقعیت های زاویه ای مختلف حول محوری است که از مرکز آنها می گذرد. این دایره‌ها در نقاطی که باید در محیط یکدیگر قرار گیرند - به عبارت دیگر همپوشانی دارند - قطع می‌شوند تا بخش‌هایی را تشکیل دهند که بخش‌هایی از محیط یک دایره را نشان می‌دهند.

سپس این بخش ها جمع می شوند تا تقریبی به دست آید که هر شعاع چند بار در اطراف شیء شما قرار می گیردمحیط قبل از اینکه همپوشانی بین همه آنها دوباره در تقاطعات بعدی آنها در امتداد همان محورها رخ دهد.

جدول تفاوت بین سه روش را به صورت خلاصه شده به شما نشان می دهد.

این یک کلیپ ویدیویی است که هر سه روش را توضیح می دهد.

چه زمانی باید از روش شستشو یا روش شستشو استفاده کنید. روش پوسته؟

روش های مختلفی برای محاسبه مساحت یک سیلندر وجود دارد. روش پوسته یکی از آنهاست، اما همیشه کارآمدترین یا دقیق‌ترین راه نیست.

روش شستشو در واقع یک روش نیست، بلکه فقط روش دیگری است برای گفتن، «وقتی این کار را انجام می‌دهید، چه چیزی باقی می‌ماند. چیز دیگر؟" چیزی در مورد آنچه در داخل سیلندر اتفاق می افتد به شما نمی گوید. فقط چیزهای اضافی مهم است.

بنابراین از کدام باید استفاده کنید؟ بستگی به این دارد که چه چیزی را می خواهید اندازه بگیرید!

اگر می خواهید بدانید چقدر استرنگ برای دیوارهای شما مورد نیاز است، روش پوسته نتایج بهتری نسبت به روش شستشو به شما می دهد زیرا از نقاط داده بیشتری استفاده می کند. اما اگر می‌خواهید میزان لاستیک مورد نیاز لاستیک‌هایتان را اندازه‌گیری کنید، روش شستشو بهتر عمل می‌کند زیرا از نقاط داده کمتری استفاده می‌کند.

چگونه می‌دانید که دیسک است یا واشر؟

تفاوت بین واشر و دیسک در میزان تقارن چرخشی آنها نهفته است. یک دیسک هیچ محور تقارن ندارد، بنابراین می تواند از هر زاویه ای بچرخد و یکسان ظاهر شود. با این حال، واشر دارای یک محور تقارن است - خطی که دو نیمه جسم را تراز می کند.

در حساب دیفرانسیل و انتگرال، می توانید با استفاده از معادله زیر تفاوت بین دیسک و واشر را تشخیص دهید:

دیسک: (قطر)2 – (شعاع)2 = مساحت دیسک

واشر: (قطر)2 < (radius)2

Final Thoughts

• تفاوت اصلی بین روش های دیسک، واشر و پوسته در حساب دیفرانسیل و انتگرال این است که هر کدام نتایج متفاوتی برای یک مسئله دارند.
• روش دیسک شامل یافتن ناحیه زیر منحنی با شکستن آن به بخش ها و جمع کردن مساحت آنها است. این روش برای توابع با منحنی های زیاد به خوبی کار می کند، اما اگر منحنی های کمتری وجود داشته باشد، کارایی کمتری دارد.
• روش واشر شامل تقسیم ناحیه زیر منحنی به بخش ها و اضافه کردن محیط آنها است. این روش برای توابعی با منحنی های بسیار کم، اما در صورت وجود، چندان عالی نیستمنحنی های بیشتری هستند.
• روش پوسته شامل ضرب ارتفاع هر منحنی در عرض آن برای تقریب مساحت آن است. این روش زمانی که نیاز به تقریب سریع دارید به خوبی کار می کند، اما زمانی که سعی می کنید پاسخ دقیقی دریافت کنید، به خوبی کار نمی کند.

مقالات مرتبط