Калкулусът е математическа област, която се занимава с изучаването на промяната. Той е сред най-предизвикателните и абстрактни области в съвременната математика и се използва в почти всички области на науката, инженерството и бизнеса.

Калкулусът ни помага да моделираме ситуации, в които имаме скорости на изменение, като например скорост или ускорение. Те често се наричат "диференциални уравнения". Калкулусът ни позволява също така да решаваме задачи, които включват граници: например намиране на площта под крива или обема на твърдо тяло.

Можете да използвате различни методи за решаване на различни проблеми. Няколко от тези методи включват дисковия метод, метода на шайбата и метода на черупката.

Основната разлика между методите на диска, шайбата и черупката в смятането е, че всички те използват различни подходи за апроксимиране на крива. Методът на диска използва кръгова област около апроксимация на кривата, докато при шайбата се използва област с форма на шайба, когато се гледа отгоре. Методът на черупката използва област с форма на черупка, когато се гледа отгоре.

Нека разгледаме подробно всички тези методи.

Какво означава методът на диска?

Методът на интегриране на диска, известен също като уравнение на диска на интегралното смятане, изчислява обема на едно твърдо тяло за един оборот, когато се интегрира по оста, успоредна на неговия оборот.

Дисковият метод включва разделяне на обекта на много малки дискове или цилиндри и след това събиране на обемите на тези малки дискове, за да се определи обемът на обекта.

Радиусът на един цилиндър се задава с функцията f(x), а височината му се определя от x. Когато промяната в x достигне нула и броят на дисковете се увеличи до безкрайност, ще получите действителния обем на обекта, а не приблизителна оценка.

Формулата за изчисляване на обема чрез метода на интегриране на диска е следната:

	=	разстояние между функцията и оста на въртене
	=	горна граница
	=	долна граница
	=	се плъзга по x

Какво означава методът на миене?

Методът на шайбата е начин за решаване на диференциално уравнение. Нарича се метод на шайбата, защото използва шайба като аналогия за начина на работа.

Диференциалното уравнение описва как неизвестна функция се променя с течение на времето, дори и да не е непрекъсната. То често се използва за моделиране на неща като вълни или други процеси, които се променят с течение на времето, но не непременно по плавен начин.

За да решите проблема y(t), трябва да намерите y(t) за всички възможни стойности на t. Това обаче може да бъде трудно и отнемащо време, тъй като има безкрайно много решения. Методът на шайбата ви помага да намерите решения, като използвате приближения вместо точни стойности.

• Започва се с първоначално предположение за това как може да изглежда вашето решение: y(t) = f(t).
• След това намирате грешката между това предположение и това, което се случва: e(t).
• След това използвате този термин за грешка, за да актуализирате предположението си: f'(t) = f* 2 - 2 f*e + c, където c е произволна константа (няма значение каква стойност ще изберете).
• След това повторете процеса, докато грешката стане по-малка от епсилон.

Какво означава методът Shell?

Методът на черупките е метод за намиране на обема на твърдо тяло чрез апроксимирането му с поредица от концентрични черупки. Често се използва за намиране на обема на твърдо тяло с неправилна форма, което не може лесно да се раздели на прости форми, чиито обеми са известни.

Методът на черупките разделя фигурата на много тънки срезове и след това сумира всички техни обеми. Срезовете могат да се разглеждат като черупки, откъдето идва и наименованието "метод на черупките".

Методът на черупката се различава от другите методи, тъй като за център на черупката се избира точка, а не средата на всеки подинтервал. Това води до по-точни приближения в сравнение с другите методи, но изисква повече работа от страна на потребителя.

Познайте разликата

Методите на черупката, шайбата и диска са начини за решаване на задачи по смятане, включващи интегриране.

Методът на черупката включва намиране на обема на пръстен, докато методът на диска включва намиране на площта под кривата на функция. Методът на шайбата е подобен на метода на черупката, но използва различна техника за намиране на обема на пръстен.

Метод на черупката

Методът на черупките се използва за приблизително определяне на обема на твърдо тяло в оборот с определено напречно сечение чрез сумиране на обемите на безкраен брой тънки черупки, изрязани от твърдото тяло. Методът на черупките е валиден само когато напречното сечение има постоянна дебелина, така че не може да се използва за определяне на обема на обект с неправилна форма.

Метод на миене

Методът на шайбите е подобен на метода на черупките, с тази разлика, че вместо да изрязвате безкраен брой тънки черупки от твърдото тяло, изрязвате само една дебела черупка от него (която има постоянна дебелина) и след това я разделяте на по-малки парчета с постоянна ширина.

Дисков метод

Методът на диска включва начертаване на поредица от окръжности с различни радиуси и различни ъглови положения около ос, минаваща през техните центрове; тези окръжности се пресичат в точки, които трябва да лежат на периметъра на всяка от тях - с други думи, те се припокриват, за да образуват сектори, които представляват части от окръжността на кръга.

След това тези сектори се сумират, за да се получи приблизителна оценка на това колко пъти всеки радиус ще се вмести в периметъра на обекта ви, преди да настъпят отново припокривания между всички тях в следващите им пресечни точки по същите оси.

В таблицата е представена разликата между трите метода в обобщен вид.

Ето един видеоклип, в който се обясняват и трите метода.

Кога трябва да използвате метода на миенето или метода на черупките?

Съществуват няколко метода за изчисляване на площта на цилиндър. Методът на черупката е един от тях, но той не винаги е най-ефективният или най-точният начин.

Методът на шайбата всъщност не е метод - това е просто друг начин да се каже: "Какво остава, когато направите това друго нещо?" Той не ви казва нищо за това, което се случва вътре в цилиндъра; значение има само това, което е външно.

И така, кой да използвате? Зависи от това какво се опитвате да измерите!

Ако искате да разберете колко боя ще е необходима за стените ви, методът на черупките ще ви даде по-добри резултати от метода на миещите машини, защото използва повече точки с данни. Но ако се опитвате да измерите колко гума е необходима за гумите ви, методът на миещите машини ще работи по-добре, защото използва по-малко точки с данни.

Как да разберете дали става дума за диск или за шайба?

Разликата между шайбата и диска се състои в степента на ротационна симетрия. Дискът няма ос на симетрия, така че може да бъде завъртян под всякакъв ъгъл и да изглежда по същия начин. Шайбата обаче има ос на симетрия - линия, която изравнява двете половини на обекта.

В областта на смятането можете да определите разликата между диск и шайба, като използвате следното уравнение:

Диск: (диаметър)2 - (радиус)2 = площ на диска

Шайба: (диаметър)2 <(радиус)2

Заключителни мисли

• Основната разлика между методите на диска, шайбата и черупката в смятането е, че всеки от тях дава различни резултати за една и съща задача.
• Методът на диска включва намиране на площта под кривата чрез разделянето ѝ на участъци и сумиране на техните площи. Този метод работи добре за функции с много криви, но по-слабо, ако кривите са по-малко.
• Методът на шайбата включва разделяне на площта под кривата на участъци и събиране на техните периметри. Този метод работи добре за функции с много малко криви, но не е толкова добър, когато има повече криви.
• Методът на черупката включва умножаване на височината на всяка крива по ширината ѝ, за да се определи приблизително площта ѝ. Този метод работи добре, когато трябва бързо да получите приблизителна стойност, но не работи особено добре, когато се опитвате да получите точен отговор.

Свързани статии