Il calcolo è un campo matematico che si occupa dello studio delle variazioni; è uno dei campi più impegnativi e astratti della matematica moderna e viene utilizzato in quasi tutte le aree scientifiche, ingegneristiche ed economiche.

Il calcolo ci aiuta a modellare situazioni in cui abbiamo tassi di cambiamento, come la velocità o l'accelerazione, che spesso vengono chiamate "equazioni differenziali". Il calcolo ci permette anche di risolvere problemi che coinvolgono i limiti: per esempio, trovare l'area sotto una curva o il volume di un solido.

È possibile utilizzare metodi diversi per risolvere problemi diversi, tra cui i metodi del disco, della rondella e della conchiglia.

La differenza principale tra i metodi del disco, della rondella e della conchiglia nel calcolo è che tutti utilizzano approcci diversi per approssimare una curva. Il metodo del disco utilizza una regione circolare intorno a un'approssimazione della curva, mentre la rondella utilizza una regione a forma di rondella vista dall'alto. Il metodo della conchiglia utilizza una regione a forma di conchiglia vista dall'alto.

Analizziamo tutti questi metodi in dettaglio.

Cosa si intende per metodo del disco?

Il metodo di integrazione del disco, noto anche come equazione del disco del calcolo integrale, calcola il volume di un solido per rivoluzione quando viene integrato lungo l'asse parallelo alla sua rivoluzione.

Il metodo del disco consiste nel dividere un oggetto in tanti piccoli dischi o cilindri e nel sommare i volumi di questi piccoli dischi per determinare il volume dell'oggetto.

Il raggio di un cilindro è dato da una funzione f(x) e la sua altezza è determinata da x. Quando la variazione di x raggiunge lo zero e il numero di dischi aumenta all'infinito, si avrà il volume effettivo dell'oggetto anziché una stima.

La formula per il calcolo del volume attraverso il metodo di integrazione del disco è la seguente:

	=	distanza tra la funzione e l'asse di rotazione
	=	limite superiore
	=	limite inferiore
	=	scorre lungo x

Che cosa si intende per metodo di lavaggio?

Il metodo della rondella è un metodo per risolvere un'equazione differenziale. Si chiama metodo della rondella perché utilizza una rondella come analogia per il suo funzionamento.

Un'equazione differenziale descrive il modo in cui una funzione sconosciuta cambia al passare del tempo, anche se non è continua. Viene spesso utilizzata per modellare cose come le onde o altri processi che cambiano nel tempo, ma non necessariamente in modo uniforme.

Per risolvere y(t), è necessario trovare y(t) per tutti i possibili valori di t. Tuttavia, questa operazione può essere difficile e richiedere molto tempo, perché le soluzioni sono infinite. Il Metodo Washer aiuta a trovare le soluzioni utilizzando approssimazioni anziché valori esatti.

• Si parte da un'ipotesi iniziale di soluzione: y(t) = f(t).
• Poi si trova l'errore tra questa ipotesi e ciò che accade: e(t).
• Si utilizza quindi questo termine di errore per aggiornare la propria ipotesi: f'(t) = f* 2 - 2 f*e + c, dove c è una costante arbitraria (non importa il valore scelto).
• Quindi ripetere il processo finché l'errore non diventa più piccolo di epsilon.

Cosa si intende per metodo a conchiglia?

Nel calcolo, il metodo delle conchiglie è una tecnica per trovare il volume di un solido approssimandolo con una serie di conchiglie concentriche. Viene spesso utilizzato per trovare il volume di un solido di forma irregolare che non può essere facilmente suddiviso in forme semplici di cui si conoscono i volumi.

Il metodo dei gusci divide la forma in tante fette sottili e poi somma tutti i loro volumi. Le fette possono essere considerate gusci, da cui il termine "metodo dei gusci".

Il metodo della conchiglia si differenzia dagli altri metodi per la scelta di un punto come centro della conchiglia, anziché del punto medio di ciascun sottointervallo, ottenendo approssimazioni più precise rispetto agli altri metodi, ma richiedendo un maggiore lavoro da parte dell'utente.

Conoscere la differenza

I metodi della conchiglia, della rondella e del disco sono tutti metodi per risolvere problemi di calcolo che prevedono l'integrazione.

Il metodo della conchiglia consiste nell'individuare il volume di un anulus, mentre il metodo del disco consiste nel trovare l'area sotto la curva di una funzione. Il metodo della rondella è simile al metodo della conchiglia, ma utilizza una tecnica diversa per trovare il volume di un anulus.

Metodo a conchiglia

Il metodo dei gusci viene utilizzato per approssimare il volume di un solido in rivoluzione con una sezione trasversale specifica sommando i volumi di un numero infinito di gusci sottili tagliati dal solido. Il metodo dei gusci è valido solo quando la sezione trasversale ha uno spessore costante, quindi non può essere utilizzato per trovare il volume di un oggetto di forma irregolare.

Metodo della rondella

Il metodo delle rondelle è simile a quello delle conchiglie, ma invece di tagliare un numero infinito di conchiglie sottili dal solido, si taglia una sola conchiglia spessa (di spessore costante) e la si divide in pezzi più piccoli di larghezza costante.

Metodo del disco

Il metodo del disco consiste nel disegnare una serie di cerchi con raggi diversi e posizioni angolari differenti attorno a un asse che passa per il loro centro; questi cerchi si intersecano in punti che devono trovarsi sui rispettivi perimetri - in altre parole, si sovrappongono - per formare settori che rappresentano parti della circonferenza di un cerchio.

Questi settori vengono poi sommati per ottenere un'approssimazione del numero di volte in cui ciascun raggio si inserisce nel perimetro dell'oggetto, prima che si verifichino nuovamente sovrapposizioni tra tutti i settori nelle loro intersezioni successive lungo gli stessi assi.

La tabella mostra la differenza tra i tre metodi in forma sintetica.

Ecco un video che spiega tutti e tre i metodi.

Quando si deve usare il metodo della rondella o quello della conchiglia?

Esistono diversi metodi per calcolare la superficie di un cilindro: il metodo delle conchiglie è uno di questi, ma non sempre è il più efficiente o accurato.

Il metodo della rondella non è un vero e proprio metodo, è solo un altro modo per dire: "Cosa rimane quando si fa quest'altra cosa?" Non ci dice nulla di ciò che accade all'interno del cilindro, ma solo ciò che è estraneo.

Dipende da cosa si sta cercando di misurare!

Se volete sapere quanta vernice è necessaria per le vostre pareti, il metodo della conchiglia vi darà risultati migliori di quello della rondella, perché utilizza più punti dati. Ma se state cercando di misurare la quantità di gomma necessaria per i vostri pneumatici, il metodo della rondella funzionerà meglio perché utilizza meno punti dati.

Come si fa a sapere se si tratta di un disco o di una rondella?

La differenza tra una rondella e un disco sta nel loro grado di simmetria rotazionale. Un disco non ha un asse di simmetria, quindi può essere ruotato di qualsiasi angolo e apparire uguale. Una rondella, invece, ha un asse di simmetria, una linea che allinea le due metà dell'oggetto.

In termini di calcolo, è possibile determinare la differenza tra un disco e una rondella utilizzando la seguente equazione:

Disco: (diametro)2 - (raggio)2 = area del disco

Rondella: (diametro)2 <(raggio)2

Pensieri finali

• La differenza principale tra i metodi del disco, della rondella e della conchiglia nel calcolo è che ognuno di essi produce risultati diversi per lo stesso problema.
• Il metodo del disco consiste nel trovare l'area sotto una curva dividendola in sezioni e sommando le loro aree. Questo metodo funziona bene per funzioni con molte curve, ma meno bene se le curve sono meno numerose.
• Il metodo della rondella consiste nel dividere l'area sotto una curva in sezioni e sommare i loro perimetri. Questo metodo funziona bene per funzioni con poche curve, ma non è altrettanto valido quando ci sono più curve.
• Il metodo della conchiglia consiste nel moltiplicare l'altezza di ogni curva per la sua larghezza per approssimarne l'area. Questo metodo funziona bene quando è necessario ottenere un'approssimazione rapida, ma non funziona particolarmente bene quando si cerca di ottenere una risposta esatta.

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