حساب التفاضل والتكامل هو مجال رياضي يتعامل مع دراسة التغيير. إنه من بين أكثر المجالات تحديًا وتجريدًا في الرياضيات الحديثة ويستخدم في كل مجالات العلوم والهندسة والأعمال تقريبًا.

يساعدنا التفاضل والتكامل في نمذجة المواقف التي لدينا فيها معدلات تغيير ، مثل السرعة أو التسارع. غالبًا ما تسمى هذه "المعادلات التفاضلية". يسمح لنا حساب التفاضل والتكامل أيضًا بحل المسائل التي تتضمن حدودًا: على سبيل المثال ، إيجاد المساحة الواقعة أسفل منحنى أو حجم مادة صلبة.

يمكنك استخدام طرق مختلفة لحل مسائل مختلفة. تتضمن بعض هذه الطرق طرق القرص والغسالة والغلاف.

الفرق الرئيسي بين طرق القرص والغسالة والصدفة في حساب التفاضل والتكامل هو أنها تستخدم جميعًا طرقًا مختلفة لتقريب منحنى. تستخدم طريقة القرص منطقة دائرية حول تقريب للمنحنى ، بينما تستخدم الغسالة منطقة تشبه الغسالة عند عرضها من أعلى. تستخدم طريقة الصدفة منطقة على شكل صدفة عند عرضها من الأعلى.

دعونا نناقش كل هذه الطرق بالتفصيل.

ماذا يعني القرص طريقة؟

طريقة تكامل القرص ، والمعروفة أيضًا باسم معادلة قرص حساب التفاضل والتكامل المتكامل ، تحسب حجم مادة صلبة لكل دورة عند التكامل على طول المحور الموازي لدورتها.

تتضمن طريقة القرصتقسيم كائن إلى العديد من الأقراص أو الأسطوانات الصغيرة ثم إضافة أحجام هذه الأقراص الصغيرة معًا لتحديد حجم الكائن.

يتم إعطاء نصف قطر الأسطوانة بواسطة الدالة f (x) ، ويتم تحديد ارتفاعها بواسطة x. عندما يصل التغيير في x إلى الصفر ويزيد عدد الأقراص إلى ما لا نهاية ، سيكون لديك الحجم الفعلي للكائن بدلاً من التقدير.

تكون صيغة حساب الحجم من خلال طريقة تكامل القرص كما يلي:

	=	المسافة بين الوظيفة ومحور الدوران
	=	الحد الأعلى
	=	الحد الأدنى
	=	ينزلق على طول x

ما المقصود بطريقة الغسالة؟

طريقة الغسالة هي طريقة لحل المعادلة التفاضلية. يطلق عليها طريقة الغسالة لأنها تستخدم الغسالة كمقياس لكيفية عملها.

تصف المعادلة التفاضلية كيف تتغير وظيفة غير معروفة بمرور الوقت ، حتى لو لم تكن متصلة. غالبًا ما تستخدم لنمذجة أشياء مثل الموجات أو العمليات الأخرى التي تتغير بمرور الوقت ، ولكن ليس بالضرورة بطريقة سلسة.

لحل y (t) ، تحتاج إلى إيجاد y (t) لجميع القيم الممكنة. من ر. ومع ذلك ، قد يكون هذا صعبًا ويستغرق وقتًا طويلاً نظرًا لوجود حلول غير محدودة. تساعدك طريقة الغسالة على إيجاد الحلولباستخدام القيم التقريبية بدلاً من القيم الدقيقة.

• يبدأ بتخمين أولي لما قد يبدو عليه الحل الخاص بك: y (t) = f (t).
• ثم تجد الخطأ بين هذا التخمين وما يحدث: e (t).
• ثم تستخدم مصطلح الخطأ هذا لتحديث تخمينك: f '(t) = f * 2 - 2 f * e + c، حيث c هو ثابت تعسفي (لا يهم القيمة التي تختارها).
• ثم كرر العملية حتى يصبح الخطأ أصغر من إبسيلون.

ما المقصود بطريقة شل؟

في حساب التفاضل والتكامل ، طريقة الغلاف هي تقنية لإيجاد حجم مادة صلبة عن طريق تقريبها بسلسلة من الأصداف متحدة المركز. غالبًا ما يتم استخدامه للعثور على حجم مادة صلبة غير منتظمة الشكل لا يمكن تقسيمها بسهولة إلى أشكال بسيطة تُعرف أحجامها.

طريقة الغلاف تقسم الشكل إلى عدة شرائح رفيعة ثم تلخص كل أحجامها. يمكن اعتبار الشرائح قذائف ، ومن هنا جاءت "طريقة الغلاف".

تختلف طريقة الغلاف عن الطرق الأخرى باختيار نقطة كمركز للقشرة بدلاً من نقطة المنتصف لكل فترة فرعية كمركز. ينتج عن هذا تقديرات تقريبية أكثر دقة من الطرق الأخرى ولكنه يتطلب مزيدًا من العمل على المستخدم.

تعرف على الفرق

تعد طرق الصدفة والغسالة والقرص كلها طرقًا لحل مشاكل التفاضل والتكامل التي تتضمناندماج.

تتضمن طريقة الغلاف إيجاد حجم الحلقة ، بينما تتضمن طريقة القرص إيجاد المنطقة الواقعة أسفل منحنى الوظيفة. تشبه طريقة الغسالة طريقة الغلاف ، ولكنها تستخدم تقنية مختلفة للعثور على حجم الحلقة.

طريقة شل

تُستخدم طريقة الغلاف لتقريب الحجم من مادة صلبة في ثورة مع مقطع عرضي محدد عن طريق جمع أحجام عدد لا حصر له من الأصداف الرقيقة المقطوعة من المادة الصلبة. طريقة الغلاف تكون صالحة فقط عندما يكون للمقطع العرضي سمك ثابت ، لذلك لا يمكن استخدامه للعثور على حجم جسم غير منتظم الشكل.

طريقة الغسالة

طريقة الغسالة مماثلة إلى طريقة القشرة باستثناء أنه بدلاً من قطع عدد لا حصر له من الأصداف الرقيقة من المادة الصلبة ، فإنك تقطع منها قشرة سميكة واحدة (لها سمك ثابت) ثم قسمتها إلى قطع أصغر بعرض ثابت.

طريقة القرص

تتضمن طريقة القرص رسم سلسلة من الدوائر ذات أنصاف أقطار مختلفة ومواضع زوايا مختلفة حول محور يمر عبر مراكزها ؛ تتقاطع هذه الدوائر عند نقاط يجب أن تقع على محيط بعضها البعض - بمعنى آخر ، أنها تتداخل - لتشكيل قطاعات تمثل أجزاء من محيط الدائرة.

يتم بعد ذلك إضافة هذه القطاعات للحصول على تقدير تقريبي لعدد المرات التي سيتناسب فيها كل نصف قطر حول كائنكالمحيط قبل حدوث التداخلات بينهما جميعًا مرة أخرى عند التقاطعات التالية على طول تلك المحاور نفسها.

يمنحك الجدول الفرق بين الطرق الثلاثة في شكل موجز.

هنا مقطع فيديو يشرح الطرق الثلاث.

متى يجب استخدام طريقة الغسالة أو طريقة شل؟

توجد عدة طرق لحساب مساحة سطح الأسطوانة. طريقة الصدفة هي إحدى هذه الطرق ، ولكنها ليست دائمًا الطريقة الأكثر فعالية أو دقة.

طريقة الغسالة ليست طريقة حقًا - إنها مجرد طريقة أخرى للقول ، "ما تبقى عند القيام بذلك أشياء أخرى؟" إنه لا يخبرك بأي شيء عما يحدث داخل الاسطوانة ؛ فقط ما هو غريب مهم.

إذن ما الذي يجب أن تستخدمه؟ هذا يعتمد على ما تحاول قياسه!

إذا كنت تريد معرفة المقدارستكون هناك حاجة لطلاء جدرانك ، ستمنحك طريقة الصدفة نتائج أفضل من طريقة الغسالة لأنها تستخدم المزيد من نقاط البيانات. ولكن إذا كنت تحاول قياس كمية المطاط التي تتطلبها إطاراتك ، فستعمل طريقة الغسالة بشكل أفضل لأنها تستخدم نقاط بيانات أقل.

كيف تعرف ما إذا كان قرصًا أم غسالة؟

يكمن الاختلاف بين الغسالة والقرص في درجة تناظر الدوران. لا يحتوي القرص على محور تناظر ، لذلك يمكن تدويره بأي زاوية ويظهر كما هو. مع ذلك ، تحتوي الغسالة على محور التناظر - وهو خط يحاذي نصفي الجسم.

في حساب التفاضل والتكامل ، يمكنك معرفة الفرق بين القرص والغسالة باستخدام المعادلة التالية:

القرص: (القطر) 2 - (نصف القطر) 2 = مساحة القرص

الغسالة: (القطر) 2 & lt ؛ (نصف القطر) 2

الأفكار النهائية

• الفرق الرئيسي بين طرق القرص والغسالة والصدفة في حساب التفاضل والتكامل هو أن لكل منها نتائج مختلفة لنفس المشكلة.
• تتضمن طريقة القرص إيجاد المنطقة الواقعة أسفل منحنى عن طريق تقسيمه إلى أقسام وإضافة مساحاتها. تعمل هذه الطريقة جيدًا للوظائف ذات المنحنيات المتعددة ولكنها أقل جودة إذا كان هناك عدد أقل من المنحنيات.
• تتضمن طريقة الغسالة تقسيم المنطقة الواقعة أسفل منحنى إلى أقسام وإضافة محيطها. تعمل هذه الطريقة بشكل جيد مع الوظائف ذات المنحنيات القليلة جدًا ولكنها ليست رائعة عند وجودهامنحنيات أكثر.
• تتضمن طريقة الغلاف ضرب ارتفاع كل منحنى في عرضه لتقريب مساحته. تعمل هذه الطريقة بشكل جيد عندما تحتاج إلى الحصول على تقدير تقريبي سريعًا ولكنها لا تعمل بشكل جيد عند محاولة الحصول على إجابة دقيقة.

مقالات ذات صلة