Kalkulācija ir matemātikas nozare, kas nodarbojas ar pārmaiņu pētīšanu. Tā ir viena no sarežģītākajām un abstraktākajām mūsdienu matemātikas nozarēm, un to izmanto gandrīz visās zinātnes, inženierzinātņu un uzņēmējdarbības jomās.

Kalkulācija palīdz modelēt situācijas, kurās ir izmaiņas, piemēram, ātrums vai paātrinājums. Tās bieži sauc par "diferenciālvienādojumiem." Kalkulācija ļauj arī risināt uzdevumus, kas saistīti ar robežām, piemēram, atrast laukumu zem līknes vai cietvielas tilpumu.

Dažādu problēmu risināšanai var izmantot dažādas metodes. Dažas no šīm metodēm ir diska, mazgāšanas un čaulas metodes.

Galvenā atšķirība starp diska, paplāksnes un čaulas metodi aprēķinos ir tā, ka tās visas izmanto dažādas pieejas līknes aproksimācijai. Diska metode izmanto apļveida apgabalu ap līknes aproksimāciju, savukārt paplāksnes metode izmanto apgabalu, kas, skatoties no augšas, ir veidots kā paplāksne. čaulas metode izmanto apgabalu, kas, skatoties no augšas, ir veidots kā čaulas.

Apskatīsim visas šīs metodes sīkāk.

Ko nozīmē diska metode?

Disku integrēšanas metode, ko pazīst arī kā integrālo aprēķinu diska vienādojumu, aprēķina cietvielas tilpumu vienā apgriezienā, integrējot to gar asi, kas ir paralēla tās apgriezienam.

Disku metode ietver objekta sadalīšanu daudzos mazos diskos vai cilindros un pēc tam šo mazo disku tilpumu saskaitīšanu, lai noteiktu objekta tilpumu.

Cilindra rādiuss ir dots ar funkciju f(x), un tā augstumu nosaka x. Kad x izmaiņas sasniedz nulli un disku skaits palielinās līdz bezgalībai, iegūsiet objekta faktisko tilpumu, nevis tā aplēsi.

Formula tilpuma aprēķināšanai, izmantojot diska integrēšanas metodi, ir šāda:

	=	attālums starp funkciju un rotācijas asi.
	=	augšējā robeža
	=	apakšējā robeža
	=	slīd gar x

Ko nozīmē mazgāšanas metode?

Veļasmašīnas metode ir veids, kā atrisināt diferenciālvienādojumu. Tā tiek saukta par veļasmašīnas metodi, jo tās darbībai kā analoģija tiek izmantota veļasmašīna.

Diferenciālvienādojums apraksta, kā nezināma funkcija mainās laika gaitā, pat ja tā nav nepārtraukta. To bieži izmanto, lai modelētu, piemēram, viļņus vai citus procesus, kas mainās laika gaitā, bet ne vienmēr vienmēr vienmērīgi.

Lai atrisinātu y(t), ir jāatrod y(t) visām iespējamām t vērtībām. Tomēr tas var būt sarežģīti un laikietilpīgi, jo risinājumu ir bezgalīgi daudz. Mīklas metode palīdz atrast risinājumus, izmantojot tuvinājumus, nevis precīzas vērtības.

• Tā sākas ar sākotnējo pieņēmumu par to, kā varētu izskatīties jūsu risinājums: y(t) = f(t).
• Pēc tam jūs atradīsiet kļūdu starp šo minējumu un to, kas notiek: e(t).
• Pēc tam izmantojiet šo kļūdas terminu, lai atjauninātu savu pieņēmumu: f'(t) = f* 2 - 2 f*e + c, kur c ir patvaļīga konstante (nav svarīgi, kādu vērtību izvēlaties).
• Pēc tam atkārtojiet šo procesu, līdz kļūda kļūst mazāka par epsilonu.

Ko nozīmē čaulas metode?

Apvalka metode ir metode cietvielas tilpuma noteikšanai, aproksimējot to ar koncentrisku apvalku virkni. To bieži izmanto, lai noteiktu tilpumu neregulāras formas cietvielām, kuras nav viegli sadalīt vienkāršās formās, kuru tilpumi ir zināmi.

Ar čaulas metodi figūru sadala daudzās plānās šķēlītēs un pēc tam saskaita visus to tilpumus. Šķēlītes var uzskatīt par čaulām, tāpēc tās sauc par "čaulas metodi".

Korpusa metode atšķiras no citām metodēm, jo par korpusa centru tiek izvēlēts punkts, nevis katra apakšintervāla viduspunkts. Tas ļauj iegūt precīzāku aproksimāciju nekā citas metodes, taču lietotājam ir jāveic vairāk darba.

Atpazīt atšķirību

Korpusa, paplāksnes un diska metodes ir visi veidi, kā risināt ar integrēšanu saistītus aprēķinu uzdevumus.

Apvalka metode ietver gredzena tilpuma atrašanu, savukārt diska metode ietver laukuma zem funkcijas līknes atrašanu. Paplāksnes metode ir līdzīga apvalka metodei, taču tā izmanto citu metodi, lai atrastu gredzena tilpumu.

Apvalka metode

Korpusa metodi izmanto, lai aproksimētu cietas vielas tilpumu apgriezienā ar noteiktu šķērsgriezumu, saskaitot no cietās vielas izgrieztu bezgalīgi daudzu plānu čaulu tilpumus. Korpusa metode ir derīga tikai tad, ja šķērsgriezumam ir konstants biezums, tāpēc to nevar izmantot, lai noteiktu neregulāras formas objektu tilpumu.

Mazgāšanas metode

Paplāksnes metode ir līdzīga čaulas metodei, tikai tā vietā, lai no cietvielas izgrieztu bezgalīgi daudz plānas čaulas, no tās izgriež tikai vienu biezu čaulu (kurai ir konstants biezums) un pēc tam to sadala mazākos gabalos ar konstantu platumu.

Disku metode

Disku metode ietver vairāku apļu ar dažādiem rādiusiem un dažādiem leņķiem zīmēšanu ap asi, kas iet caur to centriem; šie apļi krustojas punktos, kuriem jāatrodas uz viens otra perimetra, citiem vārdiem sakot, tie pārklājas, veidojot sektorus, kas pārstāv apļa apkārtmēra daļas.

Pēc tam šie sektori tiek saskaitīti, lai aptuveni noteiktu, cik reizes katrs rādiuss aptvers jūsu objekta perimetru, pirms tie atkal pārklāsies savā starpā nākamajos krustpunktos gar tām pašām asīm.

Tabulā ir apkopotā veidā parādīta atšķirība starp šīm trim metodēm.

Šeit ir videoklips, kurā izskaidrotas visas trīs metodes.

Kad jāizmanto mazgāšanas metode vai apvalka metode?

Pastāv vairākas metodes cilindra virsmas laukuma aprēķināšanai. Viena no tām ir čaulas metode, taču ne vienmēr tā ir visefektīvākā un precīzākā.

Mazgāšanas metode patiesībā nav metode - tas ir tikai cits veids, kā pateikt: "Kas paliek pāri, kad jūs darāt šo un to pašu?" Tā neko nepastāsta par to, kas notiek cilindra iekšpusē; nozīme ir tikai tam, kas ir svešs.

Tātad, ko jums vajadzētu izmantot? Tas ir atkarīgs no tā, ko jūs mēģināt izmērīt!

Ja vēlaties noskaidrot, cik daudz krāsas būtu nepieciešams jūsu sienām, čaulas metode sniegs labākus rezultātus nekā mazgāšanas metode, jo tā izmanto vairāk datu punktu. Bet, ja mēģināt noteikt, cik daudz gumijas nepieciešams jūsu riepām, mazgāšanas metode būs labāka, jo tā izmanto mazāk datu punktu.

Kā zināt, vai tas ir disks vai paplāksne?

Atšķirība starp paplāksni un disku ir to rotācijas simetrijas pakāpē. Diskam nav simetrijas ass, tāpēc to var pagriezt jebkurā leņķī, un tas izskatās vienāds. Savukārt paplāksnei ir simetrijas ass - līnija, kas izlīdzina divas objekta puses.

Izmantojot aprēķinus, var noteikt atšķirību starp disku un paplāksni, izmantojot šādu vienādojumu:

Disks: (diametrs)2 - (rādiuss)2 = diska laukums

Paplāksne: (diametrs)2 <(rādiuss)2

Nobeiguma domas

• Galvenā atšķirība starp diska, paplāksnes un čaulas metodi aprēķinos ir tā, ka katrai no tām ir atšķirīgi rezultāti vienas un tās pašas problēmas risināšanai.
• Diska metode paredz atrast laukumu zem līknes, sadalot to daļās un saskaitot to laukumus. Šī metode labi darbojas funkcijām ar daudz līknēm, bet mazāk labi, ja līkņu ir mazāk.
• Mazgāšanas metode paredz sadalīt laukumu zem līknes daļās un saskaitīt to perimetrus. Šī metode labi darbojas funkcijām ar ļoti maz līknēm, bet ne tik labi, ja līkņu ir vairāk.
• Korpusa metode ietver katras līknes augstuma reizināšanu ar tās platumu, lai aptuveni aprēķinātu tās laukumu. Šī metode labi darbojas, ja nepieciešams ātri iegūt aptuvenu vērtību, bet ne īpaši labi, ja mēģinām iegūt precīzu atbildi.

Saistītie raksti