แคลคูลัสเป็นสาขาทางคณิตศาสตร์ที่เกี่ยวข้องกับการศึกษาการเปลี่ยนแปลง เป็นหนึ่งในสาขาที่ท้าทายและเป็นนามธรรมที่สุดในคณิตศาสตร์สมัยใหม่ และใช้ในวิทยาศาสตร์ วิศวกรรม และธุรกิจเกือบทุกสาขา

แคลคูลัสช่วยให้เราจำลองสถานการณ์ที่เรามีอัตราการเปลี่ยนแปลง เช่น ความเร็วหรือความเร่ง สิ่งเหล่านี้มักเรียกว่า "สมการเชิงอนุพันธ์" แคลคูลัสยังช่วยให้เราแก้ปัญหาที่เกี่ยวข้องกับขีดจำกัดได้ เช่น การหาพื้นที่ใต้เส้นโค้งหรือปริมาตรของของแข็ง

คุณสามารถใช้วิธีการต่างๆ เพื่อแก้ปัญหาต่างๆ ได้ บางวิธีเหล่านี้รวมถึงวิธีดิสก์ แหวนรอง และเปลือก

ข้อแตกต่างที่สำคัญระหว่างวิธีดิสก์ แหวนรอง และเปลือกในแคลคูลัสคือ วิธีการทั้งหมดใช้วิธีต่างๆ ในการประมาณเส้นโค้ง วิธีดิสก์ใช้พื้นที่วงกลมรอบเส้นโค้งโดยประมาณ ในขณะที่วงแหวนใช้พื้นที่ที่มีรูปร่างเหมือนวงแหวนเมื่อมองจากด้านบน เมธอดเชลล์ใช้พื้นที่ที่มีรูปร่างเหมือนเชลล์เมื่อมองจากด้านบน

มาหารือเกี่ยวกับเมธอดเหล่านี้โดยละเอียด

ดิสก์มีความหมายอย่างไร วิธี?

วิธีการรวมดิสก์ หรือที่เรียกว่าสมการปริพันธ์ของแคลคูลัส จะคำนวณปริมาตรของของแข็งต่อรอบเมื่อรวมตามแนวแกนที่ขนานกับการหมุนของมัน

วิธีการเกี่ยวกับดิสก์เกี่ยวข้องกับแบ่งวัตถุออกเป็นดิสก์ขนาดเล็กหรือทรงกระบอก จากนั้นเพิ่มปริมาตรของดิสก์ขนาดเล็กเหล่านี้เข้าด้วยกันเพื่อกำหนดปริมาตรของวัตถุ

รัศมีของทรงกระบอกถูกกำหนดโดยฟังก์ชัน f(x) และความสูงถูกกำหนดโดย x เมื่อการเปลี่ยนแปลงใน x ถึงศูนย์และจำนวนดิสก์เพิ่มขึ้นจนไม่มีที่สิ้นสุด คุณจะมีปริมาตรจริงของออบเจกต์แทนที่จะเป็นค่าประมาณ

สูตรสำหรับคำนวณปริมาตรด้วยวิธีรวมดิสก์มีดังนี้:

	=	ระยะห่างระหว่างฟังก์ชันและแกนหมุน
	=	ขีดจำกัดบน
	=	ขีดจำกัดล่าง
	=	เลื่อนไปตาม x

วิธี Washer หมายถึงอะไร?

วิธี Washer เป็นวิธีการแก้สมการเชิงอนุพันธ์ เรียกว่าวิธีวงแหวนเนื่องจากใช้วงแหวนเป็นตัวเปรียบเทียบสำหรับวิธีการทำงาน

สมการเชิงอนุพันธ์อธิบายว่าฟังก์ชันที่ไม่รู้จักเปลี่ยนแปลงอย่างไรเมื่อเวลาผ่านไป แม้ว่าจะไม่ต่อเนื่องกันก็ตาม มักใช้เพื่อจำลองสิ่งต่างๆ เช่น คลื่นหรือกระบวนการอื่นๆ ที่เปลี่ยนแปลงตลอดเวลา แต่ไม่จำเป็นต้องเป็นไปอย่างราบรื่น

ในการแก้หา y(t) คุณต้องหา y(t) สำหรับค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมด ของ t อย่างไรก็ตาม อาจเป็นเรื่องยากและใช้เวลานานเนื่องจากมีวิธีแก้ปัญหามากมาย Washer Method ช่วยคุณค้นหาวิธีแก้ปัญหาโดยใช้ค่าประมาณแทนค่าที่แน่นอน

• เริ่มต้นด้วยการเดาเบื้องต้นว่าโซลูชันของคุณอาจมีลักษณะอย่างไร: y(t) = f(t)
• จากนั้นคุณจะพบข้อผิดพลาดระหว่างการเดานี้กับสิ่งที่เกิดขึ้น: e(t)
• จากนั้นใช้คำแสดงข้อผิดพลาดนี้เพื่ออัปเดตการเดาของคุณ: f'(t) = f* 2 – 2 f*e + c, โดยที่ c คือ an ค่าคงที่โดยพลการ (ไม่สำคัญว่าคุณจะเลือกค่าใด)
• จากนั้นทำซ้ำขั้นตอนจนกว่าข้อผิดพลาดจะเล็กกว่าเอปไซลอน

วิธีเชลล์หมายถึงอะไร

ในแคลคูลัส วิธีเปลือกเป็นเทคนิคในการหาปริมาตรของของแข็งโดยการประมาณด้วยชุดของเปลือกที่มีศูนย์กลาง มักใช้เพื่อหาปริมาตรของของแข็งที่มีรูปร่างไม่สม่ำเสมอซึ่งไม่สามารถแยกออกเป็นรูปทรงง่ายๆ ที่ทราบปริมาตรได้

วิธีเปลือกจะแบ่งรูปร่างออกเป็นชิ้นบางๆ หลายๆ ชิ้น แล้วรวมปริมาตรทั้งหมดเข้าด้วยกัน ชิ้นสามารถพิจารณาเปลือก ดังนั้น "วิธีเปลือก"

วิธีการเปลือกแตกต่างจากวิธีอื่น โดยการเลือกจุดเป็นจุดศูนย์กลางของเปลือกแทนจุดกึ่งกลางของแต่ละช่วงย่อยเป็นจุดศูนย์กลาง ซึ่งทำให้ได้ค่าประมาณที่แม่นยำกว่าวิธีอื่นๆ แต่ผู้ใช้ต้องทำงานมากขึ้น

รู้ความแตกต่าง

วิธี Shell, Washer และ Disc ล้วนเป็นวิธีแก้ปัญหาแคลคูลัสที่เกี่ยวข้องกับการบูรณาการ

วิธีเปลือกเกี่ยวข้องกับการหาปริมาตรของวงแหวน ขณะที่วิธีดิสก์เกี่ยวข้องกับการหาพื้นที่ใต้เส้นโค้งของฟังก์ชัน วิธีการล้างคล้ายกับวิธีเปลือก แต่ใช้เทคนิคที่แตกต่างกันในการหาปริมาตรของวงแหวน

วิธีเปลือก

วิธีเปลือกใช้เพื่อประมาณปริมาตร ของของแข็งในการปฏิวัติที่มีภาคตัดขวางที่ระบุโดยการรวมปริมาตรของเปลือกบางจำนวนไม่สิ้นสุดที่ตัดออกจากของแข็ง วิธีเปลือกจะใช้ได้ก็ต่อเมื่อหน้าตัดมีความหนาคงที่ ดังนั้นจึงไม่สามารถใช้หาปริมาตรของวัตถุที่มีรูปร่างไม่สม่ำเสมอได้

วิธีแหวนรอง

วิธีแหวนรองจะคล้ายกัน สำหรับวิธีเปลือก ยกเว้นว่าแทนที่จะตัดเปลือกบางๆ จำนวนไม่จำกัดจากของแข็ง คุณตัดเปลือกหนาเพียงเปลือกเดียว (ที่มีความหนาคงที่) แล้วแบ่งมันออกเป็นชิ้นเล็กๆ ที่มีความกว้างคงที่

วิธีดิสก์

วิธีดิสก์เกี่ยวข้องกับการวาดชุดวงกลมที่มีรัศมีต่างกันและตำแหน่งเชิงมุมต่างกันรอบแกนที่ผ่านจุดศูนย์กลาง วงกลมเหล่านี้ตัดกันที่จุดที่ต้องอยู่บนเส้นรอบวงของกันและกัน กล่าวคือ ซ้อนทับกัน เพื่อสร้างส่วนที่เป็นตัวแทนของเส้นรอบวงของวงกลม

ส่วนเหล่านี้จะถูกรวมเข้าด้วยกันเพื่อให้ได้ค่าประมาณว่าแต่ละรัศมีจะพอดีกับวัตถุของคุณกี่ครั้งเส้นรอบวงก่อนที่จะเกิดการทับซ้อนกันอีกครั้งที่จุดตัดต่อไปนี้ตามแกนเดียวกัน

ตารางแสดงความแตกต่างระหว่างสามวิธีในรูปแบบสรุป

นี่คือคลิปวิดีโอที่อธิบายทั้งสามวิธี

เมื่อใดที่คุณควรใช้วิธีแบบวงแหวนหรือ วิธีเชลล์?

มีหลายวิธีในการคำนวณพื้นที่ผิวของทรงกระบอก วิธีการเชลล์เป็นหนึ่งในนั้น แต่ก็ไม่ใช่วิธีที่มีประสิทธิภาพหรือแม่นยำที่สุดเสมอไป

วิธีการล้างไม่ใช่วิธีการจริงๆ แต่เป็นอีกวิธีหนึ่งในการพูดว่า “มีอะไรเหลืออยู่เมื่อคุณทำสิ่งนี้ สิ่งอื่น ๆ?" มันไม่ได้บอกอะไรคุณเกี่ยวกับสิ่งที่เกิดขึ้นภายในกระบอกสูบ เฉพาะสิ่งที่ไม่เกี่ยวข้องเท่านั้น

คุณควรใช้ข้อใด ขึ้นอยู่กับสิ่งที่คุณพยายามวัด!

ถ้าอยากรู้ว่าราคาเท่าไหร่จำเป็นต้องใช้สีสำหรับผนังของคุณ วิธีเปลือกจะให้ผลลัพธ์ที่ดีกว่าวิธีเครื่องซักผ้าเพราะใช้จุดข้อมูลมากกว่า แต่ถ้าคุณพยายามวัดว่ายางของคุณต้องใช้ยางมากแค่ไหน วิธีการล้างจะใช้ได้ดีกว่าเพราะใช้จุดข้อมูลน้อยกว่า

คุณจะรู้ได้อย่างไรว่าเป็นดิสก์หรือแหวนรอง

ความแตกต่างระหว่างแหวนและจานอยู่ที่ระดับความสมมาตรในการหมุน ดิสก์ไม่มีแกนสมมาตร ดังนั้นจึงสามารถหมุนผ่านมุมใดก็ได้และมีลักษณะเหมือนกัน อย่างไรก็ตาม แหวนรองมีแกนสมมาตร ซึ่งเป็นเส้นที่จัดแนวสองส่วนของวัตถุ

ในแคลคูลัส คุณสามารถบอกความแตกต่างระหว่างดิสก์และแหวนรองได้โดยใช้สมการต่อไปนี้:

ดิสก์: (เส้นผ่านศูนย์กลาง)2 – (รัศมี)2 = พื้นที่ของดิสก์

วงแหวน: (เส้นผ่านศูนย์กลาง)2 < (รัศมี)2

ความคิดสุดท้าย

• ความแตกต่างที่สำคัญระหว่างวิธีดิสก์ วอชเชอร์ และเชลล์ในแคลคูลัสคือ แต่ละวิธีมีผลที่แตกต่างกันสำหรับปัญหาเดียวกัน
• วิธีดิสก์เกี่ยวข้องกับการค้นหาพื้นที่ใต้เส้นโค้งโดยการแบ่งส่วนออกเป็นส่วนๆ และเพิ่มพื้นที่ วิธีนี้ใช้ได้ดีกับฟังก์ชันที่มีเส้นโค้งจำนวนมาก แต่จะใช้ไม่ได้ผลหากมีเส้นโค้งน้อยกว่า
• วิธีการล้างจะเกี่ยวข้องกับการแบ่งพื้นที่ใต้เส้นโค้งออกเป็นส่วนๆ และเพิ่มเส้นรอบรูป วิธีนี้ใช้ได้ดีกับฟังก์ชันที่มีความโค้งน้อยแต่ไม่ค่อยดีนักเมื่อมีมีเส้นโค้งมากขึ้น
• วิธีการของเชลล์เกี่ยวข้องกับการคูณความสูงของเส้นโค้งแต่ละอันด้วยความกว้างเพื่อประมาณพื้นที่ วิธีนี้ใช้ได้ดีเมื่อคุณต้องการค่าประมาณอย่างรวดเร็ว แต่ใช้ไม่ได้ผลอย่างยิ่งเมื่อพยายามหาคำตอบที่แน่นอน

บทความที่เกี่ยวข้อง