Kalkul je matematický obor, který se zabývá studiem změn. Patří k nejnáročnějším a nejabstraktnějším oborům moderní matematiky a používá se téměř ve všech oblastech vědy, techniky a podnikání.

Kalkul nám pomáhá modelovat situace, ve kterých máme k dispozici rychlosti změn, například rychlosti nebo zrychlení. Tyto rovnice se často nazývají "diferenciální rovnice". Kalkul nám také umožňuje řešit problémy, které zahrnují limity: například hledání plochy pod křivkou nebo objemu tělesa.

K řešení různých problémů můžete použít různé metody. Mezi tyto metody patří například metoda disku, podložky a shellu.

Hlavní rozdíl mezi diskovou, podložkovou a skořepinovou metodou v počítání spočívá v tom, že všechny používají různé přístupy k aproximaci křivky. Disková metoda používá kruhovou oblast kolem aproximace křivky, zatímco podložka používá oblast ve tvaru podložky při pohledu shora. Skořepinová metoda používá oblast ve tvaru skořepiny při pohledu shora.

Probereme si všechny tyto metody podrobněji.

Co znamená metoda disků?

Metoda integrace disku, známá také jako rovnice disku integrálního počtu, počítá objem tělesa za jednu otáčku, je-li integrována podél osy rovnoběžné s jeho otáčkou.

Metoda disků spočívá v rozdělení objektu na mnoho malých disků nebo válců a následném sečtení objemů těchto malých disků, čímž se určí objem objektu.

Poloměr válce je dán funkcí f(x) a jeho výška je určena hodnotou x. Když změna x dosáhne nuly a počet disků se zvětší do nekonečna, získáme skutečný objem objektu, nikoliv jeho odhad.

Vzorec pro výpočet objemu pomocí metody integrace disku je následující:

	=	vzdálenost mezi funkcí a osou otáčení
	=	horní hranice
	=	dolní mez
	=	klouže podél x

Co se rozumí pod pojmem metoda podložky?

Metoda podložky je způsob řešení diferenciální rovnice. Nazývá se metoda podložky, protože používá podložku jako analogii k tomu, jak funguje.

Diferenciální rovnice popisuje, jak se neznámá funkce mění s časem, i když není spojitá. Často se používá k modelování např. vln nebo jiných procesů, které se mění v čase, ale ne nutně plynule.

Pro řešení y(t) je třeba najít y(t) pro všechny možné hodnoty t. To však může být obtížné a časově náročné, protože řešení je nekonečně mnoho. Metoda Washer vám pomůže najít řešení pomocí aproximací místo přesných hodnot.

• Začíná s počátečním odhadem, jak by mohlo vypadat vaše řešení: y(t) = f(t).
• Pak zjistíte chybu mezi tímto odhadem a tím, co se stane: e(t).
• Tento chybový výraz pak použijete k aktualizaci svého odhadu: f'(t) = f* 2 - 2 f*e + c, kde c je libovolná konstanta (na zvolené hodnotě nezáleží).
• Poté postup opakujte, dokud chyba nebude menší než epsilon.

Co znamená metoda Shell?

Skořepinová metoda je ve výpočetní technice metoda pro zjištění objemu tělesa pomocí aproximace pomocí řady soustředných skořepin. Často se používá pro zjištění objemu tělesa nepravidelného tvaru, které nelze snadno rozdělit na jednoduché tvary, jejichž objemy jsou známy.

Skořepinová metoda rozdělí tvar na mnoho tenkých řezů a poté sečte všechny jejich objemy. Tyto řezy lze považovat za skořepiny, proto "skořepinová metoda".

Metoda shell se od ostatních metod liší tím, že jako střed skořápky se nezvolí střed každého dílčího intervalu, ale bod. Výsledkem jsou přesnější aproximace než u ostatních metod, ale vyžadují více práce na straně uživatele.

Poznejte rozdíl

Metody skořepinové, podložkové a diskové jsou způsoby řešení výpočetních úloh zahrnujících integraci.

Skořepinová metoda spočívá v nalezení objemu prstence, zatímco kotoučová metoda spočívá v nalezení plochy pod křivkou funkce. Metoda podložky je podobná skořepinové metodě, ale k nalezení objemu prstence používá jinou techniku.

Metoda Shell

Skořepinová metoda se používá k aproximaci objemu tělesa v otáčkách s určitým průřezem součtem objemů nekonečného počtu tenkých skořepin vyříznutých z tělesa. Skořepinová metoda platí pouze tehdy, když má průřez konstantní tloušťku, takže ji nelze použít k určení objemu objektu nepravidelného tvaru.

Metoda podložky

Metoda podložky je podobná metodě skořápky s tím rozdílem, že místo toho, abyste z tělesa vyřízli nekonečné množství tenkých skořápek, vyříznete z něj pouze jednu tlustou skořápku (která má konstantní tloušťku) a tu pak rozdělíte na menší části s konstantní šířkou.

Metoda disků

Kotoučová metoda spočívá v nakreslení řady kružnic s různými poloměry a různými úhlovými polohami kolem osy procházející jejich středy; tyto kružnice se protínají v bodech, které musí ležet na obvodech ostatních kružnic - jinými slovy se překrývají - a tvoří sektory, které představují části obvodu kružnice.

Tyto sektory se pak sečtou, aby se přibližně určilo, kolikrát se každý poloměr vejde po obvodu vašeho objektu, než dojde k jejich překrytí v následujících průsečících podél stejných os.

V tabulce jsou uvedeny rozdíly mezi těmito třemi metodami v souhrnné podobě.

Zde je videoklip, který vysvětluje všechny tři metody.

Kdy byste měli použít metodu podložky nebo metodu skořápky?

Pro výpočet povrchu válce existuje několik metod. Jednou z nich je skořepinová metoda, která však není vždy nejefektivnější a nejpřesnější.

Metoda podložky ve skutečnosti není metodou - je to jen jiný způsob, jak říct: "Co zbyde, když uděláte tuhle další věc?" Neříká nic o tom, co se děje uvnitř válce; důležité je pouze to, co je cizí.

Který byste měli použít? Záleží na tom, co se snažíte měřit!

Pokud chcete zjistit, kolik barvy by bylo potřeba na stěny, poskytne vám metoda pláště lepší výsledky než metoda podložky, protože využívá více datových bodů. Pokud se však snažíte změřit, kolik gumy potřebují vaše pneumatiky, bude metoda podložky fungovat lépe, protože využívá méně datových bodů.

Jak poznáte, zda se jedná o disk nebo podložku?

Rozdíl mezi podložkou a diskem spočívá v míře jejich rotační symetrie. Disk nemá osu symetrie, takže jej lze otočit o libovolný úhel a vypadá stejně. Podložka však má osu symetrie - čáru, která vyrovnává obě poloviny objektu.

Rozdíl mezi kotoučem a podložkou lze ve výpočtech určit pomocí následující rovnice:

Disk: (průměr)2 - (poloměr)2 = plocha disku

Podložka: (průměr)2 <(poloměr)2

Závěrečné myšlenky

• Hlavní rozdíl mezi diskovou, podložkovou a skořepinovou metodou v kalkulu spočívá v tom, že každá z nich má pro stejný problém jiné výsledky.
• Metoda disku spočívá v tom, že se plocha pod křivkou zjistí tak, že se křivka rozdělí na úseky a jejich plochy se sečtou. Tato metoda funguje dobře pro funkce s mnoha křivkami, ale méně dobře, pokud je křivek méně.
• Metoda podložky spočívá v rozdělení plochy pod křivkou na úseky a sečtení jejich obvodů. Tato metoda funguje dobře pro funkce s velmi malým počtem křivek, ale ne tak dobře, pokud je křivek více.
• Skořepinová metoda spočívá v tom, že se výška každé křivky vynásobí její šířkou, čímž se aproximuje její plocha. Tato metoda funguje dobře, když potřebujete rychle získat přibližnou hodnotu, ale nefunguje příliš dobře, když se snažíte získat přesnou odpověď.

Související články