कैलकुलस एक गणितीय क्षेत्र है जो परिवर्तन के अध्ययन से संबंधित है। यह आधुनिक गणित में सबसे चुनौतीपूर्ण और अमूर्त क्षेत्रों में से एक है और लगभग हर विज्ञान, इंजीनियरिंग और व्यावसायिक क्षेत्र में इसका उपयोग किया जाता है। इन्हें अक्सर "अंतर समीकरण" कहा जाता है। कैलकुलस हमें उन समस्याओं को हल करने की भी अनुमति देता है जिनमें सीमाएँ शामिल होती हैं: उदाहरण के लिए, किसी वक्र के नीचे का क्षेत्रफल या किसी ठोस का आयतन ज्ञात करना।

आप विभिन्न समस्याओं को हल करने के लिए विभिन्न विधियों का उपयोग कर सकते हैं। इनमें से कुछ विधियों में डिस्क, वॉशर और शेल विधियाँ शामिल हैं।

कैलकुलस में डिस्क, वॉशर और शेल विधियों के बीच मुख्य अंतर यह है कि वे सभी एक वक्र का अनुमान लगाने के लिए विभिन्न तरीकों का उपयोग करते हैं। डिस्क विधि वक्र के सन्निकटन के आसपास एक गोलाकार क्षेत्र का उपयोग करती है, जबकि वॉशर ऊपर से देखे जाने पर वॉशर के आकार के क्षेत्र का उपयोग करता है। शेल विधि ऊपर से देखने पर शेल के आकार के क्षेत्र का उपयोग करती है।

इन सभी विधियों पर विस्तार से चर्चा करते हैं।

डिस्क का क्या अर्थ है तरीका?

डिस्क एकीकरण विधि, जिसे इंटीग्रल कैलकुलस 'डिस्क समीकरण के रूप में भी जाना जाता है, इसकी क्रांति के समानांतर अक्ष के साथ एकीकृत होने पर एक ठोस प्रति क्रांति की मात्रा की गणना करता है।

डिस्क विधि में शामिल हैकिसी वस्तु को कई छोटे डिस्क या सिलेंडरों में विभाजित करना और फिर वस्तु का आयतन निर्धारित करने के लिए इन छोटी डिस्कों के आयतन को एक साथ जोड़ना।

सिलेंडर की त्रिज्या फलन f(x) द्वारा दी जाती है, और इसकी ऊंचाई x द्वारा निर्धारित की जाती है। जब x में परिवर्तन शून्य तक पहुँच जाता है और डिस्क की संख्या अनंत तक बढ़ जाती है, तो आपके पास अनुमान के बजाय वस्तु का वास्तविक आयतन होगा।

डिस्क एकीकरण विधि के माध्यम से आयतन की गणना करने का सूत्र इस प्रकार है:

	=	फ़ंक्शन और रोटेशन के अक्ष के बीच की दूरी
	=	ऊपरी सीमा
	=	निचली सीमा
	=	x के साथ स्लाइड

वाशर विधि का क्या अर्थ है?

वॉशर विधि अवकल समीकरण को हल करने का एक तरीका है। इसे वॉशर विधि कहा जाता है क्योंकि यह वॉशर का उपयोग एक सादृश्य के रूप में करता है कि यह कैसे काम करता है।

एक अंतर समीकरण बताता है कि समय बीतने के साथ एक अज्ञात फ़ंक्शन कैसे बदलता है, भले ही वह निरंतर न हो। इसका उपयोग अक्सर तरंगों या अन्य प्रक्रियाओं जैसी चीजों को मॉडल करने के लिए किया जाता है जो समय के साथ बदलती हैं, लेकिन जरूरी नहीं कि एक सहज तरीके से।

y(t) के लिए हल करने के लिए, आपको सभी संभावित मूल्यों के लिए y(t) खोजने की आवश्यकता है टी। हालाँकि, यह कठिन और समय लेने वाला हो सकता है क्योंकि अनंत समाधान हैं। वॉशर विधि आपको समाधान खोजने में मदद करती हैसटीक मानों के बजाय सन्निकटन का उपयोग करना।

• यह प्रारंभिक अनुमान के साथ शुरू होता है कि आपका समाधान कैसा दिख सकता है: y(t) = f(t)।
• फिर आप इस अनुमान और क्या होता है के बीच त्रुटि पाते हैं: ई(टी)।
• फिर आप अपने अनुमान को अपडेट करने के लिए इस त्रुटि शब्द का उपयोग करते हैं: f'(t) = f* 2 – 2 f*e + c, जहां c एक है मनमाना स्थिरांक (इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि आप कौन सा मान चुनते हैं)।
• फिर इस प्रक्रिया को तब तक दोहराएं जब तक त्रुटि एप्सिलॉन से छोटी न हो जाए।

शेल विधि का क्या अर्थ है?

कैलकुलस में, शेल विधि एक ठोस का आयतन ज्ञात करने की एक तकनीक है, जिसमें गाढ़ा गोले की एक श्रृंखला के साथ इसका अनुमान लगाया जाता है। इसका उपयोग अक्सर एक अनियमित आकार के ठोस का आयतन ज्ञात करने के लिए किया जाता है जिसे आसानी से सरल आकृतियों में विभाजित नहीं किया जा सकता है जिसके लिए आयतन ज्ञात हैं।

खोल विधि आकार को कई पतली स्लाइस में विभाजित करती है और फिर उनकी सभी मात्राओं का योग करती है। स्लाइस को गोले माना जा सकता है, इसलिए "खोल विधि।"

खोल विधि अन्य विधियों से भिन्न होती है, क्योंकि प्रत्येक उपअंतराल के मध्य बिंदु के बजाय केंद्र के रूप में खोल के केंद्र के रूप में एक बिंदु चुनती है। इसका परिणाम अन्य विधियों की तुलना में अधिक सटीक सन्निकटन होता है, लेकिन उपयोगकर्ता के अंत में अधिक काम की आवश्यकता होती है।एकीकरण।

शेल विधि में एक वलय का आयतन ज्ञात करना शामिल है, जबकि डिस्क विधि में फ़ंक्शन के वक्र के अंतर्गत क्षेत्र का पता लगाना शामिल है। वॉशर विधि शेल विधि के समान है, लेकिन यह एनुलस का आयतन ज्ञात करने के लिए एक अलग तकनीक का उपयोग करती है।

शेल विधि

शेल विधि का उपयोग वॉल्यूम को अनुमानित करने के लिए किया जाता है। ठोस से काटे गए अनंत गोले के आयतन का योग करके एक निर्दिष्ट क्रॉस-सेक्शन के साथ क्रांति में एक ठोस का। शेल विधि केवल तभी मान्य होती है जब क्रॉस-सेक्शन में एक स्थिर मोटाई होती है, इसलिए इसका उपयोग अनियमित आकार की वस्तु का आयतन ज्ञात करने के लिए नहीं किया जा सकता है।

वॉशर विधि

वॉशर विधि समान है शेल विधि को छोड़कर, सिवाय इसके कि ठोस से अनंत संख्या में पतले गोले काटने के बजाय, आप उसमें से सिर्फ एक मोटी खोल (जिसकी मोटाई स्थिर हो) को काटते हैं और फिर उसे एक स्थिर चौड़ाई के साथ छोटे टुकड़ों में विभाजित कर देते हैं।

डिस्क विधि

डिस्क विधि में विभिन्न त्रिज्याओं और उनके केंद्रों से गुजरने वाली धुरी के चारों ओर विभिन्न कोणीय स्थितियों के साथ मंडलियों की एक श्रृंखला को चित्रित करना शामिल है; ये वृत्त उन बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करते हैं जो एक-दूसरे की परिधि पर होने चाहिए—दूसरे शब्दों में, वे ओवरलैप करते हैं—ऐसा सेक्टर बनाने के लिए जो वृत्त की परिधि के भागों का प्रतिनिधित्व करते हैं।

इन क्षेत्रों को तब जोड़ा जाता है ताकि यह अनुमान लगाया जा सके कि प्रत्येक दायरा आपके ऑब्जेक्ट के चारों ओर कितनी बार फिट होगाउन सभी के बीच समान अक्षों के साथ उनके बाद के चौराहों पर फिर से ओवरलैप होने से पहले परिधि।

तालिका आपको संक्षेप में तीन विधियों के बीच का अंतर देती है।

यहाँ तीनों मेथड समझाते हुए एक वीडियो क्लिप है।

आपको वॉशर मेथड का उपयोग कब करना चाहिए या शैल विधि?

सिलेंडर के सतह क्षेत्र की गणना के लिए कई तरीके मौजूद हैं। खोल विधि उनमें से एक है, लेकिन यह हमेशा सबसे कुशल या सटीक तरीका नहीं होता है। अन्य चीज़?" यह आपको इस बारे में कुछ नहीं बताता कि सिलिंडर के अंदर क्या होता है; केवल बाहरी मामले क्या हैं।

तो आपको किसका उपयोग करना चाहिए? यह इस बात पर निर्भर करता है कि आप क्या मापने की कोशिश कर रहे हैं!

अगर आप जानना चाहते हैं कि कितनाआपकी दीवारों के लिए पेंट की आवश्यकता होगी, शेल विधि आपको वॉशर विधि से बेहतर परिणाम देगी क्योंकि यह अधिक डेटा बिंदुओं का उपयोग करती है। लेकिन अगर आप यह मापने की कोशिश कर रहे हैं कि आपके टायरों को कितने रबर की आवश्यकता है, तो वॉशर विधि बेहतर काम करेगी क्योंकि यह कम डेटा बिंदुओं का उपयोग करती है।

आपको कैसे पता चलेगा कि यह डिस्क है या वॉशर?

वॉशर और डिस्क के बीच का अंतर उनकी घूर्णी समरूपता की डिग्री में निहित है। एक डिस्क में समरूपता का कोई अक्ष नहीं होता है, इसलिए इसे किसी भी कोण से घुमाया जा सकता है और समान दिखाई दे सकता है। हालाँकि, वॉशर में समरूपता का एक अक्ष होता है—एक रेखा जो वस्तु के दो हिस्सों को संरेखित करती है।

कैलकुलस में, आप निम्न समीकरण का उपयोग करके डिस्क और वॉशर के बीच अंतर बता सकते हैं:

डिस्क: (व्यास)2 - (त्रिज्या)2 = डिस्क का क्षेत्रफल

वॉशर: (व्यास)2 < (त्रिज्या)2

अंतिम विचार

• कलन में डिस्क, वॉशर और शेल विधियों के बीच मुख्य अंतर यह है कि एक ही समस्या के लिए उनमें से प्रत्येक के अलग-अलग परिणाम होते हैं।
• डिस्क विधि में किसी वक्र के अंतर्गत क्षेत्र को अनुभागों में तोड़कर और उनके क्षेत्रों को जोड़कर खोजना शामिल है। यह विधि कई वक्रों वाले कार्यों के लिए अच्छी तरह से काम करती है लेकिन कम वक्र होने पर कम अच्छी तरह से। यह विधि बहुत कम वक्रों वाले कार्यों के लिए अच्छी तरह से काम करती है लेकिन जब वहां बहुत अच्छी नहीं होती हैअधिक वक्र हैं।
• शेल विधि में प्रत्येक वक्र की ऊंचाई को उसकी चौड़ाई से गुणा करके उसके क्षेत्रफल का अनुमान लगाया जाता है। यह विधि तब अच्छी तरह से काम करती है जब आपको जल्दी से सन्निकटन प्राप्त करने की आवश्यकता होती है लेकिन सटीक उत्तर प्राप्त करने का प्रयास करते समय यह विशेष रूप से अच्छी तरह से काम नहीं करता है।

संबंधित लेख