கால்குலஸ் என்பது மாற்றத்தைப் பற்றிய ஆய்வைக் கையாளும் ஒரு கணிதத் துறையாகும். இது நவீன கணிதத்தில் மிகவும் சவாலான மற்றும் சுருக்கமான துறைகளில் ஒன்றாகும், மேலும் இது கிட்டத்தட்ட ஒவ்வொரு அறிவியல், பொறியியல் மற்றும் வணிகப் பகுதிகளிலும் பயன்படுத்தப்படுகிறது.

வேகம் அல்லது முடுக்கம் போன்ற மாற்றங்களின் விகிதங்களைக் கொண்ட மாதிரி சூழ்நிலைகளுக்கு கால்குலஸ் உதவுகிறது. இவை பெரும்பாலும் "வேறுபட்ட சமன்பாடுகள்" என்று அழைக்கப்படுகின்றன. வரம்புகளை உள்ளடக்கிய சிக்கல்களைத் தீர்க்க கால்குலஸ் நம்மை அனுமதிக்கிறது: எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு வளைவின் கீழ் பகுதியைக் கண்டறிதல் அல்லது திடப்பொருளின் கன அளவு.

வெவ்வேறு சிக்கல்களைத் தீர்க்க நீங்கள் வெவ்வேறு முறைகளைப் பயன்படுத்தலாம். இந்த முறைகளில் சில டிஸ்க், வாஷர் மற்றும் ஷெல் முறைகளை உள்ளடக்கியது.

கால்குலஸில் உள்ள வட்டு, வாஷர் மற்றும் ஷெல் முறைகளுக்கு இடையே உள்ள முக்கிய வேறுபாடு என்னவென்றால், அவை அனைத்தும் ஒரு வளைவை தோராயமாக மதிப்பிடுவதற்கு வெவ்வேறு அணுகுமுறைகளைப் பயன்படுத்துகின்றன. வட்டு முறையானது வளைவின் தோராயத்தைச் சுற்றி ஒரு வட்டப் பகுதியைப் பயன்படுத்துகிறது, அதே சமயம் வாஷர் மேலே இருந்து பார்க்கும் போது வாஷர் போன்ற வடிவத்தைப் பயன்படுத்துகிறது. ஷெல் முறையானது மேலே இருந்து பார்க்கும் போது ஷெல் போன்ற வடிவத்தைப் பயன்படுத்துகிறது.

இந்த முறைகள் அனைத்தையும் விரிவாகப் பார்ப்போம்.

வட்டு என்றால் என்ன முறை?

இன்டெக்ரல் கால்குலஸ்' டிஸ்க் சமன்பாடு என்றும் அறியப்படும் வட்டு ஒருங்கிணைப்பு முறையானது, அதன் புரட்சிக்கு இணையான அச்சில் ஒருங்கிணைக்கப்படும் போது ஒரு திடப்பொருளின் அளவைக் கணக்கிடுகிறது.

வட்டு முறை இதில் அடங்கும்ஒரு பொருளைப் பல சிறிய வட்டுகள் அல்லது உருளைகளாகப் பிரித்து, இந்த சிறிய வட்டுகளின் தொகுதிகளை ஒன்றாகச் சேர்த்து பொருளின் அளவைக் கண்டறியலாம்.

ஒரு சிலிண்டரின் ஆரம் f(x) செயல்பாட்டால் கொடுக்கப்படுகிறது, மேலும் அதன் உயரம் x ஆல் தீர்மானிக்கப்படுகிறது. x இன் மாற்றம் பூஜ்ஜியத்தை அடையும் போது மற்றும் வட்டுகளின் எண்ணிக்கை முடிவிலிக்கு அதிகரிக்கும் போது, ​​மதிப்பீட்டைக் காட்டிலும் பொருளின் உண்மையான அளவைப் பெறுவீர்கள்.

வட்டு ஒருங்கிணைப்பு முறையின் மூலம் அளவைக் கணக்கிடுவதற்கான சூத்திரம் பின்வருமாறு:

	=	செயல்பாட்டிற்கும் சுழற்சியின் அச்சிற்கும் இடையே உள்ள தூரம்
	=	உயர் வரம்பு
	=	குறைந்த வரம்பு
	=	x

வாஷர் முறை என்றால் என்ன?

வாஷர் முறை என்பது வேறுபட்ட சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பதற்கான ஒரு வழியாகும். இது வாஷர் முறை என அழைக்கப்படுகிறது, ஏனெனில் இது எப்படி வேலை செய்கிறது என்பதற்கான ஒப்புமையாக ஒரு வாஷரைப் பயன்படுத்துகிறது.

தொடர்ச்சியாக இல்லாவிட்டாலும், நேரம் கடந்து செல்லும் போது அறியப்படாத செயல்பாடு எவ்வாறு மாறுகிறது என்பதை ஒரு வேறுபட்ட சமன்பாடு விவரிக்கிறது. காலப்போக்கில் மாறும் அலைகள் அல்லது பிற செயல்முறைகள் போன்றவற்றை மாதிரியாக மாற்ற இது பெரும்பாலும் பயன்படுத்தப்படுகிறது, ஆனால் மென்மையான வழியில் அவசியமில்லை.

y(t) க்கு தீர்வு காண, சாத்தியமான அனைத்து மதிப்புகளுக்கும் y(t) ஐக் கண்டறிய வேண்டும். டி. இருப்பினும், எல்லையற்ற தீர்வுகள் இருப்பதால் இது கடினமாகவும் நேரத்தை எடுத்துக்கொள்ளும்தாகவும் இருக்கும். வாஷர் முறை தீர்வுகளைக் கண்டறிய உதவுகிறதுதுல்லியமான மதிப்புகளுக்குப் பதிலாக தோராயங்களைப் பயன்படுத்துகிறது.

• உங்கள் தீர்வு எப்படி இருக்கும் என்பதை ஆரம்ப யூகத்துடன் தொடங்குகிறது: y(t) = f(t).
• பின்னர் இந்த யூகத்திற்கும் என்ன நடக்கிறது என்பதற்கும் இடையே உள்ள பிழையைக் காணலாம்: e(t).
• உங்கள் யூகத்தைப் புதுப்பிக்க இந்தப் பிழைச் சொல்லைப் பயன்படுத்துகிறீர்கள்: f'(t) = f* 2 – 2 f*e + c, இதில் c என்பது ஒரு தன்னிச்சையான மாறிலி (நீங்கள் எந்த மதிப்பை தேர்வு செய்தாலும் பரவாயில்லை).
• பின்னர் எப்சிலானை விட பிழை சிறியதாக மாறும் வரை செயல்முறையை மீண்டும் செய்யவும்.

ஷெல் முறை என்றால் என்ன?

கால்குலஸில், ஷெல் முறை என்பது ஒரு திடப்பொருளின் கன அளவைக் கண்டறிவதற்கான ஒரு நுட்பமாகும். தொகுதிகள் அறியப்பட்ட எளிய வடிவங்களாக எளிதில் பிரிக்க முடியாத ஒழுங்கற்ற வடிவ திடப்பொருளின் கன அளவைக் கண்டறிய இது பெரும்பாலும் பயன்படுத்தப்படுகிறது.

ஷெல் முறையானது வடிவத்தை பல மெல்லிய துண்டுகளாகப் பிரித்து அதன் அனைத்து தொகுதிகளையும் தொகுக்கிறது. துண்டுகளை ஷெல்களாகக் கருதலாம், எனவே “ஷெல் முறை.”

ஒவ்வொரு துணை இடைவெளியின் நடுப்புள்ளியை மையமாக இல்லாமல் ஷெல்லின் மையமாக ஒரு புள்ளியைத் தேர்ந்தெடுப்பதன் மூலம் ஷெல் முறை மற்ற முறைகளிலிருந்து வேறுபடுகிறது. இது மற்ற முறைகளை விட துல்லியமான தோராயங்களை விளைவிக்கிறது, ஆனால் பயனரின் முடிவில் அதிக வேலை தேவைப்படுகிறது.

வித்தியாசத்தை அறிக

ஷெல், வாஷர் மற்றும் டிஸ்க் முறைகள் அனைத்தும் கால்குலஸ் சிக்கல்களை தீர்க்கும் வழிகள்ஒருங்கிணைப்பு.

ஷெல் முறையானது வளையத்தின் அளவைக் கண்டறிவதை உள்ளடக்குகிறது, அதே சமயம் வட்டு முறையானது செயல்பாட்டின் வளைவின் கீழ் பகுதியைக் கண்டறிவதை உள்ளடக்குகிறது. வாஷர் முறையானது ஷெல் முறையைப் போன்றது, ஆனால் இது ஒரு வளையத்தின் அளவைக் கண்டறிய வேறுபட்ட நுட்பத்தைப் பயன்படுத்துகிறது.

ஷெல் முறை

தொகுதியை தோராயமாக கணக்கிட ஷெல் முறை பயன்படுத்தப்படுகிறது. திடப்பொருளில் இருந்து வெட்டப்பட்ட எண்ணற்ற மெல்லிய ஓடுகளின் தொகுதிகளைக் கூட்டுவதன் மூலம் ஒரு குறிப்பிட்ட குறுக்குவெட்டுடன் கூடிய ஒரு திடப்பொருள். ஷெல் முறையானது குறுக்குவெட்டு நிலையான தடிமனைக் கொண்டிருக்கும் போது மட்டுமே செல்லுபடியாகும், எனவே ஒழுங்கற்ற வடிவிலான பொருளின் அளவைக் கண்டறிய இதைப் பயன்படுத்த முடியாது.

வாஷர் முறை

வாஷர் முறை ஒத்ததாகும். ஷெல் முறையைத் தவிர, திடப்பொருளிலிருந்து எண்ணற்ற மெல்லிய ஓடுகளை வெட்டுவதற்குப் பதிலாக, அதிலிருந்து ஒரே ஒரு தடிமனான ஷெல்லை மட்டும் வெட்டி (அது நிலையான தடிமன் கொண்டது) பின்னர் அதை நிலையான அகலத்துடன் சிறிய துண்டுகளாகப் பிரித்தீர்கள்.

வட்டு முறை

வட்டு முறையானது அவற்றின் மையங்கள் வழியாகச் செல்லும் அச்சைச் சுற்றி பல்வேறு ஆரங்கள் மற்றும் வெவ்வேறு கோண நிலைகளைக் கொண்ட வட்டங்களின் வரிசையை வரைவதை உள்ளடக்கியது; இந்த வட்டங்கள் ஒருவருக்கொருவர் சுற்றளவில் இருக்க வேண்டிய புள்ளிகளில் வெட்டுகின்றன-வேறுவிதமாகக் கூறினால், அவை ஒன்றுடன் ஒன்று-வட்டத்தின் சுற்றளவு பகுதிகளைக் குறிக்கும் பிரிவுகளை உருவாக்குகின்றன.

ஒவ்வொரு ஆரமும் உங்கள் பொருளைச் சுற்றி எத்தனை முறை பொருந்தும் என்பதைத் தோராயமாகப் பெற இந்தப் பிரிவுகள் சேர்க்கப்படுகின்றன.ஒரே அச்சுகளில் அவற்றின் பின்வரும் குறுக்குவெட்டுகளில் மீண்டும் அவை அனைத்திற்கும் இடையே ஒன்றுடன் ஒன்று நிகழும் முன் சுற்றளவு.

அட்டவணை சுருக்கமான வடிவத்தில் மூன்று முறைகளுக்கு இடையே உள்ள வேறுபாட்டை உங்களுக்கு வழங்குகிறது.

மூன்று முறைகளையும் விளக்கும் வீடியோ கிளிப் இங்கே உள்ளது.

நீங்கள் எப்போது வாஷர் முறை அல்லது தி பயன்படுத்த வேண்டும் ஷெல் முறை?

சிலிண்டரின் பரப்பளவைக் கணக்கிடுவதற்குப் பல முறைகள் உள்ளன. ஷெல் முறை அவற்றில் ஒன்று, ஆனால் அது எப்போதும் மிகவும் திறமையான அல்லது துல்லியமான வழி அல்ல.

வாஷர் முறை உண்மையில் ஒரு முறை அல்ல—இது மற்றொரு வழி, “நீங்கள் இதைச் செய்யும்போது என்ன மிச்சம் இருக்கும் வேறு விஷயம்?" சிலிண்டருக்குள் என்ன நடக்கிறது என்பது பற்றி எதுவும் சொல்லவில்லை; புறம்பான விஷயங்கள் மட்டுமே.

எனவே நீங்கள் எதைப் பயன்படுத்த வேண்டும்? நீங்கள் எதை அளவிட முயற்சிக்கிறீர்கள் என்பதைப் பொறுத்தது!

எவ்வளவு என்பதை நீங்கள் தெரிந்துகொள்ள விரும்பினால்உங்கள் சுவர்களுக்கு வண்ணப்பூச்சு தேவைப்படும், வாஷர் முறையை விட ஷெல் முறை உங்களுக்கு சிறந்த முடிவுகளைத் தரும், ஏனெனில் இது அதிக தரவு புள்ளிகளைப் பயன்படுத்துகிறது. ஆனால் உங்கள் டயர்களுக்கு எவ்வளவு ரப்பர் தேவை என்பதை நீங்கள் அளவிட முயற்சிக்கிறீர்கள் என்றால், வாஷர் முறை சிறப்பாகச் செயல்படும், ஏனெனில் அது குறைவான தரவுப் புள்ளிகளைப் பயன்படுத்துகிறது.

இது வட்டு அல்லது வாஷர் என்பதை எப்படி அறிவது?

வாஷர் மற்றும் டிஸ்க் இடையே உள்ள வித்தியாசம் அவற்றின் சுழற்சி சமச்சீர் அளவில் உள்ளது. ஒரு வட்டில் சமச்சீர் அச்சு இல்லை, எனவே அதை எந்த கோணத்திலும் சுழற்றலாம் மற்றும் அதே போல் தோன்றும். இருப்பினும், ஒரு வாஷர் சமச்சீர் அச்சைக் கொண்டுள்ளது—இது பொருளின் இரு பகுதிகளையும் சீரமைக்கும் ஒரு கோடு.

கால்குலஸில், பின்வரும் சமன்பாட்டைப் பயன்படுத்தி வட்டுக்கும் வாஷருக்கும் உள்ள வித்தியாசத்தை நீங்கள் அறியலாம்:

வட்டு: (விட்டம்)2 – (ஆரம்)2 = வட்டின் பரப்பளவு

வாஷர்: (விட்டம்)2 < (ஆரம்)2

இறுதி எண்ணங்கள்

• கால்குலஸில் உள்ள வட்டு, வாஷர் மற்றும் ஷெல் முறைகளுக்கு இடையே உள்ள முக்கிய வேறுபாடு என்னவென்றால், அவை ஒவ்வொன்றும் ஒரே பிரச்சனைக்கு வெவ்வேறு முடிவுகளைக் கொண்டுள்ளன.
• வட்டு முறையானது, வளைவின் கீழ் உள்ள பகுதியைப் பகுதிகளாகப் பிரித்து அவற்றின் பகுதிகளைச் சேர்ப்பதன் மூலம் கண்டறியும். இந்த முறை பல வளைவுகள் கொண்ட செயல்பாடுகளுக்கு நன்றாக வேலை செய்யும், ஆனால் குறைவான வளைவுகள் இருந்தால் குறைவாகவே இருக்கும்.
• வாஷர் முறையானது வளைவின் கீழ் உள்ள பகுதியை பகுதிகளாக பிரித்து அவற்றின் சுற்றளவை சேர்ப்பதை உள்ளடக்கியது. இந்த முறை மிகக் குறைவான வளைவுகளைக் கொண்ட செயல்பாடுகளுக்கு நன்றாக வேலை செய்கிறது ஆனால் இருக்கும் போது அவ்வளவு சிறப்பாக இருக்காதுஅதிக வளைவுகள் உள்ளன.
• ஒவ்வொரு வளைவின் உயரத்தையும் அதன் அகலத்தால் அதன் பரப்பளவை தோராயமாகப் பெருக்குவதை ஷெல் முறை உள்ளடக்குகிறது. நீங்கள் தோராயத்தை விரைவாகப் பெற வேண்டியிருக்கும் போது இந்த முறை நன்றாக வேலை செய்கிறது, ஆனால் சரியான பதிலைப் பெற முயற்சிக்கும்போது சிறப்பாகச் செயல்படாது.

தொடர்புடைய கட்டுரைகள்