Die Infinitesimalrechnung ist ein mathematisches Gebiet, das sich mit der Untersuchung von Veränderungen befasst. Sie gehört zu den anspruchsvollsten und abstraktesten Gebieten der modernen Mathematik und wird in nahezu allen Naturwissenschaften, Ingenieurwissenschaften und Wirtschaftsbereichen eingesetzt.

Mit Hilfe der Infinitesimalrechnung lassen sich Situationen modellieren, in denen es um Veränderungsraten geht, wie z. B. Geschwindigkeit oder Beschleunigung. Mit der Infinitesimalrechnung lassen sich auch Probleme lösen, die mit Grenzwerten zu tun haben, z. B. die Fläche unter einer Kurve oder das Volumen eines Körpers.

Sie können verschiedene Methoden verwenden, um unterschiedliche Probleme zu lösen, z. B. die Disketten-, die Scheiben- und die Shell-Methode.

Der Hauptunterschied zwischen der Scheiben-, der Unterlegscheiben- und der Schalenmethode in der Infinitesimalrechnung besteht darin, dass sie alle unterschiedliche Ansätze zur Annäherung an eine Kurve verwenden. Bei der Scheibenmethode wird ein kreisförmiger Bereich um eine Annäherung an die Kurve herum verwendet, während bei der Unterlegscheibe ein Bereich verwendet wird, der von oben gesehen wie eine Unterlegscheibe geformt ist. Bei der Schalenmethode wird ein Bereich verwendet, der von oben gesehen wie eine Schale geformt ist.

Lassen Sie uns all diese Methoden im Detail besprechen.

Was ist mit der Scheibenmethode gemeint?

Die Scheibenintegrationsmethode, auch bekannt als Scheibengleichung der Integralrechnung, berechnet das Volumen eines Festkörpers pro Umdrehung, wenn sie entlang der Achse parallel zu seiner Umdrehung integriert wird.

Bei der Scheibenmethode wird ein Objekt in viele kleine Scheiben oder Zylinder unterteilt, und die Volumina dieser kleinen Scheiben werden dann addiert, um das Volumen des Objekts zu bestimmen.

Der Radius eines Zylinders ist durch eine Funktion f(x) gegeben, und seine Höhe wird durch x bestimmt. Wenn die Änderung von x den Wert Null erreicht und die Anzahl der Scheiben ins Unendliche steigt, erhält man das tatsächliche Volumen des Objekts und nicht nur eine Schätzung.

Die Formel zur Berechnung des Volumens durch die Scheibenintegrationsmethode lautet wie folgt:

	=	Abstand zwischen der Funktion und der Drehachse
	=	Obergrenze
	=	Untergrenze
	=	gleitet entlang x

Was ist mit der Unterlegscheibenmethode gemeint?

Die Unterlegscheibenmethode ist eine Methode zur Lösung einer Differentialgleichung, die so genannt wird, weil sie eine Unterlegscheibe als Analogie für ihre Funktionsweise verwendet.

Eine Differentialgleichung beschreibt, wie sich eine unbekannte Funktion im Laufe der Zeit verändert, auch wenn sie nicht kontinuierlich ist. Sie wird oft verwendet, um Dinge wie Wellen oder andere Prozesse zu modellieren, die sich im Laufe der Zeit verändern, aber nicht unbedingt gleichmäßig.

Um y(t) zu lösen, müssen Sie y(t) für alle möglichen Werte von t finden. Dies kann jedoch schwierig und zeitaufwendig sein, da es unendlich viele Lösungen gibt. Die Washer-Methode hilft Ihnen, Lösungen zu finden, indem Sie Näherungen anstelle von exakten Werten verwenden.

• Es beginnt mit einer ersten Vermutung, wie Ihre Lösung aussehen könnte: y(t) = f(t).
• Dann ermitteln Sie den Fehler zwischen dieser Schätzung und dem tatsächlichen Ergebnis: e(t).
• Mit diesem Fehlerterm aktualisieren Sie dann Ihre Schätzung: f'(t) = f* 2 - 2 f*e + c, wobei c eine beliebige Konstante ist (es spielt keine Rolle, welchen Wert Sie wählen).
• Wiederholen Sie dann den Vorgang, bis der Fehler kleiner als epsilon ist.

Was ist unter der Shell-Methode zu verstehen?

In der Infinitesimalrechnung ist die Schalenmethode ein Verfahren zur Bestimmung des Volumens eines Festkörpers durch Annäherung an eine Reihe konzentrischer Schalen. Sie wird häufig verwendet, um das Volumen eines unregelmäßig geformten Festkörpers zu bestimmen, der sich nicht ohne weiteres in einfache Formen aufteilen lässt, für die die Volumina bekannt sind.

Bei der Schalenmethode wird die Form in viele dünne Scheiben unterteilt, deren Volumen dann summiert wird. Die Scheiben können als Schalen betrachtet werden, daher der Name "Schalenmethode".

Die Schalenmethode unterscheidet sich von anderen Methoden dadurch, dass sie einen Punkt als Mittelpunkt der Schale wählt und nicht den Mittelpunkt jedes Teilintervalls. Dies führt zu genaueren Annäherungen als andere Methoden, erfordert aber mehr Arbeit auf Seiten des Benutzers.

Den Unterschied kennen

Shell-, Washer- und Disc-Methoden sind allesamt Möglichkeiten zur Lösung von Berechnungsproblemen mit Integration.

Bei der Schalenmethode wird das Volumen eines Kreisrings ermittelt, während bei der Scheibenmethode die Fläche unter der Kurve einer Funktion bestimmt wird. Die Scheibenmethode ähnelt der Schalenmethode, verwendet aber eine andere Technik, um das Volumen eines Kreisrings zu bestimmen.

Shell-Methode

Die Schalenmethode wird verwendet, um das Volumen eines Rotationskörpers mit einem bestimmten Querschnitt zu bestimmen, indem die Volumina einer unendlichen Anzahl von dünnen Schalen, die aus dem Körper geschnitten wurden, summiert werden. Die Schalenmethode ist nur gültig, wenn der Querschnitt eine konstante Dicke hat, so dass sie nicht verwendet werden kann, um das Volumen eines unregelmäßig geformten Objekts zu bestimmen.

Waschmaschine Methode

Die Scheibenmethode ähnelt der Schalenmethode, mit dem Unterschied, dass man nicht unendlich viele dünne Schalen aus dem Festkörper schneidet, sondern nur eine dicke Schale (mit konstanter Dicke), die dann in kleinere Stücke mit konstanter Breite unterteilt wird.

Scheibe Methode

Bei der Scheibenmethode wird eine Reihe von Kreisen mit verschiedenen Radien und unterschiedlichen Winkelpositionen um eine durch ihre Mittelpunkte verlaufende Achse gezeichnet; diese Kreise schneiden sich an Punkten, die auf dem Umfang des jeweils anderen liegen müssen - mit anderen Worten, sie überschneiden sich -, um Sektoren zu bilden, die Teile des Kreisumfangs darstellen.

Diese Sektoren werden dann addiert, um einen Näherungswert dafür zu erhalten, wie oft jeder Radius um den Umfang Ihres Objekts passt, bevor es an den folgenden Schnittpunkten entlang derselben Achsen wieder zu Überschneidungen zwischen ihnen kommt.

In der Tabelle finden Sie die Unterschiede zwischen den drei Methoden in zusammengefasster Form.

Hier ist ein Videoclip, der alle drei Methoden erklärt.

Wann sollten Sie die Unterlegscheibenmethode oder die Schalenmethode anwenden?

Es gibt mehrere Methoden zur Berechnung der Oberfläche eines Zylinders, darunter die Schalenmethode, die jedoch nicht immer die effizienteste und genaueste Methode ist.

Die Unterlegscheiben-Methode ist keine wirkliche Methode - sie ist nur eine andere Art zu sagen: "Was bleibt übrig, wenn man diese andere Sache macht?" Sie sagt nichts darüber aus, was im Inneren des Zylinders passiert; nur das, was nicht dazugehört, ist wichtig.

Es kommt also darauf an, was Sie messen wollen!

Wenn Sie wissen wollen, wie viel Farbe für Ihre Wände benötigt wird, liefert die Schalenmethode bessere Ergebnisse als die Unterlegscheibenmethode, weil sie mehr Datenpunkte verwendet. Wenn Sie jedoch messen wollen, wie viel Gummi Ihre Reifen benötigen, funktioniert die Unterlegscheibenmethode besser, weil sie weniger Datenpunkte verwendet.

Woher wissen Sie, ob es sich um eine Scheibe oder eine Unterlegscheibe handelt?

Der Unterschied zwischen einer Unterlegscheibe und einer Scheibe liegt im Grad ihrer Rotationssymmetrie. Eine Scheibe hat keine Symmetrieachse und kann daher um jeden beliebigen Winkel gedreht werden, ohne dass sich ihr Aussehen ändert. Eine Unterlegscheibe hingegen hat eine Symmetrieachse - eine Linie, die die beiden Hälften des Objekts ausrichtet.

In der Infinitesimalrechnung kann man den Unterschied zwischen einer Scheibe und einer Unterlegscheibe anhand der folgenden Gleichung bestimmen:

Scheibe: (Durchmesser)2 - (Radius)2 = Fläche der Scheibe

Unterlegscheibe: (Durchmesser)2 <(Radius)2

Abschließende Überlegungen

• Der Hauptunterschied zwischen der Scheiben-, der Scheiben- und der Schalenmethode in der Infinitesimalrechnung besteht darin, dass sie jeweils unterschiedliche Ergebnisse für dasselbe Problem liefern.
• Bei der Scheibenmethode wird die Fläche unter einer Kurve ermittelt, indem sie in Abschnitte unterteilt und deren Flächen addiert werden. Diese Methode funktioniert gut für Funktionen mit vielen Kurven, aber weniger gut, wenn es weniger Kurven gibt.
• Bei der Unterlegscheibenmethode wird die Fläche unter einer Kurve in Abschnitte unterteilt und deren Umfang addiert. Diese Methode eignet sich gut für Funktionen mit sehr wenigen Kurven, aber nicht so gut, wenn es mehr Kurven gibt.
• Bei der Schalenmethode wird die Höhe jeder Kurve mit ihrer Breite multipliziert, um die Fläche zu approximieren. Diese Methode eignet sich gut, wenn man schnell eine Annäherung braucht, aber nicht besonders gut, wenn man versucht, eine genaue Antwort zu erhalten.

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