Ο λογισμός είναι ένας μαθηματικός τομέας που ασχολείται με τη μελέτη της αλλαγής. Είναι ένας από τους πιο απαιτητικούς και αφηρημένους τομείς των σύγχρονων μαθηματικών και χρησιμοποιείται σχεδόν σε κάθε επιστήμη, μηχανική και επιχειρηματικό τομέα.

Ο λογισμός μας βοηθά να μοντελοποιήσουμε καταστάσεις στις οποίες έχουμε ρυθμούς μεταβολής, όπως η ταχύτητα ή η επιτάχυνση. Αυτές συχνά ονομάζονται "διαφορικές εξισώσεις". Ο λογισμός μας επιτρέπει επίσης να επιλύουμε προβλήματα που περιλαμβάνουν όρια: για παράδειγμα, την εύρεση του εμβαδού κάτω από μια καμπύλη ή του όγκου ενός στερεού σώματος.

Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε διαφορετικές μεθόδους για την επίλυση διαφορετικών προβλημάτων. Μερικές από αυτές τις μεθόδους περιλαμβάνουν τις μεθόδους δίσκου, πλυντηρίου και κελύφους.

Η κύρια διαφορά μεταξύ των μεθόδων δίσκου, πλυντηρίου και κελύφους στον υπολογισμό είναι ότι όλες χρησιμοποιούν διαφορετικές προσεγγίσεις για την προσέγγιση μιας καμπύλης. Η μέθοδος δίσκου χρησιμοποιεί μια κυκλική περιοχή γύρω από μια προσέγγιση της καμπύλης, ενώ το πλυντήριο χρησιμοποιεί μια περιοχή που έχει σχήμα πλυντηρίου όταν εξετάζεται από πάνω. Η μέθοδος κελύφους χρησιμοποιεί μια περιοχή που έχει σχήμα κελύφους όταν εξετάζεται από πάνω.

Ας συζητήσουμε λεπτομερώς όλες αυτές τις μεθόδους.

Τι σημαίνει η μέθοδος του δίσκου;

Η μέθοδος ολοκλήρωσης δίσκου, γνωστή και ως εξίσωση δίσκου του ολοκληρωτικού λογισμού, υπολογίζει τον όγκο ενός στερεού ανά περιστροφή όταν ολοκληρώνεται κατά μήκος του άξονα που είναι παράλληλος προς την περιστροφή του.

Η μέθοδος των δίσκων περιλαμβάνει τη διαίρεση ενός αντικειμένου σε πολλούς μικρούς δίσκους ή κυλίνδρους και στη συνέχεια την πρόσθεση των όγκων αυτών των μικρών δίσκων για τον προσδιορισμό του όγκου του αντικειμένου.

Η ακτίνα ενός κυλίνδρου δίνεται από μια συνάρτηση f(x) και το ύψος του καθορίζεται από το x. Όταν η μεταβολή του x μηδενιστεί και ο αριθμός των δίσκων αυξηθεί στο άπειρο, θα έχετε τον πραγματικό όγκο του αντικειμένου και όχι μια εκτίμηση.

Ο τύπος για τον υπολογισμό του όγκου μέσω της μεθόδου ολοκλήρωσης δίσκου είναι ο εξής:

	=	απόσταση μεταξύ της συνάρτησης και του άξονα περιστροφής
	=	ανώτατο όριο
	=	κατώτερο όριο
	=	ολισθαίνει κατά μήκος του x

Τι σημαίνει η μέθοδος πλυντηρίου;

Η μέθοδος πλυντηρίου είναι ένας τρόπος επίλυσης μιας διαφορικής εξίσωσης. Ονομάζεται μέθοδος πλυντηρίου επειδή χρησιμοποιεί ένα πλυντήριο ως αναλογία για τον τρόπο λειτουργίας της.

Μια διαφορική εξίσωση περιγράφει τον τρόπο με τον οποίο μια άγνωστη συνάρτηση μεταβάλλεται με την πάροδο του χρόνου, ακόμη και αν δεν είναι συνεχής. Χρησιμοποιείται συχνά για τη μοντελοποίηση πραγμάτων όπως τα κύματα ή άλλες διαδικασίες που μεταβάλλονται με την πάροδο του χρόνου, αλλά όχι απαραίτητα με ομαλό τρόπο.

Για να λύσετε το y(t), πρέπει να βρείτε το y(t) για όλες τις πιθανές τιμές του t. Ωστόσο, αυτό μπορεί να είναι δύσκολο και χρονοβόρο επειδή υπάρχουν άπειρες λύσεις. Η μέθοδος Washer σας βοηθά να βρείτε λύσεις χρησιμοποιώντας προσεγγίσεις αντί για ακριβείς τιμές.

• Ξεκινά με μια αρχική εικασία για το πώς θα μπορούσε να μοιάζει η λύση σας: y(t) = f(t).
• Στη συνέχεια, βρίσκετε το σφάλμα μεταξύ αυτής της εικασίας και αυτού που συμβαίνει: e(t).
• Στη συνέχεια, χρησιμοποιείτε αυτόν τον όρο σφάλματος για να ενημερώσετε την εικασία σας: f'(t) = f* 2 - 2 f*e + c, όπου c είναι μια αυθαίρετη σταθερά (δεν έχει σημασία ποια τιμή επιλέγετε).
• Στη συνέχεια επαναλάβετε τη διαδικασία μέχρι το σφάλμα να γίνει μικρότερο από το epsilon.

Τι σημαίνει η μέθοδος Shell;

Στον λογισμό, η μέθοδος του κελύφους είναι μια τεχνική για την εύρεση του όγκου ενός στερεού σώματος προσεγγίζοντάς το με μια σειρά ομόκεντρων κελυφών. Χρησιμοποιείται συχνά για την εύρεση του όγκου ενός ακανόνιστου σχήματος στερεού σώματος που δεν μπορεί εύκολα να χωριστεί σε απλά σχήματα για τα οποία οι όγκοι είναι γνωστοί.

Η μέθοδος του κελύφους διαιρεί το σχήμα σε πολλές λεπτές φέτες και στη συνέχεια αθροίζει όλους τους όγκους τους. Οι φέτες μπορούν να θεωρηθούν κελύφη, εξ ου και η "μέθοδος του κελύφους".

Η μέθοδος του κελύφους διαφέρει από τις άλλες μεθόδους επιλέγοντας ένα σημείο ως κέντρο του κελύφους αντί για το μέσο κάθε υποδιαστήματος ως κέντρο. Αυτό έχει ως αποτέλεσμα ακριβέστερες προσεγγίσεις από άλλες μεθόδους, αλλά απαιτεί περισσότερη εργασία από την πλευρά του χρήστη.

Γνωρίστε τη διαφορά

Οι μέθοδοι του κελύφους, της ροδέλας και του δίσκου είναι όλοι τρόποι επίλυσης προβλημάτων υπολογισμού που περιλαμβάνουν ολοκλήρωση.

Η μέθοδος του κελύφους περιλαμβάνει την εύρεση του όγκου ενός δακτυλίου, ενώ η μέθοδος του δίσκου περιλαμβάνει την εύρεση του εμβαδού κάτω από την καμπύλη μιας συνάρτησης. Η μέθοδος της ροδέλας είναι παρόμοια με τη μέθοδο του κελύφους, αλλά χρησιμοποιεί μια διαφορετική τεχνική για την εύρεση του όγκου ενός δακτυλίου.

Μέθοδος Shell

Η μέθοδος του κελύφους χρησιμοποιείται για την προσέγγιση του όγκου ενός στερεού σώματος σε περιστροφή με καθορισμένη διατομή με το άθροισμα των όγκων ενός άπειρου αριθμού λεπτών κελυφών που κόβονται από το στερεό σώμα. Η μέθοδος του κελύφους ισχύει μόνο όταν η διατομή έχει σταθερό πάχος, οπότε δεν μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την εύρεση του όγκου ενός αντικειμένου ακανόνιστου σχήματος.

Μέθοδος πλυντηρίου

Η μέθοδος της ροδέλας είναι παρόμοια με τη μέθοδο του κελύφους με τη διαφορά ότι αντί να κόψετε έναν άπειρο αριθμό λεπτών κελυφών από το στερεό, κόβετε μόνο ένα παχύ κέλυφος από αυτό (που έχει σταθερό πάχος) και στη συνέχεια το χωρίζετε σε μικρότερα κομμάτια με σταθερό πλάτος.

Μέθοδος δίσκου

Η μέθοδος των δίσκων περιλαμβάνει τη σχεδίαση μιας σειράς κύκλων με διαφορετικές ακτίνες και διαφορετικές γωνιακές θέσεις γύρω από έναν άξονα που διέρχεται από τα κέντρα τους- οι κύκλοι αυτοί τέμνονται σε σημεία που πρέπει να βρίσκονται ο ένας στην περίμετρο του άλλου - με άλλα λόγια, επικαλύπτονται - για να σχηματίσουν τομείς που αντιπροσωπεύουν τμήματα της περιφέρειας ενός κύκλου.

Αυτοί οι τομείς αθροίζονται στη συνέχεια για να προκύψει μια προσέγγιση του πόσες φορές θα χωρέσει κάθε ακτίνα γύρω από την περίμετρο του αντικειμένου σας πριν προκύψουν επικαλύψεις μεταξύ τους και πάλι στις επόμενες τομές τους κατά μήκος των ίδιων αξόνων.

Ο πίνακας σας δίνει τη διαφορά μεταξύ των τριών μεθόδων σε συνοπτική μορφή.

Ακολουθεί ένα βίντεο κλιπ που εξηγεί και τις τρεις μεθόδους.

Πότε πρέπει να χρησιμοποιείτε τη μέθοδο πλυντηρίου ή τη μέθοδο κελύφους;

Υπάρχουν διάφορες μέθοδοι για τον υπολογισμό της επιφάνειας ενός κυλίνδρου. Η μέθοδος του κελύφους είναι μία από αυτές, αλλά δεν είναι πάντα ο πιο αποτελεσματικός ή ακριβής τρόπος.

Η μέθοδος του πλυντηρίου δεν είναι στην πραγματικότητα μέθοδος - είναι απλώς ένας άλλος τρόπος για να πούμε: "Τι μένει όταν κάνεις αυτό το άλλο πράγμα;" Δεν σου λέει τίποτα για το τι συμβαίνει μέσα στον κύλινδρο- σημασία έχει μόνο το τι είναι ξένο.

Ποιο από τα δύο πρέπει να χρησιμοποιήσετε; Εξαρτάται από το τι προσπαθείτε να μετρήσετε!

Αν θέλετε να μάθετε πόση μπογιά θα χρειαστείτε για τους τοίχους σας, η μέθοδος του κελύφους θα σας δώσει καλύτερα αποτελέσματα από τη μέθοδο του πλυντηρίου, επειδή χρησιμοποιεί περισσότερα σημεία δεδομένων. Αλλά αν προσπαθείτε να μετρήσετε πόσο λάστιχο χρειάζονται τα ελαστικά σας, η μέθοδος του πλυντηρίου θα λειτουργήσει καλύτερα, επειδή χρησιμοποιεί λιγότερα σημεία δεδομένων.

Πώς ξέρετε αν πρόκειται για δίσκο ή πλυντήριο;

Η διαφορά μεταξύ μιας ροδέλας και ενός δίσκου έγκειται στον βαθμό περιστροφικής συμμετρίας τους. Ένας δίσκος δεν έχει άξονα συμμετρίας, οπότε μπορεί να περιστραφεί κατά οποιαδήποτε γωνία και να φαίνεται το ίδιο. Μια ροδέλα, ωστόσο, έχει έναν άξονα συμμετρίας - μια γραμμή που ευθυγραμμίζει τα δύο μισά του αντικειμένου.

Στον λογισμό, μπορείτε να καταλάβετε τη διαφορά μεταξύ ενός δίσκου και μιας ροδέλας χρησιμοποιώντας την ακόλουθη εξίσωση:

Δίσκος: (διάμετρος)2 - (ακτίνα)2 = εμβαδόν του δίσκου

Ροδέλα: (διάμετρος)2 <(ακτίνα)2

Τελικές σκέψεις

• Η κύρια διαφορά μεταξύ των μεθόδων δίσκου, πλυντηρίου και κελύφους στον υπολογισμό είναι ότι η καθεμία έχει διαφορετικά αποτελέσματα για το ίδιο πρόβλημα.
• Η μέθοδος του δίσκου περιλαμβάνει την εύρεση του εμβαδού κάτω από μια καμπύλη, χωρίζοντάς την σε τμήματα και προσθέτοντας τα εμβαδά τους. Η μέθοδος αυτή λειτουργεί καλά για συναρτήσεις με πολλές καμπύλες, αλλά λιγότερο καλά αν οι καμπύλες είναι λιγότερες.
• Η μέθοδος της πλυντηρίου περιλαμβάνει τη διαίρεση του εμβαδού κάτω από μια καμπύλη σε τμήματα και την πρόσθεση των περιμέτρων τους. Αυτή η μέθοδος λειτουργεί καλά για συναρτήσεις με πολύ λίγες καμπύλες, αλλά όχι τόσο καλά όταν υπάρχουν περισσότερες καμπύλες.
• Η μέθοδος του κελύφους περιλαμβάνει τον πολλαπλασιασμό του ύψους κάθε καμπύλης με το πλάτος της για να προσεγγίσετε το εμβαδόν της. Αυτή η μέθοδος λειτουργεί καλά όταν πρέπει να πάρετε μια προσέγγιση γρήγορα, αλλά δεν λειτουργεί ιδιαίτερα καλά όταν προσπαθείτε να πάρετε μια ακριβή απάντηση.

Σχετικά άρθρα