El cálculo es un campo matemático que se ocupa del estudio del cambio. Se encuentra entre los campos más desafiantes y abstractos de las matemáticas modernas y se utiliza en casi todas las áreas de la ciencia, la ingeniería y la empresa.

El cálculo nos ayuda a modelizar situaciones en las que tenemos tasas de cambio, como la velocidad o la aceleración, que suelen denominarse "ecuaciones diferenciales". El cálculo también nos permite resolver problemas que implican límites: por ejemplo, hallar el área bajo una curva o el volumen de un sólido.

Puede utilizar diferentes métodos para resolver distintos problemas. Algunos de estos métodos son el método del disco, el de la arandela y el de la cáscara.

La principal diferencia entre los métodos del disco, de la arandela y de la cáscara en cálculo es que todos ellos utilizan aproximaciones diferentes para aproximar una curva. El método del disco utiliza una región circular alrededor de una aproximación de la curva, mientras que la arandela utiliza una región con forma de arandela vista desde arriba. El método de la cáscara utiliza una región con forma de cáscara vista desde arriba.

Analicemos todos estos métodos en detalle.

¿Qué significa el método del disco?

El método de integración del disco, también conocido como ecuación del disco del cálculo integral, calcula el volumen de un sólido por revolución cuando se integra a lo largo del eje paralelo a su revolución.

El método del disco consiste en dividir un objeto en muchos discos o cilindros pequeños y, a continuación, sumar los volúmenes de estos pequeños discos para determinar el volumen del objeto.

El radio de un cilindro viene dado por una función f(x), y su altura viene determinada por x. Cuando el cambio en x llega a cero y el número de discos aumenta hasta el infinito, tendrás el volumen real del objeto en lugar de una estimación.

La fórmula para calcular el volumen mediante el método de integración de discos es la siguiente:

	=	distancia entre la función y el eje de rotación
	=	límite superior
	=	límite inferior
	=	se desliza a lo largo de x

¿Qué significa el método de la lavadora?

El método de la lavadora es una forma de resolver una ecuación diferencial. Se llama método de la lavadora porque utiliza una lavadora como analogía de su funcionamiento.

Una ecuación diferencial describe cómo cambia una función desconocida a medida que transcurre el tiempo, aunque no sea continua. Suele utilizarse para modelizar cosas como ondas u otros procesos que cambian con el tiempo, pero no necesariamente de forma suave.

Para resolver y(t), tienes que encontrar y(t) para todos los valores posibles de t. Sin embargo, esto puede ser difícil y llevar mucho tiempo porque hay infinitas soluciones. El método Washer te ayuda a encontrar soluciones utilizando aproximaciones en lugar de valores exactos.

• Comienza con una suposición inicial de cómo podría ser tu solución: y(t) = f(t).
• A continuación, calcula el error entre esta suposición y lo que ocurre: e(t).
• A continuación, utilice este término de error para actualizar su conjetura: f'(t) = f* 2 - 2 f*e + c, donde c es una constante arbitraria (no importa el valor que elijas).
• A continuación, repita el proceso hasta que el error sea inferior a epsilon.

¿Qué se entiende por método Shell?

En cálculo, el método de la cáscara es una técnica para hallar el volumen de un sólido aproximándolo con una serie de cáscaras concéntricas. A menudo se utiliza para hallar el volumen de un sólido de forma irregular que no puede dividirse fácilmente en formas simples cuyos volúmenes se conocen.

El método de la cáscara divide la forma en muchas rebanadas finas y luego suma todos sus volúmenes. Las rebanadas pueden considerarse cáscaras, de ahí el "método de la cáscara".

El método de la cáscara se diferencia de otros métodos por la elección de un punto como centro de la cáscara en lugar del punto medio de cada subintervalo como centro. Esto da lugar a aproximaciones más precisas que otros métodos, pero requiere más trabajo por parte del usuario.

Conozca la diferencia

Los métodos de la cáscara, la arandela y el disco son formas de resolver problemas de cálculo que implican integración.

El método de la concha consiste en hallar el volumen de un anillo, mientras que el método del disco consiste en hallar el área bajo la curva de una función. El método de la arandela es similar al método de la concha, pero utiliza una técnica diferente para hallar el volumen de un anillo.

Método Shell

El método de la cáscara se utiliza para aproximar el volumen de un sólido en revolución con una sección transversal especificada mediante la suma de los volúmenes de un número infinito de cáscaras delgadas cortadas del sólido. El método de la cáscara sólo es válido cuando la sección transversal tiene un espesor constante, por lo que no se puede utilizar para encontrar el volumen de un objeto de forma irregular.

Método de lavado

El método de la arandela es similar al método de la cáscara, salvo que en lugar de cortar un número infinito de cáscaras delgadas del sólido, se corta sólo una cáscara gruesa de él (que tiene un espesor constante) y luego se divide en trozos más pequeños con una anchura constante.

Método del disco

El método del disco consiste en dibujar una serie de círculos con radios variables y diferentes posiciones angulares alrededor de un eje que pasa por sus centros; estos círculos se cruzan en puntos que deben estar situados en los perímetros de los demás -es decir, se solapan- para formar sectores que representan partes de la circunferencia de un círculo.

A continuación, estos sectores se suman para obtener una aproximación de cuántas veces cabrá cada radio alrededor del perímetro de tu objeto antes de que se produzcan solapamientos entre todos ellos de nuevo en sus siguientes intersecciones a lo largo de esos mismos ejes.

La tabla muestra la diferencia entre los tres métodos de forma resumida.

Aquí tiene un vídeo explicativo de los tres métodos.

¿Cuándo se debe utilizar el método de la lavadora o el método de la cáscara?

Existen varios métodos para calcular la superficie de un cilindro. El método de la cáscara es uno de ellos, pero no siempre es el más eficaz o preciso.

El método de la arandela no es realmente un método, es sólo otra forma de decir: "¿Qué sobra cuando haces esto otro?" No te dice nada de lo que ocurre dentro del cilindro; sólo importa lo ajeno.

Depende de lo que se quiera medir.

Si quiere saber cuánta pintura se necesitaría para sus paredes, el método de la cáscara le dará mejores resultados que el método de la arandela porque utiliza más puntos de datos. Pero si está intentando medir cuánta goma necesitan sus neumáticos, el método de la arandela funcionará mejor porque utiliza menos puntos de datos.

¿Cómo saber si es un disco o una arandela?

La diferencia entre una arandela y un disco radica en su grado de simetría rotacional. Un disco no tiene eje de simetría, por lo que puede girarse cualquier ángulo y parecer igual. Una arandela, sin embargo, tiene un eje de simetría, una línea que alinea las dos mitades del objeto.

En cálculo, puedes diferenciar entre un disco y una arandela mediante la siguiente ecuación:

Disco: (diámetro)2 - (radio)2 = área del disco

Arandela: (diámetro)2 <(radio)2

Reflexiones finales

• La principal diferencia entre los métodos del disco, de la arandela y de la cáscara en cálculo es que cada uno tiene resultados diferentes para el mismo problema.
• El método del disco consiste en hallar el área bajo una curva dividiéndola en secciones y sumando sus áreas. Este método funciona bien para funciones con muchas curvas, pero menos bien si hay menos curvas.
• El método de la arandela consiste en dividir el área bajo una curva en secciones y sumar sus perímetros. Este método funciona bien para funciones con muy pocas curvas, pero no tanto cuando hay más curvas.
• El método de la cáscara consiste en multiplicar la altura de cada curva por su anchura para aproximar su área. Este método funciona bien cuando se necesita obtener una aproximación rápidamente, pero no funciona especialmente bien cuando se intenta obtener una respuesta exacta.

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