कॅल्क्युलस हे गणितीय क्षेत्र आहे जे बदलाच्या अभ्यासाशी संबंधित आहे. हे आधुनिक गणितातील सर्वात आव्हानात्मक आणि अमूर्त क्षेत्रांपैकी एक आहे आणि जवळजवळ प्रत्येक विज्ञान, अभियांत्रिकी आणि व्यवसाय क्षेत्रात वापरले जाते.

कॅल्क्युलस आम्हाला अशा परिस्थितींचे मॉडेल करण्यास मदत करते जिथे आमच्याकडे वेग किंवा प्रवेग यांसारखे बदलाचे दर आहेत. याला बर्‍याचदा "विभेदक समीकरणे" म्हणतात. कॅल्क्युलस आम्हाला मर्यादांचा समावेश असलेल्या समस्यांचे निराकरण करण्यास देखील अनुमती देते: उदाहरणार्थ, वक्र अंतर्गत क्षेत्रफळ शोधणे किंवा घनतेचे खंड शोधणे.

वेगवेगळ्या समस्यांचे निराकरण करण्यासाठी तुम्ही वेगवेगळ्या पद्धती वापरू शकता. यापैकी काही पद्धतींमध्ये डिस्क, वॉशर आणि शेल पद्धतींचा समावेश होतो.

कॅल्क्युलसमधील डिस्क, वॉशर आणि शेल पद्धतींमधला मुख्य फरक हा आहे की वक्र अंदाजे करण्यासाठी त्या सर्व वेगवेगळ्या पद्धती वापरतात. डिस्क पद्धत वक्रच्या अंदाजे भोवती गोलाकार क्षेत्र वापरते, तर वॉशर वरून पाहिल्यावर वॉशरच्या आकाराचा प्रदेश वापरते. वरून पाहिल्यावर शेल पद्धत शेलच्या आकाराचा प्रदेश वापरते.

या सर्व पद्धतींची तपशीलवार चर्चा करूया.

डिस्क म्हणजे काय. पद्धत?

डिस्क इंटिग्रेशन पद्धत, ज्याला इंटिग्रल कॅल्क्युलस डिस्क समीकरण म्हणूनही ओळखले जाते, जेव्हा त्याच्या क्रांतीच्या समांतर अक्षाच्या बाजूने एकत्रित केले जाते तेव्हा घन प्रति क्रांतीची मात्रा मोजते.

डिस्क पद्धतीमध्येऑब्जेक्टचे अनेक लहान डिस्क्स किंवा सिलेंडर्समध्ये विभाजन करणे आणि नंतर ऑब्जेक्टचे व्हॉल्यूम निर्धारित करण्यासाठी या लहान डिस्कचे व्हॉल्यूम एकत्र जोडणे.

सिलेंडरची त्रिज्या f(x) फंक्शनद्वारे दिली जाते आणि त्याची उंची x ने निर्धारित केली जाते. जेव्हा x मधील बदल शून्यावर पोहोचतो आणि डिस्कची संख्या अनंतापर्यंत वाढते, तेव्हा तुमच्याकडे अंदाजाऐवजी ऑब्जेक्टची वास्तविक मात्रा असेल.

डिस्क एकत्रीकरण पद्धतीद्वारे व्हॉल्यूम मोजण्याचे सूत्र खालीलप्रमाणे आहे:

	=	फंक्शन आणि रोटेशनच्या अक्षांमधील अंतर
	=	उच्च मर्यादा
	=	कमी मर्यादा
	=	x बाजूने स्लाइड्स

वॉशर पद्धतीचा अर्थ काय आहे?

वॉशर पद्धत ही भिन्न समीकरण सोडवण्याचा एक मार्ग आहे. याला वॉशर पद्धत म्हटले जाते कारण ते कसे कार्य करते यासाठी वॉशरचा सादृश्य म्हणून वापर करते.

एक विभेदक समीकरण हे वर्णन करते की अज्ञात फंक्शन वेळ निघून कसा बदलतो, जरी ते सतत नसले तरीही. हे सहसा वेळोवेळी बदलणाऱ्या लाटा किंवा इतर प्रक्रियांसारख्या गोष्टींचे मॉडेल करण्यासाठी वापरले जाते, परंतु ते गुळगुळीतपणे आवश्यक नसते.

y(t) चे निराकरण करण्यासाठी, तुम्हाला सर्व संभाव्य मूल्यांसाठी y(t) शोधणे आवश्यक आहे. च्या टी. तथापि, हे कठीण आणि वेळ घेणारे असू शकते कारण अनंत उपाय आहेत. वॉशर पद्धत तुम्हाला उपाय शोधण्यात मदत करतेअचूक मूल्यांऐवजी अंदाजे वापरणे.

• तुमचे समाधान कसे दिसू शकते याचा प्रारंभिक अंदाज घेऊन हे सुरू होते: y(t) = f(t).
• मग तुम्हाला हा अंदाज आणि काय होते यामधील त्रुटी आढळते: e(t).
• तर तुमचा अंदाज अपडेट करण्यासाठी तुम्ही ही त्रुटी संज्ञा वापरता: f'(t) = f* 2 – 2 f*e + c, जिथे c आहे अनियंत्रित स्थिरांक (तुम्ही कोणते मूल्य निवडले याने काही फरक पडत नाही).
• नंतर एरर एप्सिलॉनपेक्षा लहान होईपर्यंत प्रक्रिया पुन्हा करा.

शेल पद्धतीचा अर्थ काय आहे?

कॅल्क्युलसमध्ये, शेल पद्धत हे घनकेंद्रित शेलच्या मालिकेसह अंदाजे घनफळ शोधण्याचे तंत्र आहे. हे सहसा अनियमित आकाराच्या घन पदार्थाचे आकारमान शोधण्यासाठी वापरले जाते ज्याचे खंड ओळखले जातात अशा साध्या आकारांमध्ये सहजपणे विभाजित केले जाऊ शकत नाही.

शेल पद्धत अनेक पातळ स्लाइसमध्ये आकार विभाजित करते आणि नंतर त्यांच्या सर्व खंडांची बेरीज करते. स्लाइसला शेल मानले जाऊ शकते, म्हणून "शेल पद्धत."

शेल पद्धत इतर पद्धतींपेक्षा वेगळी असते आणि केंद्र म्हणून प्रत्येक सबइंटरव्हलच्या मध्यबिंदूऐवजी शेलचा केंद्र म्हणून एक बिंदू निवडते. याचा परिणाम इतर पद्धतींच्या तुलनेत अधिक अचूक अंदाजात होतो परंतु वापरकर्त्याच्या बाजूने अधिक काम करणे आवश्यक आहे.

फरक जाणून घ्या

शेल, वॉशर आणि डिस्क पद्धती हे सर्व कॅल्क्युलस समस्यांचे निराकरण करण्याचे मार्ग आहेतएकीकरण

शेल पद्धतीमध्ये अॅन्युलसची मात्रा शोधणे समाविष्ट असते, तर डिस्क पद्धतीमध्ये फंक्शनच्या वक्र अंतर्गत क्षेत्र शोधणे समाविष्ट असते. वॉशर पद्धत शेल पद्धतीसारखीच असते, परंतु ती अॅन्युलसचा आवाज शोधण्यासाठी वेगळ्या तंत्राचा वापर करते.

शेल पद्धत

आंदाज मोजण्यासाठी शेल पद्धत वापरली जाते घन पासून कापलेल्या अनंत संख्येच्या पातळ कवचांच्या खंडांची बेरीज करून निर्दिष्ट क्रॉस-सेक्शनसह क्रांतीमध्ये घन. शेल पद्धत केवळ तेव्हाच वैध असते जेव्हा क्रॉस-सेक्शनची जाडी स्थिर असते, त्यामुळे ती अनियमित आकाराच्या वस्तूची मात्रा शोधण्यासाठी वापरली जाऊ शकत नाही.

वॉशर पद्धत

वॉशर पद्धत समान आहे कवच पद्धतीत, घनापासून अनंत संख्येने पातळ कवच कापण्याऐवजी, तुम्ही त्यातून फक्त एक जाड शेल कापला (ज्याला स्थिर जाडी असते) आणि नंतर स्थिर रुंदीसह लहान तुकड्यांमध्ये विभाजित केले.

डिस्क पद्धत

डिस्क पद्धतीमध्ये वेगवेगळ्या त्रिज्या आणि त्यांच्या केंद्रांमधून जाणार्‍या अक्षाभोवती वेगवेगळ्या कोनीय स्थानांसह वर्तुळांची मालिका काढणे समाविष्ट असते; ही वर्तुळे एकमेकांच्या परिमितीवर असायला हवे अशा बिंदूंना छेदतात-दुसर्‍या शब्दात सांगायचे तर, ते ओव्हरलॅप होतात- वर्तुळाच्या परिघाचे भाग दर्शविणारे सेक्टर बनवतात.

तुमच्या ऑब्जेक्टच्या आजूबाजूला प्रत्येक त्रिज्या किती वेळा फिट होईल याचा अंदाज घेण्यासाठी हे क्षेत्र जोडले जातातत्या सर्वांमध्ये ओव्हरलॅप होण्यापूर्वीचा परिमिती पुन्हा त्याच अक्षांसह त्यांच्या खालील छेदनबिंदूंवर होतो.

सारणी तुम्हाला तीन पद्धतींमधील फरक सारांशित स्वरूपात देते.

तीन्ही पद्धती समजावून सांगणारी ही व्हिडिओ क्लिप आहे.

तुम्ही वॉशर पद्धत किंवा केव्हा वापरावी शेल पद्धत?

सिलेंडरच्या पृष्ठभागाचे क्षेत्रफळ मोजण्यासाठी अनेक पद्धती अस्तित्वात आहेत. शेल पद्धत ही त्यापैकी एक आहे, परंतु ती नेहमीच सर्वात कार्यक्षम किंवा अचूक पद्धत नसते.

वॉशर पद्धत ही खरोखर एक पद्धत नाही—हे सांगण्याचा आणखी एक मार्ग आहे, “जेव्हा तुम्ही हे करता तेव्हा काय शिल्लक राहते दुसरी गोष्ट?" सिलेंडरच्या आत काय होते याबद्दल ते तुम्हाला काहीही सांगत नाही; केवळ बाह्य बाबी काय आहेत.

तर तुम्ही कोणते वापरावे? तुम्ही काय मोजण्याचा प्रयत्न करत आहात यावर ते अवलंबून आहे!

तुम्हाला किती हे जाणून घ्यायचे असल्यासतुमच्या भिंतींसाठी पेंट आवश्यक असेल, शेल पद्धत तुम्हाला वॉशर पद्धतीपेक्षा चांगले परिणाम देईल कारण ते अधिक डेटा पॉइंट्स वापरते. परंतु तुम्ही तुमच्या टायर्सला किती रबर आवश्यक आहे हे मोजण्याचा प्रयत्न करत असल्यास, वॉशर पद्धत अधिक चांगली काम करेल कारण ती कमी डेटा पॉइंट वापरते.

ती डिस्क आहे की वॉशर आहे हे तुम्हाला कसे कळेल?

वॉशर आणि डिस्कमधील फरक त्यांच्या घूर्णन सममितीच्या डिग्रीमध्ये आहे. डिस्कमध्ये सममितीचा अक्ष नसतो, म्हणून ती कोणत्याही कोनातून फिरवता येते आणि सारखीच दिसू शकते. तथापि, वॉशरमध्ये सममितीचा एक अक्ष असतो—एक रेषा जी ऑब्जेक्टच्या दोन भागांना संरेखित करते.

कॅल्क्युलसमध्ये, तुम्ही खालील समीकरण वापरून डिस्क आणि वॉशरमधील फरक सांगू शकता:

डिस्क: (व्यास)2 – (त्रिज्या)2 = डिस्कचे क्षेत्र

वॉशर: (व्यास)2 < (त्रिज्या)2

अंतिम विचार

• कॅल्क्युलसमधील डिस्क, वॉशर आणि शेल पद्धतींमधला मुख्य फरक हा आहे की समान समस्येसाठी प्रत्येकाचे वेगवेगळे परिणाम आहेत.
• डिस्क पद्धतीमध्ये वक्राखालील क्षेत्रफळ शोधणे आणि त्याचे भाग जोडणे समाविष्ट आहे. ही पद्धत अनेक वक्र असलेल्या फंक्शन्ससाठी चांगली कार्य करते परंतु कमी वक्र असल्यास कमी चांगले.
• वॉशर पद्धतीमध्ये वक्र अंतर्गत क्षेत्र विभागांमध्ये विभागणे आणि त्यांचे परिमिती जोडणे समाविष्ट आहे. ही पद्धत फार कमी वक्र असलेल्या फंक्शन्ससाठी चांगली कार्य करते परंतु तेथे असताना तितकी चांगली नाहीअधिक वक्र आहेत.
• शेल पद्धतीमध्ये प्रत्येक वक्राची उंची त्याच्या रुंदीने त्याच्या क्षेत्रफळाच्या अंदाजे गुणाकार करणे समाविष्ट आहे. तुम्‍हाला त्‍याच्‍या अंदाजाच्‍या अंदाजाच्‍या त्‍याने त्‍याने त्‍याची आवश्‍यकता असल्‍यावर ही पद्धत चांगली कार्य करते परंतु अचूक उत्‍तर मिळवण्‍याचा प्रयत्‍न करताना विशेषतः चांगले काम करत नाही.

संबंधित लेख