Calculus एउटा गणितीय क्षेत्र हो जुन परिवर्तनको अध्ययनसँग सम्बन्धित छ। यो आधुनिक गणितमा सबैभन्दा चुनौतीपूर्ण र अमूर्त क्षेत्रहरू मध्ये एक हो र लगभग हरेक विज्ञान, ईन्जिनियरिङ्, र व्यापार क्षेत्रमा प्रयोग गरिन्छ।

क्याल्कुलसले हामीलाई परिवर्तनको दरहरू, जस्तै गति वा प्रवेग जस्ता परिस्थितिहरू मोडेल गर्न मद्दत गर्दछ। यिनीहरूलाई प्रायः "भिन्न समीकरणहरू" भनिन्छ। क्याल्कुलसले हामीलाई सीमाहरू समावेश गर्ने समस्याहरू समाधान गर्न पनि अनुमति दिन्छ: उदाहरणका लागि, वक्र मुनिको क्षेत्र वा ठोसको भोल्युम पत्ता लगाउने।

विभिन्न समस्याहरू समाधान गर्न तपाईं विभिन्न विधिहरू प्रयोग गर्न सक्नुहुन्छ। यी केही विधिहरूमा डिस्क, धुने र खोल विधिहरू समावेश छन्।

क्याल्कुलसमा डिस्क, धुने र खोल विधिहरू बीचको मुख्य भिन्नता यो हो कि तिनीहरू सबैले कर्वको अनुमान लगाउन विभिन्न दृष्टिकोणहरू प्रयोग गर्छन्। डिस्क विधिले कर्भको अनुमानित वरिपरि गोलाकार क्षेत्र प्रयोग गर्दछ, जबकि धुनेले माथिबाट हेर्दा धुने जस्तो आकारको क्षेत्र प्रयोग गर्दछ। शेल विधिले माथिबाट हेर्दा शेल जस्तो आकारको क्षेत्र प्रयोग गर्दछ।

यी सबै विधिहरू विस्तारमा छलफल गरौं।

डिस्कको अर्थ के हो। विधि?

डिस्क एकीकरण विधि, जसलाई इन्टिग्रल क्याल्कुलस डिस्क समीकरण पनि भनिन्छ, यसको क्रान्तिको समानान्तर अक्षमा एकीकृत हुँदा ठोस प्रति क्रान्तिको भोल्युम गणना गर्दछ।

डिस्क विधि समावेश छकुनै वस्तुलाई धेरै साना डिस्क वा सिलिन्डरहरूमा विभाजन गर्ने र त्यसपछि वस्तुको भोल्युम निर्धारण गर्न यी साना डिस्कहरूको भोल्युमहरू जोड्ने।

एक सिलिन्डरको त्रिज्या फंक्शन f(x) द्वारा दिइएको छ, र यसको उचाइ x द्वारा निर्धारण गरिन्छ। जब x मा परिवर्तन शून्य पुग्छ र डिस्कहरूको संख्या अनन्ततामा बढ्छ, तपाईंसँग अनुमानको सट्टा वस्तुको वास्तविक भोल्युम हुनेछ।

डिस्क एकीकरण विधि मार्फत भोल्युम गणना गर्ने सूत्र निम्नानुसार छ:

	=	प्रकार्य र परिक्रमाको अक्ष बीचको दूरी
	=	माथिल्लो सीमा
	=	तल्लो सीमा
	=	स्लाइडहरू x

धुने विधि भनेको के हो?

वाशर विधि एक भिन्न समीकरण समाधान गर्ने तरिका हो। यसलाई धुने विधि भनिन्छ किनभने यसले कसरी काम गर्छ भनेर एक समानताको रूपमा धुने मेथड प्रयोग गर्दछ।

एउटा विभेदक समीकरणले समय बित्दै जाँदा अज्ञात कार्य कसरी परिवर्तन हुन्छ भनेर वर्णन गर्छ, यद्यपि यो निरन्तर नभए पनि। यो प्राय: तरंगहरू वा अन्य प्रक्रियाहरू जस्तै चीजहरू मोडेल गर्न प्रयोग गरिन्छ जुन समयसँगै परिवर्तन हुन्छ, तर आवश्यक छैन कि सहज रूपमा।

y(t) को लागि समाधान गर्न, तपाईंले सबै सम्भावित मानहरूको लागि y(t) फेला पार्न आवश्यक छ। t को। यद्यपि, यो गाह्रो र समय-उपभोग हुन सक्छ किनभने त्यहाँ अनन्त समाधानहरू छन्। धुने विधिले तपाईंलाई समाधान खोज्न मद्दत गर्छसटीक मानहरूको सट्टा अनुमानितताहरू प्रयोग गर्दै।

• यो तपाइँको समाधान कस्तो देखिन सक्छ भन्ने प्रारम्भिक अनुमानबाट सुरु हुन्छ: y(t) = f(t)।
• त्यसपछि तपाईंले यो अनुमान र के हुन्छ बीचको त्रुटि फेला पार्नुहुन्छ: e(t)।
• तपाईले आफ्नो अनुमान अपडेट गर्न यो त्रुटि शब्द प्रयोग गर्नुहुन्छ: f'(t) = f* 2 – 2 f*e + c, जहाँ c हो मनमानी स्थिर (तपाईले कुन मान रोज्नुहुन्छ भन्ने कुराले फरक पार्दैन)।
• त्यसपछि त्रुटि एप्सिलोन भन्दा सानो नभएसम्म प्रक्रिया दोहोर्याउनुहोस्।

शेल विधि भनेको के हो?

क्याल्कुलसमा, शेल विधि भनेको ठोसको भोल्युमलाई केन्द्रित शेलहरूको शृङ्खलासँग अनुमानित गरेर पत्ता लगाउने प्रविधि हो। यो प्रायः अनियमित आकारको ठोसको भोल्युम पत्ता लगाउन प्रयोग गरिन्छ जुन सजिलैसँग साधारण आकारहरूमा विभाजन गर्न सकिँदैन जसको लागि भोल्युमहरू ज्ञात छन्।

शेल विधिले आकारलाई धेरै पातलो स्लाइसहरूमा विभाजन गर्छ र त्यसपछि तिनीहरूको सबै भोल्युमहरू जोड्छ। स्लाइसहरूलाई शेलहरू मान्न सकिन्छ, त्यसैले "शेल विधि।"

शेल विधि प्रत्येक उप-अन्तर्भालको मध्य बिन्दुलाई केन्द्रको रूपमा छनोट गरेर शेलको केन्द्रको रूपमा बिन्दु छनौट गरेर अन्य विधिहरू भन्दा फरक हुन्छ। यसले अन्य विधिहरू भन्दा बढी सटीक अनुमानमा परिणाम दिन्छ तर प्रयोगकर्ताको अन्त्यमा थप काम चाहिन्छ।

भिन्नता जान्नुहोस्

शेल, धुने, र डिस्क विधिहरू समावेश क्याल्कुलस समस्याहरू समाधान गर्ने सबै तरिकाहरू हुन्।एकीकरण।

शेल विधिले एन्युलसको भोल्युम पत्ता लगाउने समावेश गर्दछ, जबकि डिस्क विधिले प्रकार्यको वक्र अन्तर्गत क्षेत्र पत्ता लगाउन समावेश गर्दछ। धुने विधि शेल विधिसँग मिल्दोजुल्दो छ, तर यसले एन्युलसको भोल्युम पत्ता लगाउन फरक प्रविधि प्रयोग गर्छ।

शेल विधि

आवाज अनुमान गर्न शेल विधि प्रयोग गरिन्छ। ठोसबाट काटिएको असीमित संख्यामा पातलो गोलाहरूको मात्रालाई संक्षेप गरेर निर्दिष्ट क्रस-सेक्शनको साथ क्रान्तिमा ठोसको। शेल विधि तब मात्र मान्य हुन्छ जब क्रस-सेक्शनको स्थिर मोटाई हुन्छ, त्यसैले यसलाई अनियमित आकारको वस्तुको भोल्युम पत्ता लगाउन प्रयोग गर्न सकिँदैन।

धुने विधि

वाशर विधि समान छ। शेल विधिमा बाहेक ठोसबाट असीम संख्यामा पातलो शेलहरू काट्नुको सट्टा, तपाईंले त्यसबाट केवल एउटा बाक्लो खोल काट्नु भयो (जसमा स्थिर मोटाई छ) र त्यसपछि यसलाई स्थिर चौडाइमा साना टुक्राहरूमा विभाजन गर्नुहोस्।

डिस्क विधि

डिस्क विधिले तिनीहरूको केन्द्रबाट गुज्रिरहेको अक्षको वरिपरि फरक-फरक त्रिज्या र विभिन्न कोणीय स्थितिहरू भएका वृत्तहरूको श्रृंखला कोर्ने समावेश गर्दछ। यी सर्कलहरू बिन्दुहरूमा काट्छन् जुन एकअर्काको परिधिमा अवस्थित हुनुपर्छ - अर्को शब्दमा, तिनीहरू ओभरल्याप हुन्छन् - सर्कलको परिधिको भागहरू प्रतिनिधित्व गर्ने क्षेत्रहरू बनाउन।

यी क्षेत्रहरू त्यसपछि तपाइँको वस्तुको वरिपरि प्रत्येक त्रिज्या कति पटक फिट हुनेछ भन्ने अनुमान प्राप्त गर्न थपिन्छन्।ती सबैको बीचमा फेरि उही अक्षहरूमा तिनीहरूको निम्न छेउहरूमा ओभरल्याप हुनु अघि परिधि।

तालिकाले तपाईंलाई तीनवटा विधिहरू बीचको भिन्नता सारांशित रूपमा दिन्छ।

यहाँ तीनवटै विधिहरू व्याख्या गर्ने भिडियो क्लिप छ।

तपाईंले धुने विधि वा कहिले प्रयोग गर्नुपर्छ शेल विधि?

सिलिन्डरको सतह क्षेत्रफल गणना गर्न धेरै विधिहरू अवस्थित छन्। शेल विधि ती मध्ये एक हो, तर यो सधैं सबैभन्दा प्रभावकारी वा सही तरिका होइन।

वाशर विधि वास्तवमा एक विधि होइन—यो भन्नको अर्को तरिका हो, “तपाईंले यसो गर्दा के बाँकी छ? अर्को कुरा?" यसले तपाइँलाई सिलिन्डर भित्र के हुन्छ भन्ने बारे केहि बताउदैन; केवल बाह्य मामिलाहरू के हो।

त्यसोभए तपाईंले कुन प्रयोग गर्नुपर्छ? यो तपाईं मापन गर्न खोज्दै हुनुहुन्छ मा निर्भर गर्दछ!

यदि तपाइँ कति जान्न चाहानुहुन्छतपाईंको भित्ताहरूको लागि रंग आवश्यक हुनेछ, शेल विधिले तपाईंलाई धुने विधि भन्दा राम्रो नतिजा दिनेछ किनभने यसले धेरै डाटा पोइन्टहरू प्रयोग गर्दछ। तर यदि तपाइँ तपाइँको टायरलाई कति रबर चाहिन्छ मापन गर्ने प्रयास गर्दै हुनुहुन्छ भने, धुने विधिले राम्रो काम गर्नेछ किनभने यसले कम डेटा बिन्दुहरू प्रयोग गर्दछ।

तपाईलाई कसरी थाहा छ कि यो डिस्क हो वा धुने?

वाशर र डिस्क बीचको भिन्नता तिनीहरूको घुमाउरो सममितिको डिग्रीमा हुन्छ। डिस्कमा सममितिको अक्ष हुँदैन, त्यसैले यसलाई कुनै पनि कोणबाट घुमाउन सकिन्छ र उस्तै देखिन सकिन्छ। तथापि, धुने मेसिनमा सममितिको अक्ष हुन्छ—एक रेखा जसले वस्तुको दुई भागलाई पङ्क्तिबद्ध गर्छ।

क्यालकुलसमा, तपाईंले निम्न समीकरण प्रयोग गरेर डिस्क र वाशर बीचको भिन्नता बताउन सक्नुहुन्छ:

डिस्क: (व्यास) 2 - (त्रिज्या) 2 = डिस्कको क्षेत्र

वाशर: (व्यास) 2 < (radius)2

Final Thoughts

• क्याल्कुलसमा डिस्क, धुने र खोल विधिहरू बीचको मुख्य भिन्नता भनेको एउटै समस्याको लागि फरक नतिजाहरू छन्।
• डिस्क विधिले वक्र मुनिको क्षेत्रलाई खण्डहरूमा तोडेर तिनीहरूको क्षेत्रहरू थपेर फेला पार्ने समावेश गर्दछ। यो विधिले धेरै वक्र भएका कार्यहरूको लागि राम्रोसँग काम गर्दछ तर कम कर्भहरू भएमा कम राम्रोसँग काम गर्दछ।
• वाशर विधिले वक्र मुनिको क्षेत्रलाई खण्डहरूमा विभाजन गरी तिनीहरूको परिधि थप्ने समावेश गर्दछ। यो विधि धेरै थोरै वक्र भएका कार्यहरूको लागि राम्रोसँग काम गर्दछ तर त्यहाँ हुँदा त्यति ठूलो हुँदैनअधिक कर्भहरू छन्।
• शेल विधिले प्रत्येक वक्रको उचाइलाई यसको चौडाइले यसको क्षेत्रफल अनुमानित गर्न गुणन गर्ने समावेश गर्दछ। यो विधिले राम्रोसँग काम गर्छ जब तपाईलाई छिट्टै अनुमान प्राप्त गर्न आवश्यक हुन्छ तर सही जवाफ प्राप्त गर्ने प्रयास गर्दा विशेष गरी राम्रोसँग काम गर्दैन।

सम्बन्धित लेखहरू