Obliczenie jest dziedziną matematyki, która zajmuje się badaniem zmian. Jest to jedna z najbardziej wymagających i abstrakcyjnych dziedzin współczesnej matematyki i jest używana w prawie każdej dziedzinie nauki, inżynierii i biznesu.

Obliczenie pomaga nam modelować sytuacje, w których mamy do czynienia z szybkimi zmianami, takimi jak prędkość lub przyspieszenie. Takie sytuacje są często nazywane "równaniami różniczkowymi". Obliczenie pozwala nam również rozwiązywać problemy, które dotyczą granic: na przykład znalezienie pola pod krzywą lub objętości bryły.

Możesz użyć różnych metod do rozwiązania różnych problemów. Kilka z tych metod to metody dysku, podkładki i powłoki.

Główna różnica pomiędzy metodami dyskową, spryskiwacza i skorupową w rachunku polega na tym, że wszystkie one wykorzystują różne podejścia do aproksymacji krzywej. Metoda dyskowa wykorzystuje okrągły obszar wokół aproksymacji krzywej, podczas gdy spryskiwacz wykorzystuje obszar w kształcie spryskiwacza, gdy patrzy się na niego z góry. Metoda skorupowa wykorzystuje obszar w kształcie skorupy, gdy patrzy się na niego z góry.

Omówmy szczegółowo wszystkie te metody.

Co oznacza metoda dyskowa?

Metoda całkowania tarczowego, znana również jako równanie tarczowe rachunku całkowego, oblicza objętość bryły na jeden obrót, gdy jest całkowana wzdłuż osi równoległej do jej obrotu.

Metoda dyskowa polega na podzieleniu obiektu na wiele małych dysków lub cylindrów, a następnie zsumowaniu objętości tych małych dysków w celu określenia objętości obiektu.

Promień walca jest dany funkcją f(x), a jego wysokość jest określona przez x. Gdy zmiana x osiągnie zero, a liczba krążków wzrośnie do nieskończoności, będziemy mieli rzeczywistą objętość obiektu, a nie jej oszacowanie.

Wzór na obliczenie objętości metodą całkowania tarczowego jest następujący:

	=	odległość między funkcją a osią obrotu
	=	górna granica
	=	dolna granica
	=	przesuwa się wzdłuż x

Co oznacza metoda spryskiwaczy?

Metoda spryskiwaczy to sposób na rozwiązanie równania różniczkowego. Nazywa się ją metodą spryskiwaczy, ponieważ wykorzystuje spryskiwacz jako analogię do tego, jak działa.

Równanie różnicowe opisuje, jak nieznana funkcja zmienia się w czasie, nawet jeśli nie jest ciągła. Jest często używane do modelowania takich rzeczy jak fale lub inne procesy, które zmieniają się w czasie, ale niekoniecznie w sposób płynny.

Aby rozwiązać y(t), musisz znaleźć y(t) dla wszystkich możliwych wartości t. Jednak może to być trudne i czasochłonne, ponieważ istnieje nieskończenie wiele rozwiązań. Metoda Washera pomaga znaleźć rozwiązania przy użyciu przybliżeń zamiast dokładnych wartości.

• Zaczyna się od wstępnego przypuszczenia, jak może wyglądać twoje rozwiązanie: y(t) = f(t).
• Następnie znajdujemy błąd między tym przypuszczeniem a tym, co się dzieje: e(t).
• Następnie używasz tego terminu błędu, aby zaktualizować swoje przypuszczenie: f'(t) = f* 2 - 2 f*e + c, gdzie c jest arbitralną stałą (nie ma znaczenia, jaką wartość wybierzesz).
• Następnie powtarzaj proces, aż błąd stanie się mniejszy niż epsilon.

Co oznacza metoda powłoki?

W rachunku, metoda skorupowa jest techniką znajdowania objętości bryły poprzez przybliżenie jej za pomocą serii koncentrycznych skorup. Jest ona często używana do znalezienia objętości bryły o nieregularnym kształcie, która nie może być łatwo podzielona na proste kształty, dla których znane są objętości.

Metoda muszli dzieli kształt na wiele cienkich plastrów, a następnie sumuje wszystkie ich objętości. Plastry można uznać za muszle, stąd "metoda muszli".

Metoda powłoki różni się od innych metod, wybierając punkt jako środek powłoki, a nie punkt środkowy każdego podokresu jako środek. Daje to dokładniejsze przybliżenia niż inne metody, ale wymaga więcej pracy ze strony użytkownika.

Poznaj różnicę

Metoda skorupkowa, spryskiwaczowa i tarczowa to sposoby rozwiązywania problemów rachunkowych wymagających całkowania.

Metoda skorupowa polega na znalezieniu objętości pierścienia, natomiast metoda tarczowa polega na znalezieniu pola pod krzywą funkcji. Metoda podkładki jest podobna do metody skorupowej, ale wykorzystuje inną technikę do znalezienia objętości pierścienia.

Metoda skorupkowa

Metoda muszli służy do przybliżonego wyznaczenia objętości bryły w rewolucji o określonym przekroju poprzecznym poprzez zsumowanie objętości nieskończonej liczby cienkich muszli wyciętych z bryły. Metoda muszli jest ważna tylko wtedy, gdy przekrój poprzeczny ma stałą grubość, więc nie można jej użyć do znalezienia objętości obiektu o nieregularnym kształcie.

Metoda spryskiwaczy

Metoda podkładki jest podobna do metody muszli, z tym że zamiast wycinać z bryły nieskończoną liczbę cienkich muszli, wycinamy z niej tylko jedną grubą muszlę (która ma stałą grubość), a następnie dzielimy ją na mniejsze kawałki o stałej szerokości.

Metoda tarczowa

Metoda tarczowa polega na narysowaniu serii okręgów o różnych promieniach i różnych pozycjach kątowych wokół osi przechodzącej przez ich środki; okręgi te przecinają się w punktach, które muszą leżeć na swoich obwodach - innymi słowy, zachodzą na siebie - tworząc sektory reprezentujące części obwodu okręgu.

Sektory te są następnie sumowane, aby uzyskać przybliżoną informację o tym, ile razy każdy promień zmieści się na obwodzie obiektu, zanim dojdzie do nakładania się ich na siebie w kolejnych punktach przecięcia wzdłuż tych samych osi.

W tabeli podano różnice między trzema metodami w formie podsumowania.

Poniżej znajduje się klip wideo wyjaśniający wszystkie trzy metody.

Kiedy należy stosować metodę spryskiwaczy czy metodę muszli?

Istnieje kilka metod obliczania pola powierzchni walca. Metoda muszli jest jedną z nich, ale nie zawsze jest to najbardziej efektywny i dokładny sposób.

Metoda spryskiwaczy nie jest tak naprawdę metodą - to tylko inny sposób na powiedzenie: "Co zostanie, gdy zrobisz tę inną rzecz?" Nie mówi ci nic o tym, co dzieje się wewnątrz cylindra; liczy się tylko to, co zewnętrzne.

Więc którego powinieneś użyć? To zależy od tego, co próbujesz zmierzyć!

Jeśli chcesz wiedzieć, ile farby potrzeba do pomalowania ścian, metoda powłoki da ci lepsze wyniki niż metoda myjki, ponieważ wykorzystuje więcej punktów danych. Ale jeśli próbujesz zmierzyć, ile gumy wymagają twoje opony, metoda myjki będzie działać lepiej, ponieważ wykorzystuje mniej punktów danych.

Jak rozpoznać, czy to dysk czy podkładka?

Różnica między podkładką a dyskiem polega na stopniu ich symetrii obrotowej. Dysk nie ma osi symetrii, więc może być obracany o dowolny kąt i wyglądać tak samo. Podkładka natomiast ma oś symetrii - linię, która wyrównuje dwie połówki obiektu.

W rachunku można określić różnicę między dyskiem a podkładką za pomocą następującego równania:

Dysk: (średnica)2 - (promień)2 = powierzchnia dysku

Podkładka: (średnica)2 <(promień)2

Myśli końcowe

• Główna różnica między metodami dyskową, podkładkową i powłokową w rachunku polega na tym, że każda z nich daje inne wyniki dla tego samego problemu.
• Metoda dyskowa polega na znalezieniu pola pod krzywą poprzez podzielenie jej na odcinki i zsumowanie ich pól. Metoda ta sprawdza się dobrze w przypadku funkcji o wielu krzywych, ale gorzej, gdy krzywych jest mniej.
• Metoda podkładki polega na podzieleniu obszaru pod krzywą na odcinki i dodaniu ich obwodów. Metoda ta sprawdza się dobrze w przypadku funkcji z bardzo małą ilością krzywych, ale nie tak świetnie, gdy krzywych jest więcej.
• Metoda powłoki polega na pomnożeniu wysokości każdej krzywej przez jej szerokość w celu przybliżenia jej powierzchni. Ta metoda działa dobrze, gdy musisz szybko uzyskać przybliżenie, ale nie działa szczególnie dobrze, gdy próbujesz uzyskać dokładną odpowiedź.

Artykuły powiązane