Račun je matematičko polje koje se bavi proučavanjem promjena. To je jedno od najizazovnijih i apstraktnih polja u modernoj matematici i koristi se u gotovo svim naučnim, inženjerskim i poslovnim oblastima.

Račun nam pomaže modelirati situacije u kojima imamo stope promjena, kao što su brzina ili ubrzanje. One se često nazivaju "diferencijalnim jednadžbama". Račun nam također omogućava rješavanje problema koji uključuju ograničenja: na primjer, pronalaženje površine ispod krive ili volumena tijela.

Možete koristiti različite metode za rješavanje različitih problema. Nekoliko od ovih metoda uključuje metode diska, podloška i ljuske.

Glavna razlika između metoda diska, podloška i ljuske u računu je u tome što sve koriste različite pristupe aproksimaciji krive. Metoda diska koristi kružno područje oko aproksimacije krivulje, dok mašina za pranje koristi regiju u obliku podloške kada se gleda odozgo. Shell metoda koristi regiju u obliku ljuske kada se gleda odozgo.

Razgovarajmo o svim ovim metodama detaljno.

Šta se podrazumijeva pod diskom Metoda?

Metoda integracije diska, također poznata kao jednadžba diska integralnog računa, izračunava volumen čvrstog tijela po okretaju kada se integrira duž ose paralelne s njegovom okretanjem.

Metoda diska uključujedijeljenje objekta na mnogo malih diskova ili cilindara, a zatim dodavanje volumena tih malih diskova zajedno kako bi se odredio volumen objekta.

Polumjer cilindra je dan funkcijom f(x), a njegova visina je određena sa x. Kada promjena u x dostigne nulu i broj diskova se poveća na beskonačnost, imat ćete stvarni volumen objekta umjesto procjene.

Formula za izračunavanje volumena putem metode integracije diska je sljedeća:

	=	udaljenost između funkcije i ose rotacije
	=	gornja granica
	=	donja granica
	=	klizi duž x

Šta se podrazumijeva pod metodom za pranje?

Metoda pranja je način rješavanja diferencijalne jednadžbe. Zove se metoda za pranje jer koristi podlošku kao analogiju kako radi.

Diferencijalna jednadžba opisuje kako se nepoznata funkcija mijenja kako vrijeme prolazi, čak i ako nije kontinuirana. Često se koristi za modeliranje stvari poput valova ili drugih procesa koji se mijenjaju tokom vremena, ali ne nužno na gladak način.

Da biste riješili y(t), morate pronaći y(t) za sve moguće vrijednosti od t. Međutim, to može biti teško i dugotrajno jer postoji beskonačno rješenje. Metoda za pranje vam pomaže da pronađete rješenjakoristeći aproksimacije umjesto tačnih vrijednosti.

• Počinje početnim nagađanjem kako bi vaše rješenje moglo izgledati: y(t) = f(t).
• Onda ćete pronaći grešku između ovog nagađanja i onoga što se događa: e(t).
• Potom koristite ovaj termin greške da ažurirate svoju pretpostavku: f'(t) = f* 2 – 2 f*e + c, gdje je c proizvoljna konstanta (nije bitno koju vrijednost odaberete).
• Zatim ponavljajte postupak dok greška ne postane manja od epsilon.

Šta se podrazumijeva pod Shell metodom?

U proračunu, ljuska metoda je tehnika za pronalaženje volumena čvrste tvari aproksimacijom s nizom koncentričnih ljuski. Često se koristi za pronalaženje volumena čvrstog tijela nepravilnog oblika koji se ne može lako podijeliti na jednostavne oblike za koje su volumeni poznati.

Metoda školjke dijeli oblik na mnogo tankih kriški, a zatim sabira sve njihove zapremine. Isječci se mogu smatrati školjkama, otuda i „metoda ljuske“.

Metoda ljuske se razlikuje od ostalih metoda odabirom tačke kao centra ljuske umjesto sredine svakog podintervala kao centra. Ovo rezultira preciznijim aproksimacijama od drugih metoda, ali zahtijeva više rada od strane korisnika.

Znaj razliku

Metode školjke, podloške i diska su načini rješavanja računskih problema koji uključujuintegracija.

Metoda ljuske uključuje pronalaženje volumena prstena, dok metoda diska uključuje pronalaženje površine ispod krivulje funkcije. Metoda ispiranja je slična metodi školjke, ali koristi drugačiju tehniku ​​za pronalaženje volumena prstena.

Metoda ljuske

Metoda školjke se koristi za aproksimaciju volumena krutog tijela u okretanju sa specificiranim poprečnim presjekom zbrajanjem volumena beskonačnog broja tankih ljuski isječenih iz čvrstog tijela. Metoda ljuske vrijedi samo kada poprečni presjek ima konstantnu debljinu, tako da se ne može koristiti za pronalaženje volumena objekta nepravilnog oblika.

Metoda podloška

Metoda podloška je slična na metodu ljuske osim što umjesto da sečete beskonačan broj tankih ljuski iz čvrste mase, od nje izrežete samo jednu debelu ljusku (koja ima konstantnu debljinu), a zatim je podijelite na manje komade sa konstantnom širinom.

Disk metoda

Metoda diska uključuje crtanje niza krugova s ​​različitim polumjerima i različitim kutnim položajima oko ose koja prolazi kroz njihove centre; ovi krugovi se sijeku u tačkama koje moraju ležati jedna na drugoj - drugim riječima, preklapaju se - kako bi formirale sektore koji predstavljaju dijelove obima kruga.

Ovi sektori se zatim zbrajaju kako bi se dobila aproksimacija koliko puta će svaki radijus stati oko vašeg objektaperimetar prije nego što se ponovo pojave preklapanja između njih na njihovim sljedećim sjecištima duž istih osa.

Tabela vam daje razliku između tri metode u sažetom obliku.

Ovdje je video isječak koji objašnjava sve tri metode.

Kada biste trebali koristiti metodu za pranje ili Shell Method?

Postoji nekoliko metoda za izračunavanje površine cilindra. Shell metoda je jedna od njih, ali nije uvijek najefikasniji ili najprecizniji način.

Metoda perača zapravo nije metoda—to je samo još jedan način da kažete: „Šta ostane kada ovo uradite druga stvar?" Ne govori vam ništa o tome šta se dešava unutar cilindra; samo ono što je strano.

Dakle, koje biste trebali koristiti? Zavisi šta pokušavate da izmerite!

Ako želite znati kolikoboja bi bila potrebna za vaše zidove, metoda školjke će vam dati bolje rezultate od metode pranja jer koristi više podataka. Ali ako pokušavate izmjeriti koliko gume je potrebno vašim gumama, metoda za pranje će raditi bolje jer koristi manje podataka.

Kako znate da li je disk ili perilica?

Razlika između podloške i diska leži u njihovom stepenu rotacijske simetrije. Disk nema os simetrije, tako da se može rotirati pod bilo kojim uglom i izgledati isto. Podloška, ​​međutim, ima os simetrije — liniju koja poravnava dvije polovice objekta.

U računanju možete odrediti razliku između diska i podloške pomoću sljedeće jednačine:

Disk: (promjer)2 – (radijus)2 = površina diska

Podloška: (promjer)2 < (radijus)2

Završne misli

• Glavna razlika između metoda diska, podloška i ljuske u računanju je u tome što svaka od njih ima različite rezultate za isti problem.
• Metoda diska uključuje pronalaženje površine ispod krive razbijanjem na dijelove i zbrajanjem njihovih površina. Ova metoda dobro funkcionira za funkcije s mnogo krivulja, ali manje ako ima manje krivulja.
• Metoda ispiranja uključuje podjelu površine ispod krive na dijelove i dodavanje njihovih perimetara. Ova metoda dobro funkcionira za funkcije s vrlo malo krivulja, ali nije tako sjajna kada postojeje više krivih.
• Metoda školjke uključuje množenje visine svake krive njenom širinom da bi se aproksimirala njena površina. Ova metoda dobro funkcionira kada trebate brzo dobiti aproksimaciju, ali ne radi posebno dobro kada pokušavate dobiti tačan odgovor.

Povezani članci