Kalkyl är ett matematiskt område som handlar om studiet av förändring. Det är ett av de mest utmanande och abstrakta områdena inom modern matematik och används inom nästan alla vetenskaps-, teknik- och affärsområden.

Kalkyl hjälper oss att modellera situationer där vi har förändringshastigheter, t.ex. hastighet eller acceleration. Dessa kallas ofta "differentialekvationer". Kalkyl gör det också möjligt att lösa problem som involverar gränser, t.ex. att hitta arean under en kurva eller volymen av en fast substans.

Du kan använda olika metoder för att lösa olika problem. Några av dessa metoder är disk-, disk- och skalmetoden.

Den största skillnaden mellan skiv-, bricka- och skalmetoden i kalkyl är att de alla använder olika metoder för att approximera en kurva. Skivmetoden använder ett cirkulärt område runt en approximation av kurvan, medan brickametoden använder ett område som är format som en bricka när man ser det ovanifrån. Skalmetoden använder ett område som är format som en snäcka när man ser det ovanifrån.

Låt oss diskutera alla dessa metoder i detalj.

Vad menas med diskmetoden?

Skivintegreringsmetoden, även känd som den integrala kalkylens skivekvation, beräknar volymen av ett fast ämne per varv när den integreras längs axeln parallellt med varvet.

Skivmetoden innebär att ett föremål delas upp i många små skivor eller cylindrar och att volymerna av dessa små skivor sedan adderas för att bestämma föremålets volym.

En cylinders radie ges av en funktion f(x), och dess höjd bestäms av x. När förändringen i x når noll och antalet skivor ökar till oändlighet får du objektets faktiska volym i stället för en uppskattning.

Formeln för att beräkna volymen med hjälp av diskintegreringsmetoden är följande:

	=	Avstånd mellan funktionen och rotationsaxeln.
	=	övre gräns
	=	nedre gräns
	=	glider längs x

Vad menas med tvättmaskinsmetoden?

Tvättmaskinsmetoden är ett sätt att lösa en differentialekvation. Den kallas för tvättmaskinsmetoden eftersom den använder en tvättmaskin som en analogi för hur den fungerar.

En differentialekvation beskriver hur en okänd funktion förändras med tiden, även om den inte är kontinuerlig. Den används ofta för att modellera saker som vågor eller andra processer som förändras med tiden, men inte nödvändigtvis på ett jämnt sätt.

För att lösa y(t) måste du hitta y(t) för alla möjliga värden på t. Detta kan dock vara svårt och tidskrävande eftersom det finns oändliga lösningar. Washermetoden hjälper dig att hitta lösningar med hjälp av approximationer i stället för exakta värden.

• Den börjar med en första gissning om hur lösningen kan se ut: y(t) = f(t).
• Sedan hittar du felet mellan denna gissning och vad som händer: e(t).
• Du använder sedan denna felterm för att uppdatera din gissning: f'(t) = f* 2 - 2 f*e + c, där c är en godtycklig konstant (det spelar ingen roll vilket värde du väljer).
• Upprepa sedan processen tills felet blir mindre än epsilon.

Vad menas med Shell-metoden?

I kalkyl är skalmetoden en teknik för att hitta volymen av ett fast ämne genom att approximera det med en serie koncentriska skal. Den används ofta för att hitta volymen av ett oregelbundet fast ämne som inte lätt kan delas upp i enkla former för vilka volymerna är kända.

Skalmetoden delar upp formen i många tunna skivor och summerar sedan alla deras volymer. Skivorna kan betraktas som skal, därav "skalmetoden".

Skalmetoden skiljer sig från andra metoder genom att välja en punkt som centrum för skalet i stället för mitten av varje delintervall som centrum. Detta ger mer exakta approximationer än andra metoder men kräver mer arbete av användaren.

Känn skillnaden

Shell-, washer- och skivmetoden är alla sätt att lösa kalkylproblem som involverar integration.

Skalmetoden innebär att man hittar volymen av en ring, medan skivmetoden innebär att man hittar arean under en funktions kurva. En skivmetod liknar skalmetoden, men den använder en annan teknik för att hitta volymen av en ring.

Shell-metoden

Skalmetoden används för att approximera volymen av ett solitt föremål i rotation med ett visst tvärsnitt genom att summera volymerna av ett oändligt antal tunna skal som skurits ut ur det fasta föremålet. Skalmetoden är endast giltig när tvärsnittet har en konstant tjocklek, så den kan inte användas för att hitta volymen av ett oregelbundet format föremål.

Tvättmaskin Metod

Bricka-metoden liknar skalmetoden, förutom att man i stället för att skära ett oändligt antal tunna skal från det fasta materialet skär man bara ett tjockt skal (med konstant tjocklek) och sedan delar upp det i mindre bitar med en konstant bredd.

Metod för skivor

Skivmetoden innebär att man ritar en serie cirklar med olika radier och olika vinkelpositioner runt en axel som går genom deras centrum. Dessa cirklar skär varandra i punkter som måste ligga på varandras omkretsar - med andra ord, de överlappar varandra - för att bilda sektorer som representerar delar av en cirkels omkrets.

Dessa sektorer adderas sedan för att få en uppskattning av hur många gånger varje radie kommer att passa runt objektets omkrets innan överlappningar uppstår mellan dem alla igen vid deras följande skärningspunkter längs samma axlar.

Tabellen visar skillnaden mellan de tre metoderna i sammanfattad form.

Här finns ett videoklipp som förklarar alla tre metoderna.

När ska du använda tvättmetoden eller skalmetoden?

Det finns flera metoder för att beräkna en cylinders yta. Skalmetoden är en av dem, men den är inte alltid den mest effektiva eller exakta metoden.

Bläckmetoden är egentligen ingen metod - det är bara ett annat sätt att säga: "Vad blir över när du gör den här andra saken?" Den säger ingenting om vad som händer inuti cylindern; det är bara det som är ovidkommande som spelar roll.

Vilket ska du använda? Det beror på vad du försöker mäta!

Om du vill veta hur mycket färg som behövs för dina väggar kommer skalmetoden att ge bättre resultat än tvättmetoden eftersom den använder fler datapunkter. Men om du försöker mäta hur mycket gummi dina däck behöver kommer tvättmetoden att fungera bättre eftersom den använder färre datapunkter.

Hur vet du om det är en disk eller en tvättmaskin?

Skillnaden mellan en bricka och en skiva ligger i graden av rotationssymmetri. En skiva har ingen symmetriaxel, så den kan roteras i vilken vinkel som helst och se likadan ut. En bricka däremot har en symmetriaxel - en linje som riktar in de två halvorna av föremålet.

Med hjälp av följande ekvation kan man i kalkyl räkna ut skillnaden mellan en skiva och en bricka:

Skiva: (diameter)2 - (radie)2 = skivans area.

Bricka: (diameter)2 <(radie)2

Slutliga tankar

• Den största skillnaden mellan skiv-, bricka- och skalmetoden i kalkyl är att de ger olika resultat för samma problem.
• Skivmetoden innebär att man hittar arean under en kurva genom att dela upp den i sektioner och addera deras areor. Denna metod fungerar bra för funktioner med många kurvor men mindre bra om det finns färre kurvor.
• Bricka-metoden innebär att arean under en kurva delas upp i sektioner och att deras omkretsar adderas. Denna metod fungerar bra för funktioner med mycket få kurvor, men inte lika bra när det finns fler kurvor.
• Skalmetoden innebär att man multiplicerar höjden av varje kurva med dess bredd för att få en approximation av dess area. Denna metod fungerar bra när man snabbt behöver få en approximation, men den fungerar inte särskilt bra när man försöker få ett exakt svar.

Relaterade artiklar