Kalkülüs, modern matematiğin en zorlu ve soyut alanlarından biridir ve neredeyse her bilim, mühendislik ve iş alanında kullanılır.

Kalkülüs, hız veya ivme gibi değişim oranlarına sahip olduğumuz durumları modellememize yardımcı olur. Bunlar genellikle "diferansiyel denklemler" olarak adlandırılır. Kalkülüs ayrıca limitleri içeren problemleri çözmemize de olanak tanır: örneğin, bir eğrinin altındaki alanı veya bir katının hacmini bulmak gibi.

Farklı sorunları çözmek için farklı yöntemler kullanabilirsiniz. Bu yöntemlerden birkaçı disk, yıkayıcı ve kabuk yöntemlerini içerir.

Kalkülüste disk, pul ve kabuk yöntemleri arasındaki temel fark, hepsinin bir eğriye yaklaşmak için farklı yaklaşımlar kullanmasıdır. Disk yöntemi, eğrinin bir yaklaşımı etrafında dairesel bir bölge kullanırken, pul yukarıdan bakıldığında pul şeklinde bir bölge kullanır. Kabuk yöntemi, yukarıdan bakıldığında kabuk şeklinde bir bölge kullanır.

Tüm bu yöntemleri ayrıntılı olarak tartışalım.

Disk Yöntemi Ne Anlama Geliyor?

İntegral hesabın disk denklemi olarak da bilinen disk entegrasyon yöntemi, bir katının devrine paralel eksen boyunca entegre edildiğinde devir başına hacmini hesaplar.

Disk yöntemi, bir nesneyi birçok küçük diske veya silindire bölmeyi ve ardından nesnenin hacmini belirlemek için bu küçük disklerin hacimlerini toplamayı içerir.

Bir silindirin yarıçapı f(x) fonksiyonu ile verilir ve yüksekliği x ile belirlenir. x'teki değişim sıfıra ulaştığında ve disklerin sayısı sonsuza kadar arttığında, bir tahminden ziyade nesnenin gerçek hacmine sahip olursunuz.

Disk entegrasyon yöntemiyle hacim hesaplama formülü aşağıdaki gibidir:

	=	fonksiyon ile dönme ekseni arasındaki mesafe
	=	üst sınır
	=	alt sınır
	=	x boyunca kayar

Yıkayıcı Yöntemi Ne Anlama Geliyor?

Yıkayıcı yöntemi bir diferansiyel denklemi çözmenin bir yoludur. Yıkayıcı yöntemi olarak adlandırılır çünkü nasıl çalıştığına dair bir benzetme olarak bir yıkayıcı kullanır.

Bir diferansiyel denklem, sürekli olmasa bile bilinmeyen bir fonksiyonun zaman geçtikçe nasıl değiştiğini açıklar. Genellikle dalgalar veya zaman içinde değişen ancak düzgün bir şekilde olması gerekmeyen diğer süreçler gibi şeyleri modellemek için kullanılır.

y(t)'yi çözmek için, t'nin tüm olası değerleri için y(t)'yi bulmanız gerekir. Ancak, sonsuz çözüm olduğu için bu zor ve zaman alıcı olabilir. Yıkayıcı Yöntemi, kesin değerler yerine yaklaşık değerleri kullanarak çözüm bulmanıza yardımcı olur.

• Çözümünüzün nasıl görünebileceğine dair bir ilk tahminle başlar: y(t) = f(t).
• Daha sonra bu tahmin ile gerçekleşen arasındaki hatayı bulursunuz: e(t).
• Daha sonra tahmininizi güncellemek için bu hata terimini kullanırsınız: f'(t) = f* 2 - 2 f*e + c, burada c keyfi bir sabittir (hangi değeri seçtiğiniz önemli değildir).
• Ardından hata epsilondan küçük olana kadar işlemi tekrarlayın.

Kabuk Yöntemi ile Ne Anlatılmak İsteniyor?

Kalkülüste kabuk yöntemi, bir katının hacmini bir dizi eşmerkezli kabukla yaklaştırarak bulmak için kullanılan bir tekniktir. Genellikle hacimleri bilinen basit şekillere kolayca bölünemeyen düzensiz şekilli bir katının hacmini bulmak için kullanılır.

Kabuk yöntemi, şekli birçok ince dilime böler ve ardından tüm hacimlerini toplar. Dilimler kabuk olarak kabul edilebilir, dolayısıyla "kabuk yöntemi".

Kabuk yöntemi, merkez olarak her bir alt aralığın orta noktası yerine kabuğun merkezi olarak bir nokta seçerek diğer yöntemlerden ayrılır. Bu, diğer yöntemlerden daha doğru yaklaşımlarla sonuçlanır, ancak kullanıcı tarafında daha fazla çalışma gerektirir.

Farkı Bilin

Kabuk, rondela ve disk yöntemlerinin tümü, entegrasyon içeren kalkülüs problemlerini çözmenin yollarıdır.

Kabuk yöntemi bir halkanın hacmini bulmayı içerirken, disk yöntemi bir fonksiyon eğrisinin altındaki alanı bulmayı içerir. Yıkayıcı yöntemi kabuk yöntemine benzer, ancak bir halkanın hacmini bulmak için farklı bir teknik kullanır.

Kabuk Yöntemi

Kabuk yöntemi, katıdan kesilen sonsuz sayıda ince kabuğun hacimlerini toplayarak belirli bir kesite sahip devir halindeki bir katının hacmini yaklaşık olarak hesaplamak için kullanılır. Kabuk yöntemi yalnızca kesit sabit bir kalınlığa sahip olduğunda geçerlidir, bu nedenle düzensiz şekilli bir nesnenin hacmini bulmak için kullanılamaz.

Yıkayıcı Yöntemi

Yıkayıcı yöntemi, katıdan sonsuz sayıda ince kabuk kesmek yerine, ondan sadece bir kalın kabuk (sabit kalınlığa sahip) kesmeniz ve ardından onu sabit bir genişliğe sahip daha küçük parçalara ayırmanız dışında kabuk yöntemine benzer.

Disk Yöntemi

Disk yöntemi, merkezlerinden geçen bir eksen etrafında farklı yarıçaplara ve farklı açısal konumlara sahip bir dizi daire çizmeyi içerir; bu daireler, bir dairenin çevresinin parçalarını temsil eden sektörler oluşturmak için birbirlerinin çevrelerinde yer alması gereken noktalarda kesişir - başka bir deyişle üst üste gelirler.

Daha sonra bu sektörler toplanarak her bir yarıçapın nesnenizin çevresine kaç kez sığacağına dair bir tahmin elde edilir ve aynı eksenler boyunca sonraki kesişim noktalarında tekrar üst üste binmeler meydana gelir.

Tablo size üç yöntem arasındaki farkı özet olarak vermektedir.

İşte her üç yöntemi de açıklayan bir video klip.

Yıkayıcı Yöntemini mi Kabuk Yöntemini mi Ne Zaman Kullanmalısınız?

Bir silindirin yüzey alanını hesaplamak için çeşitli yöntemler mevcuttur. Kabuk yöntemi bunlardan biridir, ancak her zaman en verimli veya doğru yol değildir.

Yıkayıcı metodu aslında bir metot değildir; sadece şunu söylemenin başka bir yoludur: "Bu diğer şeyi yaptığınızda geriye ne kalır?" Silindirin içinde ne olduğu hakkında size hiçbir şey söylemez; sadece dışarıda ne olduğu önemlidir.

Peki hangisini kullanmalısınız? Bu neyi ölçmeye çalıştığınıza bağlı!

Duvarlarınız için ne kadar boya gerektiğini bilmek istiyorsanız, kabuk yöntemi size yıkayıcı yönteminden daha iyi sonuçlar verecektir çünkü daha fazla veri noktası kullanır. Ancak lastiklerinizin ne kadar lastik gerektirdiğini ölçmeye çalışıyorsanız, yıkayıcı yöntemi daha az veri noktası kullandığı için daha iyi sonuç verecektir.

Disk mi Yıkayıcı mı Olduğunu Nasıl Anlarsınız?

Bir pul ile bir disk arasındaki fark, dönme simetrisi derecelerinde yatar. Bir diskin simetri ekseni yoktur, bu nedenle herhangi bir açıyla döndürülebilir ve aynı görünebilir. Ancak bir pulun simetri ekseni vardır - nesnenin iki yarısını hizalayan bir çizgi.

Kalkülüste, aşağıdaki denklemi kullanarak bir disk ile bir pul arasındaki farkı söyleyebilirsiniz:

Disk: (çap)2 - (yarıçap)2 = diskin alanı

Pul: (çap)2 <(yarıçap)2

Son Düşünceler

• Kalkülüste disk, rondela ve kabuk yöntemleri arasındaki temel fark, her birinin aynı problem için farklı sonuçlara sahip olmasıdır.
• Disk yöntemi, bir eğriyi bölümlere ayırarak ve alanlarını toplayarak eğrinin altındaki alanı bulmayı içerir. Bu yöntem çok sayıda eğriye sahip fonksiyonlar için iyi çalışır, ancak daha az sayıda eğri varsa daha az iyi çalışır.
• Yıkayıcı yöntemi, bir eğrinin altındaki alanı bölümlere ayırmayı ve bunların çevrelerini toplamayı içerir. Bu yöntem, çok az eğriye sahip fonksiyonlar için iyi çalışır, ancak daha fazla eğri olduğunda o kadar iyi değildir.
• Kabuk yöntemi, alanını yaklaşık olarak hesaplamak için her bir eğrinin yüksekliğini genişliğiyle çarpmayı içerir. Bu yöntem, hızlı bir şekilde yaklaşık bir sonuç elde etmeniz gerektiğinde iyi çalışır, ancak kesin bir cevap almaya çalışırken özellikle iyi çalışmaz.

İlgili Makaleler