Обчислення - це математична галузь, яка займається вивченням змін. Це одна з найскладніших і найабстрактніших галузей сучасної математики, яка використовується майже в кожній науці, інженерії та бізнесі.

Обчислення допомагає нам моделювати ситуації, в яких ми маємо швидкість зміни, наприклад, швидкість або прискорення. Їх часто називають "диференціальними рівняннями". Обчислення також дозволяє нам розв'язувати задачі, пов'язані з обмеженнями: наприклад, знайти площу під кривою або об'єм твердого тіла.

Ви можете використовувати різні методи для вирішення різних проблем. Деякі з цих методів включають метод диска, шайби та оболонки.

Основна відмінність між методами диска, шайби та оболонки в обчисленні полягає в тому, що всі вони використовують різні підходи до апроксимації кривої. Метод диска використовує кругову область навколо апроксимації кривої, в той час як шайба використовує область, схожу на шайбу, якщо дивитися на неї зверху. Метод оболонки використовує область, схожу на оболонку, якщо дивитися на неї зверху.

Розглянемо всі ці методи докладніше.

Що мається на увазі під дисковим методом?

Метод дискового інтегрування, також відомий як дискове рівняння інтегрального числення, обчислює об'єм твердого тіла за один оберт при інтегруванні вздовж осі, паралельної його обертанню.

Дисковий метод передбачає поділ об'єкта на багато маленьких дисків або циліндрів, а потім додавання об'ємів цих маленьких дисків разом для визначення об'єму об'єкта.

Радіус циліндра задається функцією f(x), а його висота визначається x. Коли зміна x досягне нуля, а кількість дисків збільшиться до нескінченності, ви отримаєте фактичний об'єм об'єкта, а не його оцінку.

Формула для обчислення об'єму методом дискового інтегрування виглядає наступним чином:

	=	відстань між функцією та віссю обертання
	=	верхня межа
	=	нижня межа
	=	ковзає вздовж x

Що мається на увазі під методом промивання?

Метод шайби - це спосіб розв'язання диференціального рівняння. Він називається методом шайби, тому що використовує шайбу як аналогію того, як він працює.

Диференціальне рівняння описує, як невідома функція змінюється з плином часу, навіть якщо вона не є безперервною. Воно часто використовується для моделювання хвиль або інших процесів, які змінюються з часом, але не обов'язково гладко.

Щоб знайти y(t), вам потрібно знайти y(t) для всіх можливих значень t. Однак це може бути складно і довго, оскільки існує нескінченна кількість розв'язків. Метод Вошера допомагає знайти розв'язок, використовуючи наближення замість точних значень.

• Він починається з початкового припущення про те, як може виглядати ваш розв'язок: y(t) = f(t).
• Потім ви знаходите похибку між цим припущенням і тим, що станеться: e(t).
• Потім ви використовуєте цей термін помилки, щоб оновити свою здогадку: f'(t) = f* 2 - 2 f*e + c, де c - довільна константа (не має значення, яке значення ви оберете).
• Потім повторюйте процес до тих пір, поки похибка не стане меншою за епсилон.

Що мається на увазі під методом оболонки?

У математиці метод оболонок - це метод знаходження об'єму тіла шляхом апроксимації його серією концентричних оболонок. Він часто використовується для знаходження об'єму тіла неправильної форми, яке не можна легко розбити на прості фігури, для яких відомі об'єми.

Метод оболонок ділить фігуру на багато тонких зрізів, а потім підсумовує всі їхні об'єми. Зрізи можна вважати оболонками, звідси і "метод оболонок".

Метод оболонки відрізняється від інших методів тим, що в якості центру оболонки вибирається точка, а не середина кожного підінтервалу. Це дає точніші апроксимації, ніж інші методи, але вимагає більшої роботи від користувача.

Знайте різницю

Методи оболонки, шайби та диска - це способи розв'язування обчислювальних задач, що передбачають інтегрування.

Метод оболонки передбачає знаходження об'єму кільця, в той час як метод диска передбачає знаходження площі під кривою функції. Метод шайби схожий на метод оболонки, але він використовує іншу техніку для знаходження об'єму кільця.

Метод оболонки

Метод оболонок використовується для апроксимації об'єму твердого тіла, що обертається, із заданим поперечним перерізом шляхом підсумовування об'ємів нескінченної кількості тонких оболонок, вирізаних з твердого тіла. Метод оболонок справедливий лише тоді, коли поперечний переріз має постійну товщину, тому його не можна використовувати для знаходження об'єму об'єкта неправильної форми.

Метод промивання

Метод шайб схожий на метод оболонок, за винятком того, що замість того, щоб вирізати нескінченну кількість тонких оболонок з твердого тіла, ви вирізаєте лише одну товсту оболонку (яка має постійну товщину), а потім розділяєте її на менші шматки з постійною шириною.

Дисковий метод

Дисковий метод передбачає малювання серії кіл різного радіусу та різного кутового положення навколо осі, що проходить через їхні центри; ці кола перетинаються в точках, які повинні лежати на периметрах одне одного - іншими словами, вони накладаються, утворюючи сектори, що представляють частини кола.

Потім ці сектори додаються, щоб отримати приблизний результат, скільки разів кожен радіус буде проходити по периметру вашого об'єкта, перш ніж знову виникнуть перекриття між ними на наступних перетинах по тих самих осях.

У таблиці наведено різницю між трьома методами в узагальненому вигляді.

Ось відеоролик, що пояснює всі три методи.

Коли слід використовувати метод шайби або метод оболонки?

Існує кілька методів розрахунку площі поверхні циліндра. Метод оболонок - один з них, але він не завжди є найефективнішим або найточнішим.

Метод шайби насправді не є методом - це просто інший спосіб сказати: "Що залишилося після того, як ви зробили цю іншу річ?" Він нічого не говорить вам про те, що відбувається всередині циліндра; тільки те, що ззовні, має значення.

Тож який з них використовувати? Це залежить від того, що ви намагаєтесь виміряти!

Якщо ви хочете дізнатися, скільки фарби знадобиться для фарбування стін, метод оболонки дасть вам кращі результати, ніж метод шайби, оскільки він використовує більше точок даних. Але якщо ви намагаєтеся виміряти, скільки гуми потрібно для ваших шин, метод шайби буде працювати краще, оскільки він використовує менше точок даних.

Як дізнатися, що це - диск чи шайба?

Різниця між шайбою і диском полягає в ступені симетрії обертання. Диск не має осі симетрії, тому його можна повернути на будь-який кут і він буде виглядати однаково. Шайба, однак, має вісь симетрії - лінію, яка вирівнює дві половини об'єкта.

Розрахувати різницю між диском і шайбою можна за допомогою наступного рівняння:

Диск: (діаметр)2 - (радіус)2 = площа диска

Шайба: (діаметр)2 <(радіус)2

Заключні думки

• Основна відмінність між методами диска, шайби та оболонки в обчисленні полягає в тому, що кожен з них дає різні результати для однієї і тієї ж задачі.
• Дисковий метод передбачає знаходження площі під кривою шляхом розбиття її на ділянки і додавання їх площ. Цей метод добре працює для функцій з великою кількістю кривих, але менш ефективно, якщо кривих менше.
• Метод шайби передбачає поділ площі під кривою на ділянки і додавання їх периметрів. Цей метод добре працює для функцій з невеликою кількістю кривих, але не дуже добре, коли кривих більше.
• Метод оболонки передбачає множення висоти кожної кривої на її ширину, щоб наближено визначити її площу. Цей метод добре працює, коли вам потрібно швидко отримати наближення, але не дуже добре, коли ви намагаєтеся отримати точну відповідь.

Схожі статті